5-15 BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT NGUYỄN VĂN MINH TRÍ Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng LÊ VĂN MẠNH Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh Tóm tắt
Trang 1Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr 5-15
BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT
NGUYỄN VĂN MINH TRÍ Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
LÊ VĂN MẠNH Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh
Tóm tắt: Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển của bộ PID
bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến nhiều đầu vào - nhiều đầu ra có các thành phần tác động không định Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài Sự hội tụ của hệ thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Kết quả mô phỏng trên tay máy hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ thống hội tụ về không
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó Ba thông số của bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn Trong những năm gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển Các phương pháp
tự điều chỉnh PID dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1, tr 2] Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ thống ổn định nhanh với
sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống không xác định
Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra cho hệ thống không xác định nhiều đầu vào và nhiều đầu ra (MIMO) như tay máy robot Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động Trong nghiên cứu này, các thông số PID được xác định theo các hệ số Kconst, C, I
và φ
2 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xét một hệ thống phi tuyến MIMO biểu diễn phương trình trạng thái của tay máy
( )q, q B( )q u d( )t a
trong đó u ∈ R nlà vectơ các lực tổng quát, q ∈ R nlà vectơ các biến khớp, B(q) là ma
trận nghịch đảo của ma trận môment quán tính tay máy H( )q H T( )q ,H( )q R n×n
∈
>
Trang 2( )q, q H [C( )q, q q g( )q ]
a !! = −1 ! !+ với C( )q, q! q!∈R n là vectơ lực coriolis và lực ly tâm,
( )q R n
g ∈ là vectơ lực trọng trường, d ∈Rnlà vectơ nhiễu không xác định
Giả thuyết rằng:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
≤
=
≤
−
D d
H H B
A a
d R
q ∈ là vectơ quỹ đạo mong muốn và e=q d −q; e!=q!d −q! là vectơ sai lệch bám
và đạo hàm của chúng
Chọn σ i =C i e i +e!i, trong đó C=diag(C1,C2, ,C n); C i∈R; C i >0; i=1, ,n
trong đó K =diag(K1,K2, ,K n); K i =K >0; i=1, ,n
n
σ , , σ , σ
Định lý 1: Cho hệ thống (1) thỏa mãn giả thiết (2) với u chọn theo (3), trong đó
=H A D η C e q ; η
K ! !!d , thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0
Chứng minh:
Đạo hàm của σ là: σ!=C e!+q!!d −q!!⇔σ! =C e!+q!!d −a( )q, q!! −B( )q Ksgn( )σ −d( )t
2
1
3 = σ σ≥
⇒
(C e e)
σ σ σ
−
−
−
!
( )q ( )σ [H (C e q a( )q, q d( )t ) K]
B σ V
σ K t d q q, a q e C B q B σ V
d T
d T
− +
+ +
≤
−
−
− +
!!
!!
!
!
!!
!!
!
!
sgn
sgn 3
1 3
Rõ ràng V!3 ≤0 nếu K≥H(A+D+η+ C e! +q!!d ) với η là hằng số dương nhỏ bất kỳ Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: 0
2
1
3 = σ σ≥
V T có V!3≤0, sẽ đảm bảo hệ thống
có σ→0 Khi σ = 0 = Ce+e! tương đương với C i e i+ !e i =0 =;i 1, ,n Với Ci > 0 thì ei → 0 khi t→∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci
vật lý của hệ thống Nên có thể tìm được một hằng số E sao cho: C e!+ !q!d ≤E (4) Từ
đó ta có thể chọn K=(A+D+η+E)H là hằng số
Trang 3Hệ quả : Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó:
(A D E)H K const
thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0
Nhận xét 2: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau:
[u ,u , ,u ] ,
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
>
≤
≤
− +
+ +
−
<
−
, ,n i
σ khi K
σ khi
dt e I C e
K e I C K
σ khi K
u
i i const
i i i
t i i
i i i i
const i
i
i i const
i i const
i
1
0
φ
φ φ
φ φ
φ
φ
Giả thiết rằng: Với mọi lim ( )= lim ( )=0
∞
→
∞
t const d
t d t =d
∞
→
Cho mỗi cặp (q const , d const ), luôn tồn tại một điểm cân bằng [q const ,0] T và một tín hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định:0=a(q const ,0)+B(q const)u+d const (7)
Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6)
với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín, [ ] [ ]T
const T
, q q
q,! = 0 , là ổn định toàn cục
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần Phần 1 sẽ chứng minh rằng với
tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ bất kỳ quanh điểm cân bằng [ ] [ ]T
const T
, q q
q,! = 0 Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham
số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng
* Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i
- Khi σi > thì uφi i = K const sign(σ i ), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống sẽ được
đẩy vào bên trong một lớp biên L i ={q iσi ≤φi}
- Khi σi ≤ , φi σi =C i e i +e!i => e!i =−C i e i+σi
