008 25 1 TOAN 10 b25 c8 NHI THUC NEWTON DE

Sơ đồ hình cây của CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI 25: NHỊ THỨC NEWTON Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển: Quan sát các đơn thức ở vế ph

Trang 1

Sơ đồ hình cây của

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP

BÀI 25: NHỊ THỨC NEWTON

Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a

và b Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển a b n khi n4;5 không?

Ví dụ 1: Khai triển 2x 14.

Lời giải

Thay a  2 x và b 1 trong công thức khai triển của a b 4, ta được:

 4  4  3  2 2   3 4

2

1 4

16 3

1 6 2 1 4 2 1





C

H

Ư

Ơ

N

G

LÝ THUYẾT.

I

=

I

Trang 2

Ví dụ 2: Khai triển x  24.

Lời giải

Thay a x và b 2 trong công thức khai triển của a b 4, ta được:

 4 4 3   2  2  3  4

4

1

2

x

           



 





Ví dụ 3: Khai triển x 35

Lời giải

Thay ax và b  trong công thức khai triển của 3 a b 5

, ta được:

              

Ví dụ 4: Khai triển 3x  25

Lời giải

 5 0 5 1  4  2  3 2 3  2 3 4   4 5 5

3x 2 C 3x C 3x 2 C 3x 2 C 3x 2 C 3x 2 C 2

Ví dụ 5:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 1 0,05 4 để tính giá trị gần đúng của 1,05 4 b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận4 được ở câu a

Lời giải

a)  4 0 4 1 3 1

1 0,05 C 1 C 1 0,05  1 0, 2 1, 2

b) Cách bấm: 1.05^4=

Hiển thị

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625

Trang 3

8.12 Khai triển các đa thức:

a) x  34

; b) 3x 2y4

; c) x54x 54

; d) x 2y5

8.13 Tìm hệ số của x trong khai triển của 4 3x 15

8.14 Biểu diễn 3 2 5 3 25

dưới dạng a b 2 với ,a b là các số nguyên.

8.15 a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 1 0,02 5

để tính giá trị gần đúng của 5

1,02

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng 5 nhận được ở câu a

8.16 Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân

số hằng năm của tỉnh đó là %r

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là

5

800 1

100

r

P   

  (nghìn người)

b) Với r 15%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của 1 0,015 5

, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người)

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

Trang 4

TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN

1 CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Khai triển a b n được cho bởi công thức sau:

Với a b, là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có

0

n

n k n k k n n k n k k n n

k



Quy ước a0 b0 1

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Trong biểu thức ở VP của công thức (1)

a) Số các hạng tử là n 1

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n

c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: 1

k n k k

k n

2 HỆ QUẢ

Với a b 1, thì ta có 2n C n0C1n C n n

Với a1;b1, ta có 0 0 1  1 k k  1 n n

3 CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON

  1n 0 n 1 n 1 2 n 2 k n k n 1 n

x C x C x  C x   C x   C x C 

 1 n 0 1 2 2 k k n 1 n 1 n n

  1n 0 1 2 2  1 k k k  1 n 1 n 1 n 1  1 n n n



C n C n

 C n k C n k1C n k11,n1



1 1

1 !

k !

n n n



1 1

1 !

n n

k n





Trang 5

Dạng 1 Khai triển biểu thức dạng a b 4

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với n  ta có 4

a b 4 C a40 4C a b C a b1 34  42 2 2C ab43 3C b44 4

Câu 1 (NB) Khi khai triển nhị thức Newton x y 4

ta thu được bao nhiêu hạng tử

Câu 2 (NB) Khai triển nhị thức Newton 1 x 4

Câu 3 (NB) Khai triển nhị thức Newton x 24

Câu 4 (NB) Khai triển nhị thức Newton x 14.

Câu 5 (TH) Khai triển nhị thức Newton 2x y 4

Câu 6 (TH) Khai triển nhị thức Newton x 3y4

Câu 7 (TH) Khai triển nhị thức Newton

4

2 1

x x



Câu 8 (TH) Khai triển nhị thức Newton

4

2

1

x x



Câu 9. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4

có bao nhiêu số hạng?

Câu 10. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x  34 có bao nhiêu số hạng?

