HH9 cđ4 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH học

Thêm điểm: Muốn chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng ta chứng minh ba điểm Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là giao điểm của AH và BC, M là điểm đối xứng của F qua đường thẳng BC...

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Bài 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

A Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Giả sử chứng minh 3 điểm A B C, , thẳng hàng

1 Chứng minh 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng d

2 Chứng minh đường thẳng AB đi qua C

3 Diện tích ABC 0 (đvdt)

4 Sử dụng các tính chất cách đều (2 đường thẳng cắt nhau, song song)

5 Dùng phương pháp phản chứng

1 Chứng minh hai góc kề nhau có tổng bằng 180 0

2 Sử dụng tiên đề Ơclit về đường thẳng song song:

Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng

đã cho

3 Sử dụng vuông góc, song song:

+ ABd và ACd

+ AB d/ / và AC d/ /

4 Sử dụng hai tia trùng nhau

5 Sử dụng điểm (hình) duy nhất (trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trực tâm tam giác)

6 Thêm điểm: Muốn chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng ta chứng minh ba điểm

Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là giao

điểm của AH và BC, M là điểm đối xứng của

F qua đường thẳng BC Chứng minh 3 điểm

, ,

E D M thẳng hàng

Lời giải

Ta có F đối xứng với M qua BC·FDB MDB·

Tứ giác FHDB nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180 0)

FDH EDH FDM FDE  BDF FDH  ADB

Bài 2: Sử dụng tiên đề ƠclitCho tam giác ABC có I là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt

đường tròn ( )I ở D Gọi E F, lần lượt

là điểm chính giữa các cung AB

(không chứa C), AC (không chứa B),

M là giao điểm của DE và AB, N là

giao điểm của DF và AC Chứng minh

Cho hình vuông ABCD I, là điểm trên cạnh BC

Vẽ BE vuông góc với DI tại E, BE cắt CD

ở F Gọi K là giao điểm của AE và BD

Vì ABCD là hình vuông ·ADB DBC· 450

Tứ giác ADEB nội tiếp ·AEB ADB·  450·KEI ·BED KEB·  450

· ·  45 0

    là nội tiếp IKB·  90 0 IK BD  2

Từ (1)(2) K I F, , thẳng hàng

Bài 4: Sử dụng hai tia trùng nhauCho hình thang cân ABCD AB CD AB CD / / ,  

Điểm E bất kì trên CD Vẽ đường tròn ( )I

tiếp xúc với AC tại C và đi qua E, đường tròn

tâm ( )O tiếp xúc với AD tại D và đi qua D, E

Từ (1)(2)(3) ·DFE DFB· FE trùng tia FB.

Bài 5: Sử dụng điểm (hình) duy nhấtCho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường

cao Vẽ hai đường tròn ( )O , ( )I có đường kính

lần lượt là BH, HC Vẽ DE là tiếp tuyến

chung ngoài của hai đường tròn ( )O , ( )I (

 

C O , D I ), D và E nằm trên nửa mặt

phẳng bờ BC không chứa A Gọi M là trung

điểm đoạn thẳng CD Chứng minh A, H, M

thẳng hàng

Lời giải

Kéo dài AH cắt DE tại M'

Chứng minh M' M

Vì AH OH AH, O H' AH là tiếp tuyến chung của  O và  O'

Theo tính chất tiếp tuyến

Cho tam giác ABC, AD là đường cao, H là

trực tâm Vẽ DEAB tại E và DF AC tại F

, DKHB tại K Chứng minh rằng 3 điểm

Tứ giác EKDB nội tiếp BDE EKB· ·

Vậy EKB HKI· · E K I, , thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta có K I F, , thẳng hàng

Vậy E F K, , thẳng hàng

Bài 7:

Đường thẳng Simson

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O và

M là điểm bất kì trên ( )O Gọi D, E, F lần

lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các

đường thẳng AB BC CA, , Chứng minh D E F, ,

thẳng hàng Đường thẳng đi qua D E F, , có

tên là đường thẳng Simson ứng với điểm M

của tam giác ABC

Lời giải

Xét trường hợp tam giác ABC nhọn và ·MBA MCA· (các trường hợp khác chứng minh tương tự)