Tồn tại một số Mi sao cho Mi (-C i ) + (-C i ).M i = - 1 => M i =
i
C
2
1
Chọn V 4 = M i e i2 ⇒ V!4=−2.M i.C i.e i2+2.M i.e i.σi
i i i
C e
V!4 ≤− 2 + 1 σ ; Nếu
i
i i
C
2 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
i
i i
C e
Trang 4Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có
i
i i
C
Suy ra e!i ≤ −C i e i +σi ⇔e!i ≤ φi+φi =2φi
C
i
i
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤
∩
≤
∩
điểm cân bằng (e=0,e!=0), hay là điểm cân bằng [ ] [ ]T
const T
,0 q q
* Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i
Đặt s i =σi +I i∫ σi dt, tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8) Khiσi ≤ , có 4 khả năng xảy ra: φi
! Nếu s!i =σ!i +Iσi =0, σi sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là Ii, và ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1
" Nếu s!i =σ!i+I iσi <0 khi σi >0 hoặc s!i =σ!i +I iσi >0khi σi <0, ta cho thể nhân hai vế của bất đẳng thức để được: σ!iσi+I iσi2<0⇔σ!iσi <−I iσi2≤0
≤
−
=
−
<
V! σσ! σ , do đó ei→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1
# Nếu s!i =σ!i +I iσi <0 khi σi <0, điều này đồng nghĩa là hàm s i luôn giảm khi s i<0
Do đó, sau một thời gian xác định, si<-φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo V!3 ≤0, ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1
$ Nếu s!i =σ!i +I iσi >0khi σi >0, điều này đồng nghĩa là hàm s i luôn tăng khi s i >0
Do đó, sau một thời gian xác định, s i >φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo V!3≤0, ei → 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1
Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng với:e i =0,e!i =0,e!!i =0,u i =u i,s i =s i; Trong đó s I C (q di q i)dt const
t i
i = lim→ ∞∫ − = Đặt ~s i =s i−s i và một hàm Lyapunov : 2
2
1
i
V = ; Đạo hàm V5i, ta được:
i i
i s s
V!5 =~.!=−s~i2+ s~i2(s i −s i+s!i) với
∫
+
s i σi i σi , σi =C i e i +e!i
( i i i i i i i i i i i i i i i )
i i
Trang 5( ) ( )
( i i i i i i i i i i i i i)
i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
s dt e C I e e C I e
C I I C s s V
e I e e C I e e C s dt e C I e e C s s V
− +
+ +
+ + +
+ +
−
=
+ + +
+ +
− +
+ +
−
=
∫
∫
!!
!
!
!
!!
!
!
!
1
~
~
~
~
2 2 5
2 2 5
i i
Vì e i →0,e!i →0,e!!i →0,(I i C i∫ (q di−q i)dt−s i)→0 khi t→∞, bất đẳng thức
trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng (e i =0,e!i =0) Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng (e=0,e!=0), hay
const T
,0 q q
q,! = là ổn định toàn cục
3 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
3.1 Mô hinh toán học tay máy robot 2 bậc tự do [3]
Xét hình chiếu bằng cánh tay robot như hình 1, gọi qlà véc-tơ vị trí của hai khớp, khi
đó: q = [q 1 q 2]T Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi: L(q,q!)=K(q,q!)−P( )q (9),
trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống
Hình 1 Hình chiếu bằng của tay máy robot
Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được xác
định bởi: ( , ) ( , ); 1 2
÷
=
∂
∂
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
q
q q L q
q q L dt
d
i
!
!
!
!
Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange:
Trang 6( )
( )
2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 2 1 2
2 2 2
2 1 2
2 1 1 1
sin sin
2 cos
cos 2
q q l
l m q q q l
l m q I q l
l m l m
q I I q l
l m l
m l m l m
C C
C C
C C
C
!
!
!
!!
!!
−
− +
+ +
+ +
+ +
+ +
= τ
(11)
( )
1 2 2 1 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2
2 = m l C +m l l C cos q +I q!! + m l C +I q!! +m l l C sin q q!
3.2 Mô phỏng và kết quả
Với thông số:
i
i i consti Pi
I C K K
φ
+
;
i
i i Ii
I C K
φ
i
consti Di
K K
φ
=
a) Với K consti , I i , φ i (i = 1÷3) là hằng số và C i lần lượt là C 1 = 3; C 2 = 10; C 3 = 30 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Dap ung q va qd
Thoi gian [s]
u13 u11
-0.5 0 0.5 1
1.5
Sai lech e
Thoi gian [s]
e13 e11
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Sai lech e
Thoi gian [s]
e23 e21
-20 -10 0 10 20 30 40 50
Dap ung q va qd
Thoi gian [s]
u23 u21
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Dap ung q va qd
Thoi gian [s]
u23 u21
Trang 7* Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ quỹ đạo của các khâu bám được quỹ đạo chuẩn chậm so với
Ci lớn hơn Nếu Ci lớn thì sai lệch ei của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự dao động Tóm lại Ci ảnh hưởng đến sự tác động nhanh của hệ
b) Với C i , I i , φ I (i = 1÷3) là hằng số và K consti lần lượt là K const1 = 0,1; K const2 = 0,6;
K const3 = 1500 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Dap ung q va qd
Thoi gian [s]
u13 u11
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Sai lech e
Thoi gian [s]
e13 e11
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Dap ung q va qd
Thoi gian [s]
u23 u21
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Sai lech e
Thoi gian [s]
e23 e21
tín hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ và
ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ
