5 b Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước .... Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse .... 6 a Viết phương trình mặt
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 01 - ỨNG DỤNG MA TRẬN
VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Trang 2DANH SÁCH THÀNH VIÊN
Trang 3MỤC LỤC
Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU 3
Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4
1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp 4
a) Khối tứ diện 4
b) Khối hộp 4
2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng 5
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước 5
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước 5
3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse 6
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng 6
b) Viết phương trình ellipsoid 6
Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ 8
1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp 8
a) Khối tứ diện 8
b) Khối hộp 8
2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng 9
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước 9
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước 9
3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse 10
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng 10
b) Viết phương trình ellipsoid 11
Trang 4Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU
ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
– Nêu được các ứng dụng của định thức trong
• Tính thể tích của khối tứ diện, khối hộp;
• Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước, phương trình mặt phẳng
qua ba điểm không thẳng hàng cho trước;
• Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse
– Viết chương trình MATLAB sử dụng cho một trong các ứng dụng trên.
Trang 5Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp
a) Khối tứ diện
Bài toán đặt ra
Cho hình tứ diện ABCD dựng trên 3 vector
( ) ( ) ( )
AB AB AB
AC AC AC
AD AD AD
AB x ; y ; z
AC x ; y ; z
AD x ; y ; z
=
=
=
Tính thể tích khối tứ diện trên
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thông: Tính theo tích hỗn tạp của các vector:
1 6
ABCD
V = AB, AC AD (1)
Nếu biến đổi công thức (1) theo trình tự: Khai triển công thức tích có hướng, sau đó nhân
vô hướng, ta thu được kết quả như sau:
1 6
AB AB AB AB AB AB
AC AC AC AC AC AC
Nhận xét : Công thức (2) chính là công thức tính định thức ma trận khai triển theo hàng 3
Vì vậy ta có thể đưa công thức (1.2) về dạng định thức của ma trận vuông cấp 3
1 6
AB AB AB ABCD AC AC AC
AD AD AD
x y z
x y z
b) Khối hộp
Bài toán đặt ra
Từ hình tứ diện ABCD nêu trên,
Hãy dựng nên một hình hộp ABEC.DHGF dựa trên 3 vector
( ) ( ) ( )
AB AB AB
AC AC AC
AD AD AD
AB x ; y ; z
AC x ; y ; z
AD x ; y ; z
=
=
=
Tính thể tích khối hộp trên
Hướng giải quyết : Từ đề bài nhận thấy : V ABEC DHGF =6.V ABCD
Do đó, ta có thể đưa ra công thức tính thể tích của khối hộp theo dạng định thức của ma trận vuông cấp 3
AB AB AB ABEC DHGF AC AC AC
AD AD AD
x y z
x y z
Trang 62 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước
Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm phân biệt có tọa độ gồm A x ; y( A A) và B x ; y( B B) Viết phương trình đường thẳng AB
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thông, phương trình đường thẳng AB có dạng:
( ) ( )
2 A 1 A 0
u x−x −u y−y = (5) Trong đó, vector chỉ phương u=(u ;u1 2) (= x A−x ; y B A−y B) (6)
Như vậy, kết hợp (5) và (6) ta được : (y A−y B) (x− x A−x B)y+(x y A B−x y B A)=0
1 1
y x x x
x y
Nhận xét : Công thức (7) chính là khai triển theo hàng 1 của định thức vuông cấp 3
1
1 0 1
A A
B B
x y
AB : x y
x y
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước
Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm A x ; y ; z( A A A),
