Dạng 7 1 các bài toán tiếp tuyến (không tham số) đáp án

(Microsoft Word D?ng 7 1 Các bài toán ti?p tuy?n (không tham s?)) Trang 1  DẠNG 7 1 CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (KHÔNG THAM SỐ) PHẦN 15 PHƯƠNG PHÁP Cho hàm số  y f x liên tục trên K ,  f x có đạo.

 DẠNG 7.1: CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (KHÔNG THAM SỐ)

Bài toán 3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M0 C biết M có tung độ 0 y 0

Phương pháp : Giải phương trình y0  f x , với mỗi nghiệm x0tìm được, tính k f ' x0 rồi áp dụng

 *

Bài toán 4.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến có hệ số góc k

Phương pháp : Giải phương trình k  f x , với mỗi nghiệm x tìm được, tính 0 y0  f x 0 rồi áp dụng

Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x2 biết hoành độ tiếp điểm là 1 2

y  x    y x

Tại điểm  2;0 , tiếp tuyến có hệ số góc y 2 1, phương trình tiếp tuyến là: y  x 2

Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

2

x y x

y x

1

12

x x x

Câu 1. Biết tiếp tuyến tại điểm A có hoành độ bằng 2 của đồ thị  C của hàm số yx33x2 cắt  C

tại một điểm B khác với tiếp điểm A , tính AB

Lời giải

Ta có y 2 0; y 2  4 nên phương trình tiếp tuyến của  C tại 2; 4  là :d y   4

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và dlà 3 2 3 2 2

Gọi tọa độ tiếp điểm là  3 

Với x  , phương trình tiếp tuyến là 0 2 y 9x14

Với x   , phương trình tiếp tuyến là 0 1 y   4

Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số 1

x y x





 biết tiếp tuyến cắt hai trục

Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho OB5OA



 

 ,

32

x  Tiếp tuyến cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho OB5OA suy ra tanOAB  , hay tiếp tuyến có hệ số góc 5 k thỏa mãn k 5





 biết tiếp tuyến cắt hai trục

Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1

 

 ,

32

x   Tiếp tuyến cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1

2suy raOA OB . 1 Gọi hoành độ tiếp điểm là m, 3

Đường thẳng này cắt hai trục tọa độOx và Oy lần lượt tại hai điểm A2m2 4m3;0 và

2 2

PHẦN 16

Câu 1 Cho hàm sốy f x có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong  C Viết

phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M a f a ;   , aK

A.y f a x a  f a B.y f a x a  f a 

C.y f a x a  f a  D.y f a x a  f a 

Lời giải Chọn C

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M a f a ;   có dạng

y f a  f a x a  y f a x a  f a 

Câu 2 Cho hàm số y  x3 3x2 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm

của C với trục tung

A y2x 1 B.y 2x 1 C y 3x 2 D.y3x 2

Lờigiải Chọn D

A Song song với trục hoành B.Có hệ số góc bằng 1

C Có hệ số góc dương D.Song song với đường thẳng x 1

Lời giải Chọn A

Câu 4 Cho hàm số y  x3 3x2có đồ thị là  C Đồ thị C tiếp xúc với trục hoành tại điểm có

hoành độ bằng?

Lời giải Chọn B

Xé thệ phương trình :

3 2

Vậy C tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ x  1

Câu 5 Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số C :y x2 x 1 Tiếp tuyến của  C

y y

 

1

0 12

x tại điểm có tung độy 1 là

Ta có:

 2

5'

2





y x

Đạo hàm: y 3x24 Suy ra: y 2 8 Ta có: y 2 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y8x21 y 8x15

Câu 8 Cho hàm số  42 21có đồ thị  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  tại  1;4 là

A y   x 3 B.y  8 x  4 C y    8 12 x D.y  8 x  4

Lời giải Chọn D

x tại điểm M2;2có hệ số góckbằng

A 1

Lời giải Chọn C

Ta có

 2

11

Ta có: y 3x26x6  2

3 x 1 3 3

    Dấu" " xảy ra khi x 1 y 9

Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhấ tbằng 3 và là tiếp tuyến tại điểmM  1;9 Phương trình tiếp tuyến là: y3x19 y 3x6

Ta cóy 3x26x

Gọi M x y o; o là tọa độ tiếp điểm

Hệ số góc của tiếptuyến của đồ thị tại M x y o; o là: k  y x o 3x o26x o

Để tiếp tuyến song song với trục hoành thì k 03x o26x o 0 0 0

0;0.2; 4

M M

VớiM22; 4  tiếp tuyến là: y   (Thỏa mãn) 4

Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 2. Đồ thị hàm số yx33x có bao nhiêu tiếp tuyến song song với đường thẳng y9x16

Lời giải Chọn C

TXĐ D  ℝ và y 3x2 Gọi 3 M x 0;y0 là tiếp điểm của đồ thị hàm số và tiếp tuyến Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x là 0   2

y x  x  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y9x16 nên   2 0

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M 1;3 là k y 1  2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;3 là y 2x    1 3 y 2x5

Tiếp tuyến cắt Ox Oy, lần lượt tại 5;0 , 0;5

Vì A a b ;  là tiếp điểm của đồ thị hai hàm số

3 11

Ta có   3 2

11

Xét các phương án của đề bài, chỉ có phương án D thỏa mãn các điều kiện: Hệ số góc bằng 3

và điểm M nằm trên đường thẳng đó

Câu 6 Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ax4bx2 tại điểm 2 A  1;1 vuông góc với đường

thẳng x2y  Tính 3 0 a2b2

A a2b2  2 B.a2b213 C.a2b2  5 D a2b210

Lời giải Chọn C

Đặty f x ax4bx2 Ta có2 f x 4ax32bx

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểmA  1;1 là k1 f   1 4a2b

Đường thẳng x2y  có hệ số góc 3 0 2

12

k  Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng này nên k k1 2  1 k1  hay 2 4a2b 2

Mặt khác đồ thị hàm số đã cho đi qua điểmA  1;1 nên  4  2

a b

Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 0

Vớix0 0,y0   , suy ra tiếp tuyến là: 1 2x  y 1 0

Vớix0  2,y0 , suy ra tiếp tuyến là: 27 x   ( loại vì trùng với đường thẳng y 3 0 d) Vậy phương trinh trình tiếp tuyến là: 2x  y 1 0

Câu 8. Cho hàm số y  x3 3x23x có đồ thị 5  C , phương trình tiếp tuyến của  C có hệ số góc

lớn nhất là:

Lời giải Chọn C

Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm và đồ thị  C

Ta có y  3x26x Phương trình tiếp tuyến của 3  C có hệ số góc lớn nhất khi

 

0 0

41

1 02

y b

x

y a

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm lày3(x 1) 9 hay y3x6

Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

1

x y x





 tại điểm A0; 2  cắt trục hoành và trục tung lần lượt

tại M và N Tính diện tích tam giác OMN

Câu 1 Cho hàm số

3 22

Phương trình đường thẳng  d đi qua điểm A 2;9 có hệ số góc k là yk x( 2) 9

 d tiếp xúc với  C tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

3 2 0

Thay x0 vào 3  2 ta được k  8

Vậy phương trình tiếp tuyến  d là y 8x25

Câu 2 Cho hàm số yx33x Tìm trên đường thẳng 2 d y : 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng

2 tiếp tuyến với  C

Gọi M m ;4 Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: d yk x m   4

 là tiếp tuyến của  C  Hệ phương trình sau có nghiệm x:

Câu 3 Cho hàm số yx42x2 , có đồ thị là 3  C Tìm trên đường thẳng y 2 những điểm mà

qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C

A M 0; 2 ,M 1; 2 B M 0; 2 ,M 3;2

C M 5;2 ,M 1; 2 D Không tồn tại

Lời giải Chọn D

Gọi M m ; 2 là điểm thuộc đường thẳng y 2 Phương trình đường thẳng đi qua M m ; 2 có

x   k  k , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài

toán Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán

x y x





 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số Khoảng cách

từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

2

Lời giải Chọn A

Tọa độ giao điểm 3 1;

2 2

  

  Gọi tọa độ tiếp điểm là 0

0 0

1

;

x x x

1

;

x x x

(Theo bất đẳng thức Cô si)

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi  4 0 0

Câu 5 Cho hàm số 2 1

1

x y x

y x



 

 Tiếp tuyến với  C tại M 2;5 là: y y 2 x25

Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E 1;8

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F 3; 2

y x

22

x x

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận ngang thì B2x 0 2; 2

Theo đề bài ta có AB 2 2 nên    

2

0 0

32

12

x

x x

Câu 7 Cho hàm số 2 3

2

x y x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của  C

luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

Lời giải Chọn D

 2 

22

m m



 có đồ thị  C và điểm M x y 0; 0   C x 0 0 Biết rằng khoảng cách

từ I  2; 2 đến tiếp tuyến của  C tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

Lờigiải Chọn D

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có dạng d y:  y x  0 xx0y0

Ta có M x y 0; 0   C 0

0 0

22

x y x

Lại có

 2

42

y x

24

22

x

x x

16 8

2 16

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

x x



 

 , TCĐ: x1  d1 , TCN: y1  d2 , I 1;1 Phương trình tiếp tuyến  tại điểm M x y 0; 0 có dạng

0 0

- Ta có :

 2

11

y x

  

  Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0; 0 của đồ thị hàm số là

 2 0

0 0

11

x x



 , với x  và 0 1 0 0

11

y x

0;

1

x B

41

x x

x

   y0   4

Vậy 4x0y0   1

Câu 4 Gọi Slà tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y 2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ được

hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số

21

x y x



 đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với

nhau Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S

A T 2 3 B T 3 C T  1 D.T 2

Lời giải Chọn D

Gọi điểm A a ;2   d :y2 Đường thẳng đi qua A có dạng yk x a  2

Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm :

2

2 2

21

21

x

k x a x

k x

a a

Lời giải Chọn A

3( 1)

Tập xác định: D  ℝ\ 2 ;

 2

42

y x

24

:

22

x

x x

2

x A x



 có đồ thị là  C Gọi điểm M x y 0; 0 với x   là điểm thuộc 0 1  C ,

biết tiếp tuyến của  C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt

Gọi

0 0

14

Câu 1 Cho hàm số y f x x36x29x3 C Tồn tại hai tiếp tuyến của  C phân biệt và có cùng

hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với  C cắt các

trục Ox Oy lần lượt tại ,, A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán ?

Lời giải Chọn A

15 3 54

k k

Câu 2 Cho hàm số y f x ;y ff x  ;y f x 24 có đồ thị lần lượt là      C1 ; C2 ; C3 Đường

thẳng x 1 cắt      C1 ; C2 ; C3 lần lượt tại M N P Biết phương trình tiếp tuyến của , ,  C1 tại

M và của  C tại 2 N lần lượt là y3x và 2 y12x Biết phương trình tiếp tuyến của 5

 C3 tại P có dạng yax Giá trị của b a b bằng

Lời giải Chọn A

Câu 3 Cho hàm số yx311xcó đồ thị là  C GọiM là điểm trên 1  C có hoành độx   Tiếp 1 2

tuyến của  C tại M cắt 1  C tại điểm M khác2 M , tiếp tuyến của 1  C tại M cắt 2  C tại điểm M khác 3 M , , tiếp tuyến của 2  C tại M n1cắt  C tại điểm M khác n

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M kx y k; k có dạng: y3x k211 xx kx k311x k Phương trình hoành độ giao điểm:

Vì M thuộc tiếp tuyến nên    22 2  





 có đồ thị  C và điểm A 0;a Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

a trong đoạn 2018;2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?

Lời giải Chọn A

Gọi tiếp điểm là 0

0 0

2

;1

23

11

x

x x

11

x x

 Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x x 1, 2

Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành

a

a a

phân biệt và các tiếp tuyến với (Cm) tại hai điểm này vuông góc với nhau Khi đó ta có:

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục Ox là:

(Cm ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt





 có đồ thị là  C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng : d y 1 2x sao

cho qua M có hai tiếp tuyến của  C với hai tiếp điểm tương ứng là A , B Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là H Độ dài đoạn OH là

Lời giải Chọn D

Gọi M m ;1 2 md Gọi  là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k, khi đó phương trình đường thẳng :yk x m   1 2m

Để  là tiếp tuyến của đồ thị  C thì hệ phương trình

 2

141

x

x

k x

11

k

x x

11

k

x x

.3

m

Thay

 2

41

k x

Khi đó, 2mx H  1 m y H    m 7 0 m2x H y H  1 y H  7 0 với mọi m 0 và m 1

Câu 1 Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số yx x 23 sao cho tiếp tuyến tại

M của  C cắt  C và trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B (khác M ) sao cho M là trung điểm của AB ?

Lời giải Chọn D

3 0 2 0

x , x M x , 0 x0ℝ\1;0;1

Do ,A B và M thẳng hàng nên để M là trung điểm của AB thì

3 0





 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tiếp

tuyến  của  C tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

có diện tích nhỏ nhất Khi đó tiếp tuyến  của  C tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào ?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi Rmin ⇔IA=IB khi và chỉ khi

hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1±

Diện tích tam giác tạo bởi 2 trục tọa độ tiếp tuyến  2 là

2

2 3 4

0, 262

Từ giả thiết  2  3

)1()

21

 Xét a 0 thay vào 4ab 1 3a b2 vô lý

Lấy x bất kì khác 1 0

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x là 0

0 0 2

0 0

23

11

x

x x

Câu 5 Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x   1 x f21x  * Phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ x  là1

Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ bằng 3 là k f  3

f x  f  x  f  x  x và f x    ℝ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0 x

có hoành độ x  song song với đường thẳng nào sau đây1

Theo đề bài ta có f1x f21 2 x4f21 3 x7x2 * 

Thay x 0 vào biểu thức  * ta có        