II

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

Trang 6

Câu 11. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4

, số hạng tổng quát của khai triển là

A. 4 1 5

k k k

C a b 

k k k

C a b

k k k

C a b  

k k k

C a b 

Câu 12. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x  34

, số hạng tổng quát của khai triển là

A. C4k2 3 k 4k x4k

4k2 k 3 k k



C. C4k2 3 4k k x4k

4k2k 3 k k



Câu 13. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 2x 4

A 1 B 1 C 81 D 81

Trang 7

Câu 14. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3x 4

, số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là

Câu 15. Tìm hệ số của x y trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2 2 x2y4

A. 32 B. 8 C. 24 D.16

Câu 16. Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của P x  4x2x x  24

A. 28x2 B. 28x2 C. 24x2 D. 24x2

Câu 17. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn A n32A n2 48 Tìm hệ số của x3 trong khai triển nhị thức

Niu-tơn của 1 3 xn

A. 108 B. 81 C. 54 D. 12

Câu 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

4 3

1

x x



A. 1 B. 4. C. 6 D. 12.

Dạng 2 Khai triển biểu thức dạng a b 5

Sử dụng công thức:  5 0 5 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 5 5

a b C a C a b C a b C a b C a b C b

5 5 4 1 10 3 2 10 2 3 5 1 4 5

Câu 1: Khai triển biểu thức a b 5

Câu 2: Khai triển biểu thức (x 1)5.

Câu 3: Khai triển biểu thức x 15

Câu 4: Khai triển biểu thức x25

Câu 5: Khai triển biểu thức 2x y 5

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

2

=

I

Trang 8

Câu 6: Khai triển biểu thức x 3y5

Câu 7: Khai triển biểu thức 2x3y5

Câu 8: Khai triển biểu thức 2x 3y5

Trang 9

Câu 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton ( )5

1

x+ .

A.

5 5 4 10 3 10 2 5 1

x + x + x + x + x+ . B x5- 5x4- 10x3+10x2- 5x+1.

C

5 5 4 10 3 10 2 5 1

x - x + x - x + x- . D. 5x5+10x4+10x3+5x2+5x+1.

Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton ( )5

x- y .

A x5- 5x y4 +10x y3 2- 10x y2 3+5xy4- y5 B x5+5x y4 +10x y3 2+10x y2 3+5xy4+y5

C x5- 5x y4 - 10x y3 2- 10x y2 3- 5xy4+y5 D x5+5x y4 - 10x y3 2+10x y2 3- 5xy4+y5.

Câu 3:

Khai triển của nhị thức x  25.

A x5- 100x4+400x3- 800x2+800x- 32 B 5x5- 10x4+40x3- 80x2+80x- 32.

C x5- 10x4+40x3- 80x2+80x- 32 D x5+10x4+40x3+80x2+80x+32 Câu 4: Khai triển của nhị thức ( )5

A x5+1620x4+4320x3+5760x2+3840x+1024.

B 243x5+405x4+4320x3+5760x2+3840x+1024.

C 243x5- 1620x4+4320x3- 5760x2+3840x- 1024.

D 243x5+1620x4+4320x3+5760x2+3840x+1024.

Câu 5: Khai triển của nhị thức ( )5

A 5 10- x+40x2- 80x3- 80x4- 32x5 B 1 10+ x+40x2- 80x3- 80x4- 32x5

C 1 10- x+40x2- 80x3- 80x4- 32x5 D 1 10+ x+40x2+80x3+80x4+32x5

Câu 6: Đa thức ( )P x =32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A ( )5

1

x-Câu 7: Khai triển nhị thức ( )5

2x+y Ta được kết quả là

A 32x5+16x y4 +8x y3 2+4x y2 3+2xy4+y5.

B 32x5+80x y4 +80x y3 2+40x y2 3+10xy4+y5.

3

Trang 10

C 2x5+10x y4 +20x y3 2+20x y2 3+10xy4+y5.

D 32x5+10000x y4 +80000x y3 2+400x y2 3+10xy4+y5.

Câu 8: Đa thức P x( )= -x5 5x y4 +10x y3 2- 10x y2 3+5xy4- y5

là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A ( )5

2

x- y .

Câu 9: Khai triển của nhị thức

5

1

x x

ç - ÷

A

-

C

Câu 10: Khai triển của nhị thức ( )5

2

xy+ là

A x y5 5+10x y4 4+40x y3 3+80x y2 2+80xy+32.

B 5x y5 5+10x y4 4+40x y3 3+80x y2 2+80xy+32.

C x y5 5+100x y4 4+400x y3 3+80x y2 2+80xy+32.

D x y5 5- 10x y4 4+40x y3 3- 80x y2 2+80xy- 32.

Dạng 3 Xác định một hệ số hay một số hạng trong khai triển của bậc 4 hay bậc 5:

Câu 1: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển 2x 14

Câu 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 2 3x 5

Câu 3: Tìm số hạng chứa x trong khai triển ( )4

Câu 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển 1 2x 5

Câu 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển

5

3 1

x x



  ( với x  ).0

Câu 6: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển

4

4 2

x x



  với x  0

2

=

I

Trang 11

Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

4

3

2x

x



  với x  0

Câu 8: Tìm số hạng chứa 2

1

x trong khai triển

4 2

1

2x

x



Câu 9: (VD) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

4 2

2

1

x



Trang 12

Câu 10: (VD) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C n1C n2 15 Tìm số hạng không chứa x trong

khai triển 4

2

n

x x



Câu 11: (VD) Cho khai triển   2

n

      thỏa mãn a08a12a21 Tìm giá trị của số nguyên dương n

Câu 12: (VDC) Tìm hệ số của x10 trong khải triển thành đa thức của (1 x x2x3 5)

Câu 13: (VDC) Tìm số hạng có hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của

2

n x



  biết n là

số nguyên dương thỏa mãn: 20 1 22 1 24 1 22n1 1024

C  C  C   C  

Câu 14: (VDC) Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển của biểu thức P x 3 x x2n

với n là số

nguyên dương thỏa mãn

3 2

12

n n

A C n

Câu 15: Khai triển theo công thức nhị thức Newton x y 4

A x4 4x y3 4x y2 2 4xy3y4 B x4 4x y3 4x y2 2 4x y1 3 y4

C. x44x y3 4x y2 2 4x y1 3y4 D. x4 4x y3  4x y2 2 4x y1 3y4

Câu 16: Đa thức P x  32x5 80x480x3 40x210x1

là khai triển của nhị thức nào?

A 1 2x 5

B 1 2x 5

C 2x 15

D x 15

Câu 17: Trong khai triển 2 a b5

, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

Câu 18: Tìm hệ số của đơn thức a b3 2 trong khai triển nhị thức a2b5

Câu 19: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x2y4

là:

A. C x y42 2 2. B. 6 3  x 2 2y2. C. 2 2 2

4

Câu 20: Biết  3 4 3 3

1 2 a a 2a 4

Tính a a1 2

3

Trang 13

A a a  1 2 24 B. a a  1 2 8 C a a  1 2 54 D. a a  1 2 36

Câu 21: Số hạng chứa x trong khai triển

4 2

x

  là số hạng thứ mấy ?

Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức

5 3

2

1

x x



Trang 14

Câu 23: Cho a là một số thực bất kì Rút gọn

M C a C a  a C a  a C a  a C  a

A M a4 B M  a C M 1. D M 1.

Câu 24: Giả sử có khai triển   2

n

Tìm a biết 4 a0a1a2 31

Câu 25: Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3 xn

là 90 Khi đó ta có 3n4 bằng

Câu 26: Tìm hệ số của x2 trong khai triển :   3 12

n

x

  

  , với x  , biết: 0 C n0C1nC n2 11

Câu 27: Tìm hệ số của x2 trong khai triển :   3

2

2 n

x

  

  , với x  , biết tổng ba hệ số đầu của0

x trong khai triển bằng 33

Câu 28: Tìm hệ số của x7 trong khai triển :   3

2

2 n

x

  

  , với x  , biết tổng ba hệ số đầu của0

x trong khai triển bằng 33

Câu 29: Cho khai triển:  

0

3 5 n n i

i i



 

Tính tổng S a 0a1a2 a n1 Biết : C n02C n14C n2 2 n C n n 243

A 3093 B 3157 C 3157 D 3093

Câu 30: Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n 3

trong khai triển thành đa thức của

   2 1n 2n

Tìm n để a3n3 26n

A n 11 B n 5 C n 12 D n 10

Câu 31: Cho khai triển:   2

n

, biết n thỏa mãn a08a1 2a2 Tìm1

hệ số lớn nhất của khai triển

Dạng 4 Tính tổng của các tổ hợp k 5; , 

n

C k n  k n  và ứng dụng (nếu có).

Trang 15

Câu 1: (NB) Tính tổng sau S C 100 C101  C1010

Câu 2: (NB) Tính tổng sau S C 61C62 C65

Câu 3: (NB) Tính tổng sau S C 602.C612 2C62 2 6C66

Câu 4: (NB) Tính tổng sau S C 120  C121 C122   C1211C1212

Câu 5: (TH) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n2 6n 7 0 Tính tổng S C n0C n1 C n n

Câu 6: (TH) Cho đa thức P x   1 x8

Tính tổng các hệ số của đa thức P x 

Câu 7: (TH) Tính tổng sau S C 201 2C202 2 2C203  2 19C2020

Câu 8: (TH) Tính tổng sau S C 200 C202 C204  C2020

Câu 9: Tính tổng: S C 12019.32018.2 C20192 32017.22C20193 32016.23  C20192018.3 21 2018C20192019.22019

Câu 10: Tính tổng: S C 20210 42021 C20211 42010.2C20212 42019.22 C20213 42018.23 C20212020.4 21 2020

Câu 11: Cho n *, tính tổng 27 20 28 21 29 22 210 23 22 6 22 1 22 7 22

Câu 12: Cho n là số tự nhiên Hãy tính tổng sau: S C 20n1C21n1C22n1 C2n n1

Câu 13: Cho n là số tự nhiên Thu gọn biểu thức S3C n07C1n11C n2 4n3C n n

theo n

Câu 14: Rút gọn biểu thức

Câu 1: (NB) Tổng T C n0 C n1 C n3 C n4  C n n bằng

Câu 2: (NB) Với n  , tổng 4 T C n0 C n2 C n4  bằng

A 22 1n B 2n1 C 2n D 2n  1

Câu 3: (NB) Tổng 0 1 2  1k k  1n n

bằng

2

=

I

3

Trang 16

Câu 4: (NB) Với n  , tổng 4 T C n1 C n3 C n5  bằng

A 22 1n B 2n1 C 2n D 2n  1

Câu 5: (NB) Biểu thức P C n k C n k1

A 11

k n

C 

k n

n

C .

Câu 6: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C n7 C n8 C n91 Giá trị của số n bằng

Câu 7: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 14 n 3 8 2

n n

Câu 8: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C1n C n2  C n n 4095 Giá trị của n bằng

Câu 9: (TH) Tổng 20 22 24 22k 22n

T C C C  C  C bằng

A 2n1 B 22n1 C 22n  1 D 22n

Câu 10: (TH) Cho T C12022C20223 C20225  C20222021 Tính biểu thức T  thì n bằng2n

Câu 11: Tính tổng C + C + C + + C 0n 1n 2n n n ta được kết quả là:

Câu 12: Tính tổng C0n C + C + +1n 2n  1 n nC n

ta được kết quả là:

A 0 B 2n

C 2n1 D 2n1 Câu 13: Tính tổng C + C + C + + C2n0 22n 2n4 22n n

A 2n1

B 2n C 22n1 D 22n1 Câu 14: Xét khai triểm 1 2 x x 220a0a x1  a x40 40

Tổng S a 0 a1 a40 là:

Câu 15: Tính tổng (C ) + (C ) + (C ) + + (C )0 2n 1 2n 2 2n n 2n

A 2

n n

2

n n

C 

C 22n1 D 22n Câu 16: Tính tổng n.2 C + n -1 2n 1 0   n 2.3.C + n - 2 21   n 3 2.3 C + + 3 C2 n 1 n 1

Trang 17

A 5n B n.5n C n.5n1 D 5n1

Câu 17: Tính tổng

1

2 n 3 n n n

 1

2

n n 

D

 1

2

n n 

Dạng 5 Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của x x4

, x x5

để tính gần đúng và

ứng dụng (nếu có).

Câu 18: Viết khai triển lũy thừa x x5

Câu 19: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x xn

để tính gần đúng số 6, 014

để tính gần đúng số

2022,025

Câu 21: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x xn để tính gần đúng số 4,985

để tính gần đúng số

1999,994

Câu 23: Tìm giá trị gần đúng của x , biết 9x5 59705,1

khi ta dùng 2 số hạng đầu tiên trong khai triển 9 x 5

2

=

I

Tiêu đề	Nhị Thức Newton
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	0,96 MB