( B B B)
B x ; y ; z và C x ; y ; z( C C C)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thông, phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:
( A) ( A) ( A) 0
Trong đó, vector pháp tuyến ( ) AB AB AB AB AB AB
AC AC AC AC AC AC
Như vậy, kết hợp (9) và (10) ta thu được định thức của ma trận vuông cấp 3
0
AB AB AB
AC AC AC
x x y y z z
x y z
x y z
− − −
Trang 7Nhận xét : Công thức (11) chính là công thức khai triển tính định thức theo cột 4 của ma trận vuông cấp 4 sau:
1 0 0 0 0
AB AB AB
AC AC AC
x y z
x x y y z z
x y z
x y z
− − −
Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho hàng và cột của ma trận công thức (12) ta thu được kết quả cuối cùng như sau:
( )
1 1 0 1 1
A A A
B B B
C C C
x y z
x y z ABC :
x y z
x y z
3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng
Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng có tọa độ gồm A x ; y ; z( A A A),
( B B B)
B x ; y ; z , C x ; y ; z( C C C) và D x ; y ; z( D D D)
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm trên
Hướng giải quyết : Phương trình mặt cầu (S), nhận I a;b;c( ) làm tâm, tổng quát dạng:
2 2 2
2 2 2
x +y +z = ax+ by+ cz−d với a2+b2+ − c2 d 0
Do bốn điểm A, B,C và D nằm trên (S) nên
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A A A A A A
B B B B B B
C C C C C C
D D D D D D
ax by cz x y z
ax by cz x y z
ax by cz x y z
ax by cz x y z
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
(14)
Đưa công thức (15) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:
1 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
x y z
a x y z
x y z
b x y z
x y z
c x y z
x y z
d x y z
−
− + +
+ +
Từ công thức (15) có thể tìm được tọa độ tâm I a;b;c( ) của phương trình mặt cầu (S) b) Viết phương trình ellipsoid
Bài toán đặt ra
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm A x ; y ; z( A A A),
( B B B)
B x ; y ; z và C x ; y ; z( C C C)
Viết phương trình ellipsoid (E) qua ba điểm trên
Trang 8Hướng giải quyết : Phương trình ellipsoid (E), với a và b là bán kính xích đạo và c là bán kính cực, tổng quát dạng:
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a +b +c =
Do A, B và C nằm trên (E) nên
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
1
A A A
B B B
C C C
x y z
a b c
x y z
a b c
x y z
a b c
+ + =
+ + =
+ + =
(16)
Đưa công thức (16) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 1
1 1 1
A A A
B B B
C C C
a x y z
x y z b
x y z c
−
=
(17)
Từ công thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E) Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse
Trang 9Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ
1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp
a) Khối tứ diện
1 6
AB AB AB ABCD AC AC AC
AD AD AD
x y z
x y z
Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A ; ;(1 1 1), B(3 2 4; ; ), C(0 3 6; ; ) và
(4 1 5)
D ;− ; Hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình tứ diện ABCD
( ) ( ) ( )
2 1 3
1 2 5
3 2 4
AB ; ;
AC ; ;
AD ; ;
=
= −
= −
Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên
2 1 3
1 2 5
3 2 4
A
= −
−
Bước 3: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo công thức (3)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 1 5 3 3 1 2 3 2 3 2 5 2 4 1 1
ABCD
V = A = . + . + . − . − − . + − . + . − . =
Bước 4: Kết luận
Thể tích của khối tứ diện ABCD là 43
6
ABCD
V =
b) Khối hộp
AB AB AB ABEC DHGF AC AC AC
AD AD AD
x y z
x y z
=
Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A ; ;(1 1 1), B(3 2 4; ; ), C(0 3 6; ; ) và
(4 1 5)
D ;− ; Hãy tính thể tích khối hộp ABEC.DHGF
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình hộp ABEC.DHGF
Trang 10( ) ( ) ( )
2 1 3
1 2 5
3 2 4
AB ; ;
AC ; ;
AD ; ;
=
= −
= −
Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên
2 1 3
1 2 5
3 2 4
A
= −
−
Bước 3: Tính thể tích của khối hộp ABEC.DHGF theo công thức (4)
( ) ( ) ( ) ( )
ABCD
V = A = . + . + . − . − − . + − . + . − . =
Bước 4: Kết luận
Thể tích của khối hộp ABEC.DHGF là V ABEC DHGF =43
2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước
1
1 0 1
A A
B B
x y
AB : x y
x y
=
Đề bài : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A( )0 9; và B(6; −1) Hãy viết phương trình đường thẳng AB
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 3 theo công thức (8)
1
0 9 1
6 1 1
x y A
=
−
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AB bằng cách khai triển định thức ma trận A theo hàng 1
0
AB : x −y + =
Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2
( ) ( )
10 6 54 0
AB : x. −y. − + − = Bước 4: Kết luận
Phương trình đường thẳng AB là 5 x+3y−27= 0
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước
Trang 11( )
1 1 0 1 1
A A A
B B B
C C C
x y z
x y z ABC :
x y z
x y z
=
Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm A(2 6 0; ; ), B(9 5; ; −8) và C(7 4 1; ; ) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 4 theo công thức (13)
1
2 6 0 1
9 5 8 1
7 4 1 1
x y z A
=
−
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) bằng cách khai triển định thức ma trận A theo hàng 1
( )
6 0 1 2 0 1 2 6 1 2 6 0
5 8 1 9 8 1 9 5 1 9 5 8 0
4 1 1 7 1 1 7 4 1 7 4 1
ABC : x − −y − +z − − =
Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2
(ABC : x.) (−17)−y.47+z.( ) (− − −9 316)=0 Bước 4: Kết luận
Phương trình mặt phẳng (ABC) là17 x+47y+9z−316= 0
3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng
1 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
x y z
a x y z
x y z
b x y z
x y z
c x y z
x y z
d x y z
−
− + +
+ +
Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A(2;−3 5; ), B(2 1 0; ; ),C(3 2 1; ; ) và
(2 3 4)
D ;− ; Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm trên
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập hai ma trận (bên phải dấu “=” công thức (15)) theo các tọa độ đã cho
4 6 10 1
4 2 0 1
6 4 2 1
4 6 8 1
A
− −
−
=
−
− −
và
38 5 14 29
B
=
Bước 2: Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S) theo công thức (15)
Trang 121
3 2
4 6 10 1 38
3
4 2 0 1 5
2
6 4 2 1 14
9
4 6 8 1 29
2 8
a b
A B c
d
−
−
−
− −
−
= = =
−
− −
−
Bước 3: Kết luận
Phương trình mặt cầu (S) là 2 2 2
3 3 9 8 0
x +y +z + x− y− z− =
b) Viết phương trình ellipsoid
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 1
1 1 1
A A A
B B B
C C C
a x y z
x y z b
x y z c
−
=
Từ công thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E) Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse
Đề bài 1 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho hai điểm 1 6 7
7
A ;
và
2 21 5
7
B ;
Hãy viết
phương trình ellipse (E) đi qua hai điểm trên
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho
36 1 7 12 5 7
A
Bước 2: Tìm giá trị chiều dài và chiều rộng của ellipse theo công thức (17)
1 2
1
2
1
1 7 1 7
1 1 12 1 1
5
a A b
−
−
Bước 3: Kết luận
Phương trình ellipse (E) là
2 2
1
x y
+ =
Trang 13Đề bài 2 : Tính thể tích quả bóng bầu dục có hình ellipsoid được đưa vào tọa độ Descartes như sau: A(0;−1 37 0 53, ; , ), B(0 74 0 93, ; , ;−0 25, ) và C(0 79, ;−0 19 0 33, ; , ) Biết đơn vị thể
tích là dm 3
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho
0 1 8769 0 2809
0 5476 0 8649 0 0625
0 6241 0 0361 0 1089
, ,
A , , , , , ,
Bước 2: Tìm giá trị bán kính xích đạo và bán kính cực của ellipsoid theo công thức (17)
1 2
2 1 2
−
−
− −
−
0 9
2 1
0 7
a ,
b ,
c ,
Bước 3: Tính thể tích của ellipsoid theo công thức 4
3
ellipsoid
V = abc
4
0 9 2 1 0 7 1 764 3
b
V = , , , = , dm
Bước 4: Kết luận
Thể tích của quả bóng bầu dục đó là ( )3
5 54
b
V , dm
- HẾT – (Thuật toán MATLAB trong file kèm theo)
