Dang toan bat dang thuc on thi hsg dai so 8

Chứng minh rằng:... Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?... Chứng minh: c Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác... Cộng từng vế ta có điều phải chứng minhBài 25 : Cho là các số dương..

2 2

11

x x A





  

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006  x 2007 2006

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

1

x A

Bài 14: Cho hai số ,x y thỏa mãn điều kiện  2 22 2 2 2 2

Bài 15 : Cho các số , ,a b c thỏa mãn 1 , , 0.a b c

a b c b c a c a b 

Bài 20 :Cho ,x y  thỏa mãn 0 x y  Chứng minh rằng : 2

2 2

Bài 27 : So sánh hai số sau: C  2 1 2  2 1 2 4 1 2 8 1 2 16 1 và D232

Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 40 : Cho a b c   Chứng minh rằng: 3. a4     b4 c4 a3 b3 c3

Bài 41 : Chứng minh rằng : x1  x3  x4 x    với mọi x6 10 0

Bài 42 : Cho x0,y0,z và 0 x y z  1.

Chứng minh rằng

72

a b c  b c a  c a b 

Bài 51 : Cho biểu thức  2 2 22 2 2

Bài 52 : Cho 3 số dương a,b,ccó tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

Bài 75: Cho a3  b3 2.Chứng minh rằng a b  2

Bài 76: Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 80: Cho biểu thức A 2a b2 2  2b c2 2  2a c2 2   a4 b4 c4 Chứng minh rằng nếu a b c, ,

Bài 81: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

x2 y2   z2 t2 x y z t    Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 91 : Cho a b c   0, chứng minh: P a    3 b3 c3 3abc 0.

Bài 92 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 94 : Cho x y 2 Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018.

Bài 97 : Cho ,a b thỏa mãn 0 a b  Chứng minh 1.

b) Cho a, b là các số tùy ý Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh:

Bài 102: Cho a3b32.Chứng minh rằng a b 2  

Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:

là 3 cạnh của một tam giác thì

Bài 108: CMR với a b c, , là các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc   Chứng minh rằng

1 1 1 3

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác Chứng minh:

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:

Bài 123: Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z  6 Chứng minh rằng

4 9

x y xyz 

Bài 124: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng

1 1 1 1

Bài 128: Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

với mọi số dương a b c, ,

Bài 131: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

a b c b c a c a b 

Bài 143 : Cho , ,x y z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4 : Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng:1

.2

c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

2 2

11

x x A

Suy ra:

2 2

Bài 9 : Cho 3 số dương , ,a b c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1

a b c b c a c a b 

Bài 20 : Cho ,x y  thỏa mãn 0 x y  Chứng minh rằng : 2

2 2

a  b a bChứng minh  1 2a22b2 a2 2ab b 2

a b a b ab ab

02

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 25 : Cho là các số dương Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

04

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 khi a673,b672,c671

Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác

Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng

Dấu xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

32

Từ (1) và (2) suy ra đpcm Dấu " " xảy ra khi a b c 

Bài 36 Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng:1

.2

Cộng lại ta có điều phải chứng minh

Bài 39 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh:

a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0



1

2 [(a– b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0 (luôn đúng) Vậy

27

xy yz zx   xyz

Bài 44 : a Chứng minh x2  x 1 0(với mọi x)

b Chứng minh:

2 2

Suy ra:

2 2

3

x    x 1

 

Bài 45 : Cho x,y,zlà các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " " xảy ra  x y

Bài 46: CMR với a,b,clà các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

Bài 47 : Cho x,y,zdương và x y z 1.   Chứng minh rằng :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 50 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:

Vậy 2.VT  4a b c    4 VT  2 Dấu “=” xảy ra    a b c 13

Bài 67: Cho x y z, , là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi x y

Bài 68: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1

Bài 76: Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 79: Biết a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điềuphải chứng minh.

Bài 80 : Cho biểu thức A 2a b2 2 2b c2 2 2a c2 2  a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a b c, ,

Do a b c, , là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 81: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:

Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh

( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a b c d, , ,

Chứng minh rằng:

Bài 82 : a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

x2 y2   z2 t2 x y z t    Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

 

 

2

2 2

* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương.

Ta có: a4   b4 c4 abc a b c   

Bài 90 : Cho ba số dương a b c, ,

Dấu “ =” a b c   0.

KL:

3 2

Vậy, P a   3 b3 c3 3abc0 với a b c   0 Dấu “=”    a b c 0.

Bài 92 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

+ Theo BĐT tam giác ta có:

Bài 94: Cho x y 2 Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018

bc a

b) Cho a, b là các số tùy ý Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Dấu bằng xảy ra khi

Thay vào ta được:

là 3 cạnh của một tam giác thì

Lời giải

Bài 108: CMR với a b c, , là các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

1 1 1 3

(Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM

Đẳng thức xảy ra khi

1 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 119: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1.Chứng minh rằng

1 1 1

9

a b c  

Lời giải

Từ

1 1 1

1 1

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

x y xyz 

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 131: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

Bài 136 : Chứng minh bất đẳng thức:

32

12

a b

Đặt b c a x   0; c a b y   0; a b c z   0

a  b  c Thay vào ta được:

11

Hay

1 1 1 12

Bài 144: a) Cho , ,a b c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi