004 11 1 TOAN 10 b11 c4 TICH VO HUONG TU LUAN DE TR170

· Sử dụng tính chất của tam giác, hình vuông… Câu 1.. DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI... CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Sử dụng các tính chất c

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

BÀI 11 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1 Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là

,

a b  được xác định bởi công thức sau:

  cos ,

a b a b  a b  Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a



và b

 bằng vectơ 0



ta quy ước a b 0

 

Chú ý

 Với a và b khác vectơ 0 ta có a b  0 a b.

 Khi a b tích vô hướng .a a  được kí hiệu là a2

và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a

Ta có:

2

.cos 0

a a a a

2 Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ a b c, ,

  

bất kì và mọi số

k ta có:

 a b b a  . (tính chất giao hoán);

 a b c     a b a c    

(tính chất phân phối);

  ka b k a b      a kb. 

;



a  a   a

Nhận xét Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

 a b2 a22 a b b2;

 a b  2 a2 2 a b b   2;

 a b a b        a2 b2

C

H

Ư

Ơ

N

G

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

r

A B

O

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ O i j; ; , 

cho hai vectơ a a a1; 2, bb b1; 2

Khi đó tích vô hướng

a b  là:

a b a b  a b

Nhận xét Hai vectơ aa a1; 2, bb b1; 2

đều khác vectơ 0

 vuông góc với nhau khi và chỉ khi

a b a b 

4 Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ aa a1; 2

được tính theo công thức:

a  a a

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu aa a1; 2

và bb b1; 2

đều khác 0 thì ta có

cos ;

a b a b

a b

a b



 

 

 

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x y A; A

và B x y B; B

được tính theo công thức:

 B A2  B A2

5 Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a 

và OB b .

Góc

AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b Ta kí hiệu góc giữa hai

vectơ a và b là a b,

Nếu a b , 900

thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là

ab hoặc ba.

b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a b,  b a,

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

4.21 Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ



a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) a ( 3;1),b(2;6)

b) a(3;1),b(2; 4)

c) a ( 2;1),b(2; 2)

4.22 Tìm điều kiện của

  ,

u v để:

a) u v. u v.

   

b) u v.  u v.

   

4.23 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2),B( 4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành. a) Tính AM BM.

 

theo t

b) Tìm t để AMB 90 0

4.24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A( 4;1),B(2;4),C(2; 2). 

a) Giải tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

4.25 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có: 1 2 2  2

2

ABC

S                AB AC               AB AC

4.26 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA2MB2MC2 3MG2GA2GB2GC2

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ.

· Sử dụng định nghĩa góc giữa 2 vectơ

· Sử dụng tính chất của tam giác, hình vuông…

Câu 1 Cho tam giác đều ABC Tính Pcos AB BC, 

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II

=

=

=I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Câu 1: Tam giác ABC vuông ở A và có góc B ˆ 50o.Hệ thức nào sau đây sai?

A  AB BC ,  130o

B BC AC  ,  40o

C AB CB ,  50o

D  AC CB ,  40o

Câu 2: Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP Góc nào sau đây bằng 120o?

A MN NP , 

B MO ON  , 

C MN OP  , 

D MN MP , 

Câu 3: Cho tam giác đều ABC Tính PcosAB BC,  cosBC CA, cosCA AB, 

A

3 3 2

P 

3 2

P 

3 2

P 

3 3 2

P 

Câu 4: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Tính  AH BA, 

A 30o B 60o C 120o D 150o

Câu 5: Tam giác ABC vuông ở A và có BC2AC Tính cos AC CB, 

A cos ,  1

2

AC CB 

 

2

AC CB 

 

C cos ,  3

2

AC CB 

 

2

AC CB 

 

Câu 6: Cho tam giác ABC Tính tổng               AB BC,                 BC CA              ,   CA AB, 

A 180o B 360o C 270o D 120o

Câu 7: Cho tam giác ABC với A ˆ 60o Tính tổng               AB BC,                 BC CA, 

A 120o B 360o C 270o D 240o

Câu 8: Cho hình vuông ABCD Tính cos AC BA, 

A cos ,  2

2

AC BA 

 

2

AC BA 

 

C cos AC BA ,  0

Câu 9: Cho hình vuông ABCD tâm O Tính tổng AB DC,   AD CB,   CO DC, 

     

A 45o B 405o C 315o D 225o

Câu 10: Tam giác ABC có góc A bằng 100 và có trực tâm .o H Tính tổng

              HA HB,                 HB HC              ,   HC HA, 

A 360o B 180o C 80o D 160o

DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ.

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

 Dựa vào định nghĩa a b  a b  cos ;a b 

 Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a BC , 2a và G là trọng tâm

a) Tính các tích vô hướng: BA BC.

 

; BC CA.

 

b) Tính giá trị của biểu thức               AB BC BC CA CA AB.                               .  .

c) Tính giá trị của biểu thức GAGB GB GC GC GA               .                               .  .

Câu 2 Cho hình vuông ABCD cạnh a M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ADM Tính

giá trị các biểu thức sau:

a) (AB AD BD BC )(  )

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

b) CG CA DM              .   

Câu 3 Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  M là trung điểm của BC , D là chân đường

phân giác trong góc A

a) Tính AB AC.

 

, rồi suy ra cos A b) Tính AM2

và AD2

Câu 1: Cho a



và b



là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b. a b.

   

B a b . 0

 

 

D a b.  a b.

   

Câu 2: Cho hai vectơ a



và b

 khác 0

 Xác định góc  giữa hai vectơ a



và b

 khi a b.  a b .

   

A  180o B  0o C  90o D  45o.

Câu 3: Cho hai vectơ a và b

 thỏa mãn a 3,



2

b 

và a b  3. Xác định góc  giữa hai vectơ a



và b



A  30o B  45o C  60o D  120o.

Câu 4: Cho hai vectơ a và b

 thỏa mãn a b 1

 

và hai vectơ

2 3 5

u a b

và v a b   vuông góc với nhau Xác định góc  giữa hai vectơ a



và b



A  90o B  180o C  60o D  45o.

Câu 5: Cho hai vectơ a và b Đẳng thức nào sau đây sai?

A 1 2 2 2

2

a b a b  a  b

B 1 2 2 2

2

a b a b  a b 

C 1 2 2

2

a b a b  a b 

D 1 2 2

4

a b a b  a b 

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Câu 6: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng  AB AC

A AB AC. 2 a2

 

B

2

3

2

a

AB AC 

 

C

2

2

a

AB AC 

 

D

2

2

a

AB AC 

 

Câu 7: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng  AB BC

A AB BC a.  2

 

B

2

a

AB BC 

 

C

2

2

a

AB BC 

 

D

2

2

a

AB BC 

 

Câu 8: Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

2

1

2

AB AC  a

 

B

2

1

2

AC CB a

 

C

2

6

a

GA GB  

D

2

1

2

AB AG  a

 

Câu 9: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH Mệnh đề nào sau đây là sai?

A AH BC . 0

 

B  AB HA ,  1500

C

2

2

a

AB AC 

 

D

2

2

a

AC CB 

 

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có ABACa. Tính AB BC. .

 

A  AB BC. a2

B  AB BC a.  2

C

2

2

2

a

AB BC 

 

D

2

2

2

a

AB BC 

 

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB c AC b ,  Tính BA BC 

A BA BC b.  2

 

B BA BC c.  2

 

C BA BC b.  2c2

 

D BA BC b.  2 c2

 

Câu 12: Cho ba điểm , ,A B C thỏa AB2 cm, BC 3 cm, CA5 cm Tính CA CB.

 

A CA CB . 13

 

B CA CB . 15

 

C CA CB . 17

 

D CA CB . 19

 

Câu 13: Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  Tính PAB AC BC               

A P b 2 c2 B

2

C

3

D

2

Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính P AC CD CA              .   

A P 1 B P3a2 C P3a2 D P2a2

Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , A3; 1 ,   B2;10 ,  C4;2 Tính tích vô hướng

AB AC

 

A AB AC . 40

 

B  AB AC .  40

C AB AC . 26

 

D AB AC .  26

 

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , a4i6j và b 3i 7 j

Tính tích vô hướng a b

 

A a b . 30

 

B a b . 3

 

 

 

.

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , a    3;2 và b     1; 7  Tìm tọa độ vectơ c

biết c a   9 và c b   20

A c     1; 3 B c    1;3 C c   1; 3 D c  1;3

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba vectơ , a1; 2 ,  b4;3

và c  2;3  Tính P a b c  .  

A P 0 B P 18 C P 20 D P 28

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , a    1;1

và b  2;0

Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và b

A cos ,  1

2

a b  

B cos ,  2

2

a b  

C cos ,  1

2 2

a b  

D cos ,  1

2

a b  

Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , a     2; 1

và b  4; 3 

Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và b

A cos ,  5

5

a b  

B cos ,  2 5

5

a b  

C cos ,  3

2

a b  

D cos ,  1

2

a b  

Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , a  4;3 và b  1;7 Tính góc  giữa hai vectơ

a và b

A  90O B  60O C  45O D  30O

Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , x  1;2 và y    3; 1

Tính góc  giữa hai

vectơ x và y

A  45O B  60O C  90O D  135O

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , A1;2 ,  B  1;1

và C5; 1 

Tính cosin của góc

giữa hai vectơ AB

và AC

A cos ,  1

2

AB AC 

 

B cos ,  3

2

AB AC 

 

C cos ,  2

5

AB AC 

 

D cos ,  5

5

AB AC 

 

Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác , ABC có A6;0 , 3;1 B 

và C   1; 1

Tính số

đo góc B của tam giác đã cho.

Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm , A8;0 ,  B0; 4 ,  C2;0

và D   3; 5 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hai góc BAD và BCD phụ nhau. B Góc BCD là góc nhọn.

C cos              AB AD,  cos               CB CD, 

D Hai góc BAD và BCD bù nhau.

DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI.

 Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức AB2 AB2

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ

 Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng

Câu 1 Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.

Chứng minh rằng : MA MB IM  .  2 IA2

Câu 2 Cho bốn điểm , , ,A B C D bất kì Chứng minh rằng: DA BC DB CA DC AB  0

     

(*)

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui"

Câu 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau

tại E Chứng minh rằng : AE AC BE BD.  . AB2

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Câu 4 Cho tam giác ABCcó BC a CA b AB c ,  ,  và I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng

aIA bIB cIC abc

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Câu 1: Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  Gọi M là trung điểm cạnh BC Đẳng thức nào

sau đây đúng?

A

2

 

B

2

 

C

3

 

D

2

 

Câu 2: Cho ba điểm , , O A B không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng

OA OB AB                 0

là

A tam giác OAB đều B tam giác OAB cân tại O.

C tam giác OAB vuông tại O. D tam giác OAB vuông cân tại O.

Câu 3: Cho M N P Q là bốn điểm tùy ý Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?, , ,

A        MN NP PQ                                       MN NP MN PQ 

B        MP MN        .               MN MP.

C MN PQ PQ MN.  .

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a Đẳng thức nào sau đây đúng?

A AB AC a.  2

 

B AB AC a.  2 2

 

C

2

2

2

 

D

2

1

2

AB AC  a

 

Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Đẳng thức nào sau

đây đúng?

A  AE AB. 2 a2

B  AE AB.  3 a2

C AE AB.  5 a2

 

D  AE AB. 5 a2

Câu 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 4

AC

AM 

Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A MB MN . 4.

 

B MB MN . 0.

 

C MB MN . 4.

 

D MB MN . 16.

 

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB8, AD Đẳng thức nào sau đây đúng?5

A AB BD . 62.

 

B AB BD . 64.

 

C AB BD . 62.

 

D AB BD . 64.

 

Câu 8: Cho hình thoi ABCD có AC 8 và BD 6. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A AB AC . 24.

 

B AB AC . 26.

 

C AB AC . 28.

 

D AB AC . 32.

 

Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a và AD a 2 Gọi K là trung điểm của cạnh AD.

Đẳng thức nào sau đây đúng?

A BK AC . 0.

 

B BK AC  . a2 2.

C BK AC a.  2 2.

 

D BK AC  . 2 a2

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác , ABC có A4;1 ,  B2;4 , C2; 2   Tìm tọa độ

tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

A

1

;1 4

I  

1

;1 4

I  

1 1; 4

I  

1 1; 4

I   

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , A2;0 , 0;2 B 

và C0;7 

Tìm tọa độ đỉnh thứ

tư D của hình thang cân ABCD.

A D7;0 

B D7;0 ,  D2;9 

C D0;7 ,  D9; 2 

D D9; 2 

DẠNG 4: ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC.

Cho a( ; ), x y1 1 b( ; )x y2 2 Khi đó a b  a b   0 x x1 2y y1 2 0

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , u12i 5j

và v ki  4 j

Tìm k để vectơ u

 vuông góc với v



Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm , A  2;4

và B8;4

Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác , ABC có A2;4 ,  B  3;1 , C3; 1   Tìm tọa độ

chân đường cao 'A vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho.

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba vectơ , a  2;3 ,  b4;1

và c ka mb   với ,

k m  Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ a b  

Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2k 2m B 3k2m C 2k3m0 D 3k2m0.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , u  3;4

và v    8;6

Khẳng định nào sau đây đúng?

A u v .

 

B

1 0; 2

M   

  và v cùng phương

C u vuông góc với v D u v

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm , A7; 3 , 8; 4 ,   B  C1;5 và D0; 2  Khẳng

định nào sau đây đúng?

A AC CB.

B Tam giác ABC đều

C Tứ giác ABCD là hình vuông D Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác , ABC có A1;1 , 1;3 B  và C1; 1  Khẳng

định nào sau đây là đúng?

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC có ba góc đều nhọn

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I