Đọc và trình bày phần 1 5, 1 6 exponential funct exponential functions, the natural ions, the natural logarithm của quyển app của quyển applied calculus lied calculus 5th edition, 5th edition, hughes halle

HÀM SỐ MŨHàm mũ có dạng Hàm mũ có dạng fx=k fx=k ∙∙ a a x,trong đó a là hằng số dương, được ,trong đó a là hằng số dương, được ứng dụng nhiềuứng dụng nhiềutrong các hiện tượng về khoa họ

THÀNH VIÊN NHÓM

ST

T Họ và tên MMSSSSVV CCôônng g vviiệệcc HHooààn n tthhàànnhh

11 HHuuỳỳnnh h MMiinnh h HHiiếếuu 22111111117799

Trình bày file word Bài tập nhỏ 13, 15 100%

22 NNgguuyyễễn n VViiệệt t HHooààii 22111133339900 Bài tập nhỏ 28, 36Chương 3.II.2 100%

33 PPhhaan n NNgguuyyễễn n XXuuâân n HHooàànngg 22111111225555 Bài tập nhỏ 34, 41Chương 2.I 100%

44 ĐĐặặnng g QQuuaanng g HHuuyy 22111133446600 Bài tập nhỏ 44, 45Chương 2.II 100%

55 LLê ê ĐĐììnnh h HHuuyy 22111133448811

Chương 3.II.2

Nhận xét của giáo viên:

   Ngày… Ngày… tháng tháng … … năm năm 20212021

2 |

2 | P a g eP a g e

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 4

II LLỜỜI I CCẢẢM M ƠƠNN 4 4

IIII ĐĐỀ Ề BBÀÀI I SSỐ Ố 55 4 4

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5.5 I HÀM SỐ MŨ I HÀM SỐ MŨ 5 5

1 1 Tổng Tổng quát quát về về hàm hàm số số mũmũ  :: 5 5

2 2 Ví Ví dụ dụ về về hàm hàm mũ:mũ: 5 5

3 3 So So sánh sánh hàm hàm tuyến tuyến tính tính và và hàm hàm mũ:mũ: 7 7

4 4 Đồ Đồ thị thị hàm hàm số số mũ mũ và và số số ee 8 8

II LOGARIT TỰ NHIÊN II LOGARIT TỰ NHIÊN 9 9

1 ĐịĐịnh nh ngnghĩhĩa và a và títính cnh chấhất củt của Loa Logagaririt tt tự nhự nhiêiênn 9 9

2 GiGiải ải pphưhươnơng tg trìrình nh bằbằng ng LoLogagariritt 11 11

3 3 Hàm Hàm mũ mũ với với cơ cơ số số ee 12 12

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG BÀI TẬP BÀI TẬP 15 15

I ÁP DỤNG BÀI TẬP NHỎ I ÁP DỤNG BÀI TẬP NHỎ 15 15

1 PhPhần ần 1.1.5: 5: 4, 4, 7, 7, 9, 9, 1313, 1, 15, 5, 2828, 3, 34, 4, 3636 15 15

22 PPhhầần n 11 66: 4: 411, 4, 444, 4, 455 23 23

II ÁP DỤNG BÀI TẬP LỚN II ÁP DỤNG BÀI TẬP LỚN 26 26

1 Vẽ và tô màu miền phẳng giới hạn bởi đường cong  y 2 = ((  x + 4 )) 3 và trục tung Tính thể tích tạo ra khi miền phẳng này quay quanh trục Ox Ox 26 26

2.Các lệnh trong Geogebra được 2.Các lệnh trong Geogebra được dùng:dùng: 27 27

CHƯƠNG 4: CHƯƠNG 4: TỔNG KẾT TỔNG KẾT 28 28

I NhNhữnững gg gì eì em nm nhậhận đn đượược kc khi hi gigiải ải ququyếyết xt xonong bg bài ài tậtậpp 28 28

II II NhNhững kững khó khó khăn hăn mà nmà nhóm ehóm em gặp m gặp khi hkhi hoạoạt độnt động để gg để giải qiải quyếuyết bàt bàii tập tập 28 28