Khi đó D thuộc tia đối của tia BA, E và F ương ứng nằm trên cạnh BC, CA

Vì các tứ giác MDBE và ABMC nội tiếp MED MBD ACM· · ·  1800MEF·

Cho tam giác ABC và một điểm M Gọi D,

E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của

M trên các đường thẳng AB BC CA, , Biết rằng

ba điểm D E F, , thẳng hàng Chứng minh rằng

M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải

Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp điểm M nằm trong góc ·BAC

Các tứ giác BEMD CMEF, là tứ giác nội tiếp nên BMD BED CMF CEF· · ;· ·

Ta lại có BED CEF·  · ·BMD CMF·

Tứ giác ADMF nội tiếp nên µA DMF· 1800

Do đó tứ giác ABMC nội tiếp

Suy ra M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 9:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp

đường tròn ( )O Gọi E là

giao điểm của AB CD, ; F

là giao điểm của AC BD,

Các tiếp tuyến với ( )O tại

B, C cắt nhau tại M

Chứng minh E M F, , thẳng

hàng

Lời giải

Gọi K là giao điểmcủa đường tròn qua B D E, , và đường tròn qua F C D K, ,  D

Cho tam giác ABC AB  AC Đường tròn ( )O

đường kính BC cắt AB AC, lần lượt tại D và E

Gọi H là giao điểm của BE và CD Đường

thẳng qua O và vuông góc với CE cắt đường

thẳng vuông góc với BC tại C ở M Gọi N là

trung điểm của AH Chứng minh M N E, ,

thẳng hàng

Lời giải

Ta có ·BDC ·BEC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 là đường trung trực của ECME MC

Do đó OEM  OCM ccc  OEM· OCM OEM· ; ·  90 0 EM OE

Ta có NEOE EM; OEM N E, , thẳng hàng

Bài 11:

Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội

tiếp đường tròn ( )O , các đường cao AD

và CE cắt nhau tại H Đường tròn ( )I

ngoại tiếp tam giác BDH cắt đường tròn

Ta có ·BAF 90 ;0 ·BCF 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 có N O, lần lượt là trung điểm của HF và BF

Suy ra ON là đường trung bình của / / ; 2

thẳng qua F song song với BC cắt DE tại

K Gọi M là trung điểm của FK Chứng

minh A M D, , thẳng hàng

Lời giải

Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF lần lượt tại S, L

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

( )O (ABAC), H là trực tâm tam giác ABC

Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn

( )O ở K (K khác A) Gọi M là trung điểm

của cạnh BC Chứng minh rằng M H K, , thẳng

hàng

Lời giải

Vẽ đường kính AD của đường tròn ( )O

Ta có ·AKD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)DK AK

·AKH  90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)HK AK

Do đó D H K, , thẳng hàng (1)

Ta có ·ACD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) DC AC

Mà BH AC (H là trực tâm của tam giác ABC)

kì trên ( )O H là trực tâm của tam

giác ABC Chứng minh rằng H và

các điểm đối xứng của M qua

, ,

AB BC CA thẳng hàng

Lời giải

Cách 1: Xét điểm M thuộc cung nhỏ BC

Gọi E I F, , là hình chiếu của M trên đường thẳng AB BC CA, ,

Gọi P Q R, , là các điểm đối xứng của M qua AB BC CA, ,

Kéo dài AB cắt BC tại D

Ta có ·APB ·AMB  ·ACB BHD·  APBH là tứ giác nội tiếp

Chứng minh tương tự ta có CHQ· CAM·  2

Từ (1)(2) suy ra PHB· ·BHC CHQ· ·BAM ·BHC CAM· 1800 P H Q, , thẳng hàngTương tự ta có H P Q R, , , thẳng hàng

Cách 2: Gọi BH CH, cắt đường tròn ( )O tại điểm G, J

Khi đó dễ dàng chứng minh được G J, đối xứng với H

Từ (1)(2) suy ra P H Q R, , , thẳng hàng.

*) Nhận xét: Đường thẳng PR này có tên là đường thẳng Steniner

Bài 15:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

O R; , M là điểm thuộc cung BC không

chứa đỉnh A Gọi D E H, , là hình chiếu của

Hướng dẫn: Hình vẽ có dạng đường thẳng Simson, do đó ba điểm H D E, , thẳng hàng

Do yêu cùa của kết luận, nên ta cần tìm cặp tam giác đồng dạng để suy ra được

Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp Gọi P Q, và

R tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ

D xuống các đường thẳng BC CA AB, , Chứng

minh rằng PQ QR khi và chỉ khi các đường

phân giác của các góc ABC và ADC cắt nhau

tại một điểm nằm trên đường thẳng AC

Lời giải

Từ đề bài ta có P Q R, , thuộc một đường thẳng (đường thẳng Simson)

Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM DA

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có E thuộc AC khi và chỉ khi

Mặt khác ·ABC MDC· (cùng bù với ·ADC )

nên ABC∽ MDC ·ACB MCD CAB· ;· CMD·

Mà tứ giác AQDR nội tiếp

Điều đó tương đương với chân đường phân giác của các góc ·ABC và ·ADC cắt nhau ở

tại một điểm nằm trên đường thẳng AC

Bài 17:

Từ điểm P trên cung BC của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ PM PL PK, , lần

lượt vuông góc với AB AC BC, , Gọi P' là

điểm đối xứng với P qua O Kẻ

Tứ giác AM P L' ' ' là tứ giác nội tiếp ·AM L' ' ·AP L' '  1

nằm ngoài đường tròn  O sao cho tam giác

ABC nhọn Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM , AN với

 O (M , N là các tiếp điểm) Gọi H là trực

tâm của ABC, F là giao điểm của AH và BC

a) Chứng minh rằng 5 điểm A O M N F, , , , cùng

thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh rằng 3 điểm M H N, , thẳng

hàng

, DE là tiếp tuyến chung ngoài D O E,  O'  AD cắt BE tại M

a) Tam giác MAB là tam giác gì

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung của ( )O và  O'

c) Kẻ Ex By, vuông góc với AE AB, Ex cắt By tại N Chứng minh D N C, , thẳng hàngd) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và OO' Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tròn trên tại I K, Chứng minh OI/ /AK

Mặt khác, chứng minh được tứ giác ABED nội tiếp

Suy ra 5 điểm A D E B N, , , , ' thuộc đường tròn đường kính AN' N E'  AE

d) (ghi chú: Đường thẳng qua C cắt nửa đường tròn đường kính OO' tại I và cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K)

Gọi S S, ' lần lượt là tâm của nửa đường tròn đường kính AB và OO'

Gọi R R, ' lần lượt là bán kính của đường tròn ( )O và  O'

Không mất tính tổng quát, giả sử R R '

CS S I

S I SK

CS  SK  

và I là trung điểm của CK

Trong tam giác CAK có OI là đường trung bình nên ta có OI / /AK

Bài 20:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H và

nội tiếp đường tròn ( )O Vẽ đường kính AK

c) Gọi A B C;, ', ' là chân các đường cao thuộc

các cạnh BC CA AB, , của ABC Khi BC cố

b) OM BCM là trung điểm của BC

Vì BHCK là hình bình hành, M là trung điểm của HK nên M H K, , thẳng hàng

AHK

 có OM là đường trung bình AH  2OM

c) Ta có ·AC C BB C' · '  900BC B C' ' nội tiếp đường tròn ·AC B' '  ·ACB

mà ·ACB BAx · (Ax là tiếp tuyến tại A) Ax B C/ / ' '

Bài 21:

Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp ABC có H

là trực tâm Trên cung nhỏ BC lấy điểm M

Gọi N I K, , lần lượt là hình chiếu của M trên

a) Tứ giác MNKB nội tiếp được (vì K Nµ  µ 1800)

Tứ giác MNCI cũng nội tiếp được (vì MNC MIC· ·  900) ·BNK BMK INC IMC· ; · ·  1

Mặt khác ta có ·BMK IMC·  2 (vì BMK KMC KMC IMC·  ·  ·  · do cùng bù với góc A

của tam giác ABC)

Vẽ HP AS P MS/ /   HQMP là hình thang cân, có BN là trục đối xứng (vì Q và H

đối xứng qua BC) N là trung điểm của PM, mà HPP KN/ / (vì KN/ /AS do

SACAIN vì cùng bằng ·NMC) KN đi qua trung điểm của HM

Bài 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

*) Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

1 Ba đường thẳng cùng đi qua một điểm hoặc có 1 điểm thuộc cả 3 đường thẳng

2 Một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại

3 Ba đường đang xét là ba đường đặc biệt trong tam giác: Ba đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác trong

4 Đưa đồng quy về thẳng hàng

5 Sử dụng định lí Mênnauyt và Ceva

Bài 1:

Cho ABC, vẽ đường cao AA1 Gọi D E, là

điểm đối xứng của A1 qua AB và AC DE cắt

Suy ra tứ giác ADBA1 là tứ giác nội tiếp (3)

Vì AC là trung trực của A E1 A A AE AA B1  ;  1  AEB ccc1  ·AA B1 1  ·AED  1

Vì AD AA 1 AE ADE cân tại A·AED ·ADE  2

Từ (1)(2) ·AA B1 1  ·ADB1  ADA B1 1 nội tiếp (4)

Từ (3)(4) ta có 5 điểm A D B A B, , , , 1 1 cùng nằm trên một đường tròn

Bài 2:

Cho ba điểm A B C, , thẳng hàng và theo thứ tự

Vẽ hai đường tròn    O1 , O2 có đường kính

AB và BC Gọi FE là tiếp tuyến chung ngoài

của    O1 , O2 với F O1 ,E O2 Chứng

minh rằng đường thẳng đi qua C vuông góc

với AC, đường thẳng đi qua E vuông góc với

AE và BF đồng quy

Lời giải

Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua E và vuông góc với AE và qua C vuông góc với AC

Ta chứng minh F B M, , thẳng hàng  ta chứng minh ·AFM  90 0

Từ giả thiết ·AEM ·ACM 900 AECM nội tiếp (1)

Cho đường tròn ( )O và điểm M nằm

ngoài ( )O Kẻ cát tuyến MAB tùy ý

Gọi CD là đường kính vuông góc

 có ba đường cao là CD DC MB1 , 1 , đồng quy tại H

Gọi E là trung điểm của MH Ta chứng minh EC1 là tiếp tuyến của đường tròn ( )O1

   là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

Chứng minh tương tự ta có ED1 là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

Vậy ba đường thẳng đồng quy

Bài 5:

Cho hai đường tròn

O R1 ; 1 , O R2 ; 2 có R1 R2

và có tiếp tuyến chung

ngoài Chứng minh rằng hai

tiếp tuyến chung ngoài của

chúng luôn cắt nhau trên

đường thẳng nối tâm

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC

và đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D

sao cho HD HA , vẽ hình vuông AHDE

Gọi F là giao điểm của DE và AC Đường

thẳng qua F song song với AB cắt đường

thẳng qua B song song với AC tại G

Chứng minh ba đường thẳng AG BF HE, ,

đồng quy

Lời giải

Ta có ·BAH FAE· do cùng phụ với ·HAC  AHB AEFAB AF

Hay tam giác ABF vuông cân tại A Dễ dàng chứng minh được AFGB là hình vuông nên hai đường chéo BF, AG cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường

Mặt khác ta cũng có

1 2

KA KD  BF K

nằm trên đường thẳng trung trực của AD

Do AHDE là hình vuông nên K HE

Như vậy ba đường thẳng AG BF DE, , đồng quy tại K.

Bài 7:

Cho ba điểm A B C, , thẳng hàng và theo

thứ tự Vẽ hai đường tròn    O1 , O2 có

đường kính AB và BC Gọi DE là tiếp

tuyến chung ngoài của  O1 và  O2 với

 1 ,  2

D O E O Chứng minh rằng

đường thẳng đi qua C và vuông góc với

AC và đường thẳng đi qua E vuông góc

với AE cắt nhau trên đường thẳng BD

Lời giải

Giả sử hai đường thẳng đang xét cắt nhau tại M Ta phải chứng minh D B M, , thẳng hàngTheo giả thiết tứ giác ACEM nội tiếp được trong đường tròn đường kính AM

Xét tứ giác ADEC, ta có DE là tiếp tuyến chung ngoài  O1 và  O2 nên O D O E1 / / 2

Suy ra DO B· 1 ·EO C2 DBO· 1 ·ECO2 DE BC/ / ·BDE CEx·

Mặt khác ·BAD ·BDE  ADCE nội tiếp đường tròn.

Vì hai tứ giác ADEC và AECM đều nội tiếp được nên ngũ giác ADECM nội tiếp được trong đường tròn đường kính AM

Suy ra ·ADM 900, nhưng ·ADB  90 0

Do đó D B M, , thẳng hàng

Bài 8:

Cho ABC, về phía ngoài vẽ ba tam giác

đều ABC BCA CAB1 , 1 , 1 Chứng minh

Thật vậy, do AC C1  ABB1 MBA· MC A MCA· 1 ;· ·MB A1

Nên các tứ giác AMBC AMCB1 , nội tiếp ·AMB ·AMC 1200

Do đó BMA·  1200 BMCA1 nội tiêp được

Do tính chất của góc nội tiếp nên MAC· 1 MCA· 1  600

Vì hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên A M A, , 1 thẳng hàng

Bài 9: Tuyển sinh vào 10 chuyên PTNK – ĐHQG Hồ Chí MinhCho điểm C thay đổi trên nửa đường

tròn đường kính AB 2R C A C B,  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C

lên AB; I và J lần lượt là tâm đường

tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH

Các đường thẳng CI CJ, cắt AB lần

lượt tại M và N Chứng minh rằng

, ,

MJ NI CH đồng quy

Lời giải

Gọi O là tâm của đường tròn đường kính AB Ta có ·ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà ·BCN HCN· (J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHB)

Do đó ·ACN ·ANC nen tam giác ANC cân tại A Suy ra AN AC

Chứng minh tương tự ta có tam giác BCM cân tại B nên BM BC

Xét ACN cân tại A, AL là đường phân giác nên đồng thời là đường cao, trung tuyến

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc

với BC AC, tại A B', ' Gọi M N, lần lượt là

trung điểm của AB AC, Chứng minh rằng

Hạ các đường cao IE IF ND, , lần lượt vuông góc BC CA AB, , Ta chứng minh BI là phân

giác góc ·ABC Tức là ta chứng minh IE IF IF 12h a

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( )O đường

tròn có trực tâm H Gọi A B C1 , , 1 1 lần lượt là

điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB Xét

một đường thẳng d đi qua H Gọi d d d1 , , 2 3

lần lượt là các đường thẳng đối xứng với d

qua BA CA AB, , Chứng minh rằng d d d1 , , 2 3

đồng quy

Lời giải

Do A B C1 , , 1 1 lần lượt đối xứng với H qua BC CA AB, , nên chúng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC

Giả sử ( )O cắt d tại M N, Gọi I là giao điểm của d d2 , 3

Suy ra tứ giác AC IB1 1 nọi tiếp, hay I thuộc đường tròn ( )O

Tương tự các cặp đường thẳng d d1 , 2 và d d1 , 3 cũng cắt nhau tại một điểm thuộc ( )OCác đường thẳng này không phải là các cạnh của tam giác ABC nên nó cắt nhau tại một điểm I

Bài 12:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)

Gọi A B C1 , , 1 1 lần lượt là trung điểm của các

cung BC CA AB, , Các cạnh của tam giác

ABC và A B C1 1 1 cắt nhau tạo thành một lục

giác Chứng minh ba đường chéo chính của

lục giác đồng quy

Lời giải

Từ giả thiết ta có AA BB CC1 , 1 , 1 là ba đường phân giác của tam giác ABC nên chúng đồng quy tại I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Kí hiệu lục giác tạo thành là M M M M M M1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Xét một đường chéo chính, chẳng hạn M M2 , 5 Theo tính chất của phân giác, ta có:

Theo trên ta có

' ' '