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU

II LLỜỜI I CCẢẢM M ƠƠNN

⮚ Nhóm Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Xuân chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Xuân Đại vì thời gian vừaqua thầy đã tận tâm giảng dạy và mang lại cho chúng em những kiến thức

1 Đọc và trình bày phần 1.5, 1.6 "Đọc và trình bày phần 1.5, 1.6 " Exponential Funct Exponential Functions, The naturalions, The naturallogarithm

logarithm" " của quyển Appcủa quyển Applied Calculus lied Calculus -5th Edition, -5th Edition, Hughes HalletHughes Hallet

2

2 Áp dụng làm các bài tập :Áp dụng làm các bài tập :

  Phần 1.5: 4, 7, 9, 13, 15, 28, Phần 1.5: 4, 7, 9, 13, 15, 28, 34, 3634, 36

  Phần 1,6: 41, 44, 453

3 Vẽ và tô miền phẳng giới hạn bởi đường congVẽ và tô miền phẳng giới hạn bởi đường cong  y2= =¿ ¿ và trục tung Tính thể tíchtạo ra khi

tạo ra khi miền phẳng miền phẳng này quay này quay quanh trục quanh trục Ox.Ox

4 |

4 | P a g eP a g e

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I HÀM SỐ MŨHàm mũ có dạng

Hàm mũ có dạng f(x)=k f(x)=k ∙∙ a a x,trong đó a là hằng số dương, được ,trong đó a là hằng số dương, được ứng dụng nhiềuứng dụng nhiềutrong các hiện tượng về khoa học tự nhiên và

trong các hiện tượng về khoa học tự nhiên và xã hộixã hội

1 đơn vị Nếu a > 1 ta có hàm đồng biến; nếu 0 1 ta có hàm đồng biến; nếu 0 < a < 1 ta có < a < 1 ta có hàm nghịch biến.Cơ hàm nghịch biến.Cơ 

số a được cho bởi :

a = 1 + r Trong đó r là tỉ lệ phần

Trong đó r là tỉ lệ phần trăm thay đổi; r có thể dương (đồng biến) và âm (nghịchtrăm thay đổi; r có thể dương (đồng biến) và âm (nghịch biến)

Tập xác định của hàm mũ là

Tập xác định của hàm mũ là R với điều kiện a > 0R với điều kiện a > 0

2 Ví dụ về hàm mũ:

- Tăng trưởng dân số

- Tăng trưởng dân số::

  Dân số của Burkina Faso, một quốc gia châu Phi cận Sahara, từ năm 2003đến năm 2009 được đưa ra trong Bảng 1.32 Để biết dân số đang gia tăng như thếnào, chúng ta nhìn vào sự gia tăng dân số ở cột thứ ba Nếu dân số tăng tuyếntính, tất cả các số trong cột thứ ba sẽ giống nhau

Bảng 1 Dân sốBurkina Faso(ước tính),2003-2009

Giả sử ta chia dân số cGiả sử ta chia dân số của mỗi năm cho dân ủa mỗi năm cho dân số số của năm trước Vcủa năm trước Ví dụ:í dụ:

 Dân  Dânsố năm số năm 2004 2004  Dân

 Dân số số năm năm 2003 2003 =13,290triệu

 Dân  Dân số số năm năm 2005 2005  Dân

 Dânsố năm số năm 2004 2004 =13,747triệu

Thực tế là cả hai phép tính đều đưa ra 1,034 cho thấy dân số tăng khoảng 3,4%

từ năm 2003 đến năm 2004 và từ năm 2004 đến 2005 Các tính toán tương tựcho các năm khác cho thấy dân số tăng khoảng 1,034, hay 3,4%, hàng năm Bất

cứ khi nào chúng ta có mức tăng phần trăm không đổi (ở đây là 3,4%), chúng ta

có tăng theo cấp số nhân Nếu t là số năm kể từ năm 2003 và dân số tính bằngtriệu thì:

Khi t = 0, dân số = 12,853 = 12,853 (1,034)0

Khi t = 1, dân số = 13.290 = 12.853 (1.034)1.Khi t = 2, dân số = 13,747 = 13,290 (1,034) = 12,853 (1,034)2.Khi t = 3, dân số = 14.225 = 13.747 (1.034) = 12.853 (1.034)3

  Vì vậy, P, dân số trong hàng triệu t năm sau năm 2003, được đưa ra bởi

P= 12,853 (1,034)t triệu

Vì biến t ở dạng số mũ nên đây là một hàm số mũ Cơ sở, 1,034, đại diện choyếu tố mà dân số tăng lên mỗi năm và được gọi là yếu tố tăng trưởng .Dân sốngày càng đông nên hàm ngày càng tăng

- Loạ

- Loại bỏ ma i bỏ ma túy ktúy khỏi chỏi cơ thể ơ thể ::

Bây giờ chúng ta xem xét số lượng đang giảm thay vì tăng Khi bệnh nhânđược truyền qua trung gian, thuốc sẽ đi vào máu Tốc độ chuyển hóa và thảitrừ của thuốc phụ thuộc vào từng loại thuốc cụ thể Đối với ampicillin khángsinh, khoảng 40% lượng thuốc được thải trừ mỗi giờ Liều thông thường củaampicillin là 250 mg Giả sử Q = f (t), trong đó Q là lượng ampicillin, tính bằng mg, trong máu tại thời điểm t giờ kể từ khi dùng thuốc Tại t = 0, ta có Q

= 250 Vì số lượng còn lại cuối mỗi giờ bằng 60% số lượng còn lại của giờ trước nên ta có:

Lưu ý cách các giá trị trong Bảng 1.33 đang giảm dần Mỗi giờ bổ sung mộtlượng thuốc nhỏ hơn được loại bỏ so với giờ trước (100 mg trong giờ đầu tiên,

6 |

6 | P a g eP a g e

60 mg vào giờ thứ hai, v.v.) Điều này là do thời gian trôi qua, lượng thuốctrong cơ thể được loại bỏ sẽ ít hơn.

- Hàm mũ là hàm có tỉ lệ phần trăm thay đổi không đổilệ phần trăm thay đổi không đổi

Ví dụ 1 Lượng adrenaline trong cơ thể có thể thay đổi nhanh chóng Giả sửlượng ban đầu là 15 mg Tìm công thức của A, đơnvị tính bằng mg, tại thời điểm

t phút sau nếu A :(a)Tăng 0,4 mg mỗi phút(c)Tăng 3% mỗi phút

(b)Giảm 0,4 mg mỗi phút(d)Giảm 3% mỗi phútLời giải :

(a) Đây là một hàm tuyến tính với đại lượng ban đầu là 15 và hệ số 0,4

=>

=>A = 15 (0,97)A = 15 (0,97)t

Ví dụ 2 Chó sói đã từng rất phổ biến ở miền Tây Hoa Kỳ Đến những năm

1990, quần thể sói ở Wyoming đã bị xóa sổ bởi những người thợ săn và nhữngcon sói được đưa vào danh sách loài có nguy cơ tuyệt chủng Năm 1995, nhữngcon sói được đưa trở lại Wyoming từ Canada Bắt đầu với 14 con sói, số lượngcủa chúng tăng lên 207 con sói vào năm 2012.Giả sử quần thể sói Wyoming

đang tăng theo cấp số nhân, hãy tìm một hàm có dạng P = P0at , trong đó P là dân

số sau t năm tính từ năm 1995 Số tỷ lệ tăng trưởng phần trăm hàng năm?

Lời g iải :

Ta biết rằng P0 = 14 khi t = 0

 Năm 2012, khi t = 17, ta có P = 207 Thay vào PP= P= P0at  ta có : : 207 = 14a207 = 14at.Chia cả hai vế cho 14 ta được :  20714 = a17

Lấy căn bậc 17 của cả 2 vế ta được: aa= (207/14)= (207/14)1/17 = 1,172

Vì a = 1,172, dân số sói Wyoming dưới dạng hàm của số năm kể từ năm 1995được cho bởi PP = 207 (1,172)= 207 (1,172)t

Trong thời gian này, sô lượng sói tăng khoảng 17% mỗi năm

Ví dụ 3   Giả sử rằng Q = f Giả sử rằng Q = f (t) là một hàm số mũ của t Nếu f (20) = 88,2 và f(23) = 91,4:

(a) Tìm cơ số a(c) Xác định f(25)

(b)Tìm phần trăm tăng thêm

LờLời i gigiải :ải :(a) Cho Q(a) Cho Q==Q0at  thay t=20 và t=23 vào Q ta có 88,2= 88,2=  Q0a23  và 91,4=  và 91,4=  Q0a23

Chia hai phương trình ta có91,488,2=Q0 a23

Q0a20= a3=> a=1,012(b)Vì a = 1,012, tốc độ tăng phần trăm là 1,2%

(c) Để xác định f (25) = Q0a25 = Q0(1.012)25 Đầu tiên chúng ta tìm Q0 từ phươngtrình:

88.2 = Q0(1.012)20.Giải ra ta được Q0 = 69,5 Như vậy,  f (25) = 69,5 f (25) = 69,5 (1,012)25 = 93,6

8 |

8 | P a g eP a g e

4.Đồ thị hàm số mũ và số eCho họ các hàm số mũ với các tham số P ( giá trị ban đầu) và cơ số a Giá trị

a càng lớn thì đồ thị tăng càng nhanh,ngược lại a càng gần 0 thì độ thị giảmcàng nhanh. Trong thực tế cơ số  Trong thực tế cơ số thường được sử dụng nhất là số thường được sử dụng nhất là số e =e =

2,71828 Tất cả các đồ thị của hàm số mũ có dạng P= P 0 ∙∙ a at t  đồi lõm lên nếu

 P0>0

Hình 1 Đồ thị hàm tăng theo cấp số nhân:

Hình 2 Đồ thị hàm giảm theo cấp số

Hình 2 Đồ thị hàm giảm theo cấp số nhân:nhân:

II LOGARIT TỰ NHIÊN Nếu trong nhiề

 Nếu trong nhiều năm kể từ năm 200u năm kể từ năm 2000, dân số Nevada (t0, dân số Nevada (tính bằng hàng trính bằng hàng triệu) cóiệu) cóthể được mô hình hóa theo hàm sau

 P = f f   ( t t  )= 2.020 (( 1.036 ))

t t 

,,

nếu chúng ta cố gắng tìm ln (−7) trên máy tính, chúng tôi nhận được thông báothông báolỗi vì e với bất kỳ

lỗi vì e với bất kỳ lũy thừa nào không bao giờ âm hoặc bằng 0 Nói lũy thừa nào không bao giờ âm hoặc bằng 0 Nói chung:chung:

Để làm việc với logarit, chúng tôi sử dụng các

Để làm việc với logarit, chúng tôi sử dụng các thuộc tính sau:thuộc tính sau:

Sử dụng nút LN trên máy tính, chúng tôi nhận được đồ

Sử dụng nút LN trên máy tính, chúng tôi nhận được đồ thị của f(x) = ln x trongthị của f(x) = ln x trongHình 1.66.Quan sát rằng, đối với x lớn, đồ thị của y

Hình 1.66.Quan sát rằng, đối với x lớn, đồ thị của y = ln x leo lên rất chậm khi = ln x leo lên rất chậm khi xxtăng lên.Giao điểm x là x = 1,

tăng lên.Giao điểm x là x = 1, kể từ ln 1 = 0 kể từ ln 1 = 0 Với x> 1, giá trị của ln x Với x> 1, giá trị của ln x là dương;là dương;với 0 <x <1, giá trị của ln x

với 0 <x <1, giá trị của ln x là âm.là âm

10 |

10 | P a g eP a g e

ln x không xác định nếu x âm

ln x không xác định nếu x âm hoặc 0.hoặc 0

Tính chất của Logarit tự nhiên:

 Ngoài ra, ln 1 =  Ngoài ra, ln 1 = 0 vì0 vìee0 = 1 và ln e = 1 vì ee1 = e

LogLogariarit tự nht tự nhiên ciên của x, vủa x, viết liết ln x, ln x, là sức mà sức mạnh cạnh của e cầủa e cần thin thiết để ết để cócóđược x

 Nói cách khác:ln  x = cc ng nghĩ hĩalà alà eecc= x   LoLogagaririt tt tự nhự nhiêiên đn đôi ôi khkhi đi đượược vc viếiết lt làà logee x

Hình 3 Hàm logarit tự nhiên tăng rất chậm2.

2 GiảGiải phưi phươnơng trìg trình bằnh bằng Long LogargarititLogarit tự nhiên có thể được sử dụng để Logarit tự nhiên có thể được sử dụng để giải các số mũ chưa biết.giải các số mũ chưa biết

Tính chất thứ ba của logarit cho chúng ta biết

Tính chất thứ ba của logarit cho chúng ta biết rằngrằng ln (( 3 ¿¿ t t  )= t t  ln  ln 3 3 ¿, vì vậy chúngttôôii ccóó:: t t   ln  ln 3 3 = ln10

Ví dụ 2 : Chúng ta quay lại câu hỏi  Chúng ta quay lại câu hỏi khi nào dân số Nevada đạt 4 khi nào dân số Nevada đạt 4 triệu người Đểtriệu người Để

có câu trả lời, chúng tôi giải 4

có câu trả lời, chúng tôi giải 4 = 2.020= 2.020 (( 1.036 )) t 

 cho t, sử dụng các  cho t, sử dụng các logarit.logarit

Lời giải

Lời giải : : Chia cả hai vế của phương trình cho 2.020, ta được:Chia cả hai vế của phương trình cho 2.020, ta được:

4 2.020 =( 1.036 )) t 

 P =  Poat t 

Với bất kỳ số dương a nào,

Với bất kỳ số dương a nào, chúng ta có thể viết a =chúng ta có thể viết a = eek  trong đó k = ln  trong đó k = ln a Do đó,a Do đó,hàm mũ có thể được viết lại thành:

 P =  Poat t  = Po(( ee ¿¿ k  )) t t 

¿ = Poeekt 

 Nếu a> 1 thì k d Nếu a> 1 thì k dương, và nếu 0 <a ương, và nếu 0 <a <1 thì k âm Chú<1 thì k âm Chúng tôi kết luận:ng tôi kết luận:

Ví dụ 4 :

Ví dụ 4 :   (a) Biến (a) Biến đổi hàm đổi hàm P = P = 10001000ee0.050.05 t t  về dạng P =  P o at 

(b) Biến đổi hàm P = 500 (( 1.06 )) t  về dạng P = P o eekt 

LờLời i gigiải ải ::

(a) Vì P = 1000ee0.05t t  , chúng ta có Po = 1000 Chúng ta muốn tìm a sao  = 1000 Chúng ta muốn tìm a sao cho:cho:

Vì vậy, tốc độ tăng trưởng liên tục 5% tương đương với

Vì vậy, tốc độ tăng trưởng liên tục 5% tương đương với tốc độ tăng trưởngtốc độ tăng trưởng5,13% trên một đơn vị thời gian

(b) Chúng ta có Po = 500 và chúng ta  = 500 và chúng ta muốn tìm k với:muốn tìm k với:

Vì vậy, tốc độ tăng trưởng 6% trên một đơn vị

Vì vậy, tốc độ tăng trưởng 6% trên một đơn vị thời gian tương đương với tốc độthời gian tương đương với tốc độtăng trưởng liên tục là 5,83%

đường cong tăng trưởng theo cấp số nhân: tăng dần và lõm lên Đồ thị của Q = 5lên Đồ thị của Q = 5

ee−0.20.2 t t  như hình 1.68; nó có hình dạng  như hình 1.68; nó có hình dạng giống như các hàm phân rã theo cấp số giống như các hàm phân rã theo cấp số nhânnhânkhác

Hình 4 Tăng trưởng liên tục theo cấp số Hình 4 Tăng trưởng liên tục theo cấp số nhân.nhân.

Hình 5 Phân rã theo cấp số nhân liên tục

14 |

14 | P a g eP a g e

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG BÀI TẬP

I ÁP DỤNG BÀI TẬP NHỎ1

1 PhầPhần 1.5n 1.5: 4, 7, : 4, 7, 9, 139, 13, 15, 15, 28, 3, 28, 34, 364, 36Bài 4:

Bài 4: Đưa ra công thức khả thi  Đưa ra công thức khả thi cho hàm số sau:cho hàm số sau:

Lời giải : Gọi hàm số cần tìLời giải : Gọi hàm số cần tìm là:m là: y = f f   ( (  x ))= = k  ⋅ a x (a>0)Tại x=0 thì y=500 -> 500 = k  ⋅ a0↔ ↔ k  k  = 500

Vậy hàm số cần tìm là: y=f f  ( ( x))==500⋅ 4

 x 3

Bài 7: Một thị trấn có dân số 1000 người tại thời điểm t = 0 Trong mỗi trườnghợp sau đây, hãy viết công thức cho dân số, P , của thị trấn dưới dạng một hàmtheo năm t

a/ Dân số mỗi năm tăng thêm 50 người.   b/ Dân số tăng 5% một năm

Lời giải:

a/ Đây là một hàm số a/ Đây là một hàm số tuyến tính với đại lượng ban đầu là 1000 và hệ tuyến tính với đại lượng ban đầu là 1000 và hệ số góc làsố góc là50:

Đồ thị:

 b/ Đây là một hàm  b/ Đây là một hàm số mũ với đại lưsố mũ với đại lượng ban đầu là 1000 ợng ban đầu là 1000 và cơ số là 1+0.0và cơ số là 1+0.05:5:

 P = 1000 ⋅ 1.05t t 

Đồ thị:

16 |

16 | P a g eP a g e

Bài 9: Một máy làm mát không khí bắt đầu với 30 gam và bay hơi Trong mỗitrường hợp sau đây, hãy viết công thức cho khối lượng, Q gam, của chất làm mátkhông khí còn lại vào thời điểm t ngày sau khi bắt đầu và vẽ đồ thị của hàm số.Mức giảm là:

a/ 2 gam 1 ngày

 b/ 12% 1 ngàyLời giải:

a/ Đây là một hàm số a/ Đây là một hàm số tuyến tính với đại lượng ban đầu là 30 và tuyến tính với đại lượng ban đầu là 30 và hệ số góc là -2:hệ số góc là -2:

Q=30-2t

Đồ thị:

 b/ Đây là một hàm  b/ Đây là một hàm số mũ với đại lưsố mũ với đại lượng ban đầu là 30 và ợng ban đầu là 30 và cơ số là 1-0.12:cơ số là 1-0.12:

Q = 30 ⋅ 0.88t t 

Đồ thị:

Câu 13: Trong những năm 1980, Costa Rica có tỷ lệ phá rừng cao nhất trên thếgiới, ở mức 2,9% mỗi năm (Đây là tỷ lệ diện tích đất có rừng bao phủ đang thuhẹp lại.) Giả sử tỷ lệ này tiếp tục diễn ra, thì bao nhiêu phần trăm diện tích đất córừng bao phủ ở Costa Rica vào năm 1980 sẽ có rừng vào năm 2015?

Lời giải: Với nạn

Lời giải: Với nạn phá rừng ở mức 2,9phá rừng ở mức 2,9%/năm, chúng ta có %/năm, chúng ta có thể thể có một phươngcó một phươngtrình cho biết mức độ rừng được bao phủ bởi cây

trình cho biết mức độ rừng được bao phủ bởi cây trong t năm sau năm 1980:trong t năm sau năm 1980:

 P (( t t  ))= = 100 (( 1 − 2,9% )) t 

= 100 (( 0,971 )) t 

Từ năm 1980 tới năm 2015 là 35 năm, nên ta thay t=35

Từ năm 1980 tới năm 2015 là 35 năm, nên ta thay t=35 vào phương trình P(tvào phương trình P(t) ta) tađược:

 P (( 35 ))= = 100 (( 0,971 )) 35

≈

≈ 35,7 35,7

Câu 15:

a)Lập bảng giá trị của y = ex sử dụng x = 0,1, 2,3

 b)Vẽ biểu đồ các điểm tìm được trong phần (a) Biểu đồ trông giống như mộthàm tăng trưởng hoặc giảm dần theo cấp số nhân?