AI = AB− AC uur uuur uuur Câu 5: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC G, là trọng tâm của tam giácABC.. Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA MB MCuuur uuur uuuur= +A. CHỨ
Trang 1BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
Vấn đề 1 TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ Câu 1: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a= Tính 2OA OBuuur uuur− .
A a. B (1+ 2 )a
C a 5. D 2a 2.
Câu 2: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a= Khẳng định nào sau đây sai ?
A 3OAuuur+4OBuuur =5 a
B 2OAuuur+ 3OBuuur =5 a
C
7OAuuur−2OBuuur =5 a
D 11OAuuur− 6OBuuur =5 a
Vấn đề 2 PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC I, là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A uurIB+2uur uur rIC IA+ =0. B IB ICuur uur+ +2IAuur r=0 C 2uur uur uur rIB IC IA+ + =0 D IB IC IAuur uur uur r+ + =0
Câu 4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC I, là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?
4
AI = AB AC+
uur uuur uuur
4
AI = AB AC−
uur uuur uuur
C
AI = AB+ AC
uur uuur uuur
D
AI = AB− AC
uur uuur uuur
Câu 5: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC G, là trọng tâm của tam giácABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
3
AG= AB AC+
uuur uuur uuur
3
AG= AB AC+
uuur uuur uuur
C
AG= AB+ AC
uuur uuur uuur
D
2
3 3
AI = AB+ AC
uur uuur uuur
Câu 6: Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB CD, lấy lần lượt các điểm M N, sao cho 3uuuurAM =2uuurAB
và 3DNuuur=2DCuuur. Tính vectơ MNuuuur
theo hai vectơ AD BC, .
uuur uuur
A
MN = AD+ BC
uuuur uuur uuur
B
MN = AD− BC
uuuur uuur uuur
C
MN = AD+ BC
uuuur uuur uuur
D
MN = AD+ BC
uuuur uuur uuur
Câu 7: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
A MNuuuur uuuur uuur uuur=MD CN DC+ + . B MNuuuur uuur uuuur uuur= AB MD BN− +
2
MN = AB DC+
uuuur uuur uuur
2
MN = AD BC+ uuuur uuur uuur
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A
1
2
DM = CD BC+
uuuur uuur uuur
B
1
2
DM = CD BC−
uuuur uuur uuur
C
1
2
DM = DC BC−
uuuur uuur uuur
D
1
2
DM = DC BC+ uuuur uuur uuur
Câu 9: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM = AB và N là trung điểm của .
AC Tính MNuuuur theo uuurAB
và uuurAC.
A
MN = AC+ AB
uuuur uuur uuur
B
MN = AC− AB
uuuur uuur uuur
C
MN = AB+ AC
uuuur uuur uuur
D
MN = AC− AB
uuuur uuur uuur
Trang 2Câu 10: Cho tam giác ABC. Hai điểm M N, chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau
.
BM =MN =NC Tính uuuurAM
theo uuurAB
và uuurAC.
A
AM = AB+ AC
uuuur uuur uuur
B
AM = AB+ AC
uuuur uuur uuur
C
AM = AB− AC
uuuur uuur uuur
D
AM = AB− AC
uuuur uuur uuur
Câu 11: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính uuurAB
theo uuuurAM
và BCuuur.
A
1 2
AB AM= + BC
uuur uuuur uuur
B
1 2
AB BC= + AM
uuur uuur uuuur
C
1 2
AB AM= − BC
uuur uuuur uuur
D
1 2
AB BC= − AM
uuur uuur uuuur
Câu 12: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho 2
NC= NA Gọi K là trung điểm của MN Khi đó
A
AK = AB+ AC
uuur uuur uuur
B
AK = AB− AC
uuur uuur uuur
C
AK = AB+ AC
uuur uuur uuur
D
AK = AB− AC
uuur uuur uuur
Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Tính uuurAB
theo uuurAC và BDuuur.
A
AB= AC+ BD
uuur uuur uuur
B
AB= AC− BD
uuur uuur uuur
C
1 2
AB AM= − BC
uuur uuuur uuur
D
1
2
AB= AC BD− uuur uuur uuur
Câu 14: Cho tam giác ABC và đặt a BC br =uuur, r=uuurAC. Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A 2a b ar+r, r+2 br B 2a b ar−r, r−2 br C 5a br+ −r, 10ar−2 br D a b a br+ r, r−r
Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA MB MCuuur uuur uuuur= + . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A Ba điểm C M B, , thẳng hàng
B AM là phân giác trong của góc BAC· .
C A M, và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng
D uuuur uuur rAM BC+ =0.
Vấn đề 3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A GAuuur=2GIuur. B
1 3
IG= − IA
uur uur
C GB GCuuur uuur+ =2GIuur. D GB GC GAuuur uuur uuur+ =
Câu 17: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây
sai ?
A
2 3
GAuuur= − uuuurAM
B uuur uuurAB AC+ =3uuurAG. C GA BG CGuuur uuur uuur= + D GB GC GMuuur uuur uuuur+ =
Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A uuuur uuur uuuurAM =MB MC= . B MB MCuuur uuuur= C MBuuur= −MCuuuur. D AM = BC2 .
uuur uuuur
Câu 19: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai ?
A uuurAB=2AMuuuur. B uuurAC =2uuurNC C uuurBC= − 2MNuuuur. D
1 2
CNuuur= − uuurAC
Trang 3Câu 20: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A
2 3
AB AC+ = AG
uuur uuur uuur
B BA BCuuur uuur+ =3BGuuur. C CA CB CGuuur uuur uuur+ = D uuur uuur uuur rAB AC BC+ + =0
Câu 21: Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn uurIA=2 IBuur Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A
2 3
CA CB
CIuur= uuur− uuur
B
2 3
CA CB
CIuur= uuur+ uuur
C CIuur= −CAuuur+2CBuuur. D
2 3
CA CB
CI = +
−
uuur uuur uur
Câu 22: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A 2MA MBuuur uuur+ −3MCuuuur uuur= AC+2BCuuur. B 2MA MBuuur uuur+ −3MCuuuur=2uuur uuurAC BC+
C 2MA MBuuur uuur+ −3MCuuuur=2CA CBuuur uuur+ . D 2MA MBuuur uuur+ −3MCuuuur=2CB CAuuur uuur−
Câu 23: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A uuur uuurAB AD+ =2uuurAO. B
1 2
AD DO+ = − CA
uuur uuur uuur
C
1 2
OA OB+ = CB
uuur uuur uuur
D uuur uuurAC DB+ =2uuurAB.
Câu 24: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A uuur uuurAC BD+ =2BCuuur. B uuur uuur uuurAC BC+ =AB C uuur uuurAC BD− = 2CDuuur. D uuur uuur uuurAC AD CD− = .
Câu 25: Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo Mệnh đề nào sau đây sai ?
A uuur uuur uuurAB BC+ = AC.
B uuur uuur uuurAB AD AC+ = .
C uuur uuurBA BC+ =2BMuuuur.
D MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ = + .
Vấn đề 4 XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 26: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA MB CAuuur uuur uuur+ = . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A M trùng A. B M trùng B.
Câu 27: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Đặt GA a GB buuur r uuur r= , = Hãy tìm m n, để có
BC ma nb= +
uuur r r
A m=1,n=2. B m= − 1,n= − 2. C m= 2,n= 1. D m= − 2,n= − 1.
Câu 28: Cho ba điểm A B C, , không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ
.
MA x MB y MC= +
uuur uuur uuuur
Tính giá trị biểu thức P x y= + .
A P=0. B P=2. C P= −2. D P= 3.
Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA MB MC MD+ + + =k
uuur uuur uuuur uuuur
là
A một đoạn thẳng B một đường thẳng C một đường tròn D một điểm.
Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo Tập hợp các điểm M
thỏa mãn MA MBuuur uuur+ = MC MDuuuur uuuur+ là
A trung trực của đoạn thẳng AB. B trung trực của đoạn thẳng AD.
C đường tròn tâm I, bán kính 2 .
AC
D đường tròn tâm I, bán kính 2 .
AB BC+
Trang 4Câu 31: Cho hai điểm A B, phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm
M thỏa mãn đẳng thức MA MBuuur uuur+ = MA MBuuur uuur−
là
A đường tròn tâm I, đường kính 2 .
AB
B đường tròn đường kính AB.
C đường trung trực của đoạn thẳng AB. D đường trung trực đoạn thẳng IA.
Câu 32: Cho hai điểm A B, phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm
M thỏa mãn đẳng thức 2MA MBuuur uuur+ = MAuuur+2MBuuur
là
A đường trung trực của đoạn thẳng AB. B đường tròn đường kính AB.
C đường trung trực đoạn thẳng IA. D đường tròn tâm A, bán kính AB.
Câu 33: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Ttập hợp các điểm M thỏa mãn
MA MB+ = MA MC+
uuur uuur uuur uuuur
là
A đường trung trực của đoạn BC B đường tròn đường kính BC.
C đường tròn tâm G, bán kính 3
a
D đường trung trực đoạn thẳng AG.
Câu 34: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
2MAuuur+3MBuuur+4MCuuuur= MB MAuuur uuur−
là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.
A 3.
a
R=
B 9.
a
R=
C 2.
a
R=
D 6.
a
R=
Câu 35: Cho tam giác ABC Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3
?
-ĐÁP ÁN
LỜI GIẢI
Câu 1
Gọi C là điểm đối xứng của O qua A⇒OC= 2 a
Tam giác OBC vuông tại O, có BC= OB2+OC2 =a 5.
Ta có 2OA OB OC OB BCuuur uuur uuur uuur uuur− = − = , suy ra
2OA OBuuur uuur− = BCuuur =a 5
Chọn C.
Trang 5Câu 2 Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
A đúng, gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho
3
OC= OA⇒ 3OA OCuuur uuur=
Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho
4
OD= OB⇒ 4OB ODuuur uuur=
Dựng hình chữ nhật OCED suy ra OC OD OEuuur uuur uuur+ = (quy tắc hình bình hành).
Ta có
3OAuuur+4OBuuur = OC ODuuur uuur+ = OEuuur =OE CD= = OC +OD =5 a
B đúng, vì 2OAuuur+ 3OBuuur=2OAuuur+3OBuuur =2a+3a=5 a
C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A Chọn C.
D đúng, vì 11OAuuur− 6OBuuur =11OAuuur−6OBuuur=11a−6a=5 a
Câu 3
Vì M là trung điểm BC nên uur uurIB IC+ =2IMuuur.
Mặt khác I là trung điểm AM nên IA IMuur uuur r+ =0.
Suy ra IB ICuur uur+ +2IAuur=2IMuuur+2IAuur=2(IM IAuuur uur+ ) =0.r
Chọn B.
Câu 4
Vì M là trung điểm BC nên
2
AB AC+ = AM
uuur uuur uuuur
( )1 Mặt khác I là trung điểm AM nên
2uur uuuurAI =AM. ( )2
4
AB AC+ = AI ⇔ AI = AB AC+ uuur uuur uur uur uuur uuur
Chọn A.
Câu 5
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC
2 3
→uuur= uuuur
Và M là trung điểm của BC
1
2
→uuur uuur+ = uuuur⇔uuuur= uuur uuur+
AG= AB AC+ = AB AC+
uuur uuur uuur uuur uuur
Chọn B.
Câu 6
Ta có MNuuuur uuur uuur uuur=MA AD DN+ + và MNuuuur uuur uuur uuur=MB BC CN+ +
Suy ra 3MNuuuur uuur uuur uuur=MA AD DN+ + +2(MB BC CNuuur uuur uuur+ + )
= uuur+ uuur +uuur+ uuur+ uuur+ uuur
Theo bài ra, ta có MAuuur+2MBuuur r=0 và DNuuur+ 2CNuuur r= 0.
Vậy
MN =AD+ BC⇔MN = AD+ BC
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
Chọn C.
Trang 6Câu 7
Vì M N, lần lượt là trung điểm của AD BC,
⇒
0 0
MA MD
BN CN
uuur uuuur r
uuur uuur r
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
• A đúng, vì MD CN DC MNuuuur uuur uuur uuuur+ + = =(MD DCuuuur uuur+ )+CNuuur uuuur uuur uuuur=MC CN+ =MN
• B đúng, vì uuur uuuur uuurAB MD BN− + =(uuur uuurAB BN+ )−MDuuuur uuur uuuur uuuur= AN AM− =MN
• C đúng, vì MNuuuur uuur uuur uuur=MA AB BN+ + và MNuuuur uuuur uuur uuur=MD DC CN+ +
Suy ra 2MNuuuur=(MA MDuuur uuuur+ )+uuur uuurAB DC+ +(BN CNuuur uuur+ ) = +0r uuur uuur r uuur uuurAB DC+ + =0 AB DC+
1
2
→uuuur= uuur uuur+
• D sai, vì theo phân tích ở đáp án C Chọn D.
Câu 8 Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ uuuurDM
theo hai vectơ uuurDC và uuurBC.
Vì ABCD là hình bình hành nên DB DA DCuuur uuur uuur= + .
Và M là trung điểm AB nên 2DMuuuur uuur uuur=DA DB+ ⇔2uuuurDM =2DA DCuuur uuur+ .
2DM 2BC DC
⇔ uuuur= − uuur uuur+ suy ra
1
2
DM = DC BC−
uuuur uuur uuur
Chọn C
Câu 9. Vì N là trung điểm AC nên 2MNuuuur uuur uuuur uuur uuur uuur=MA MC MA MA AC+ = + + .
2MN 2MA AC
⇔ uuuur= uuur uuur+
2
3AB AC
= − uuur uuur+ Suy ra
MN = − AB+ AC
uuuur uuur uuur
Chọn B
AM = AB BM+ =AB+ BC= AB+ AC AB− = AB+ AC
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Chọn A.
Câu 11 Ta có
1 2
AB AM MB AM= + = − BC
uuur uuuur uuur uuuur uuur
Chọn C.
Câu 12 Ta có 1( ) 1 1 1 1 1
AK = AM+AN = AB+ AC= AB+ AC
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Chọn C.
Câu 13 Vì ABCD là hình bình hành nên CB ADuuur uuur r+ =0.
AB AD DB
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
→uuur= uuur+ uuur
Chọn A.
Câu 14. Dễ thấy −10ar−2br= −2 5( a br r+ )
→ hai vectơ 5a br+ −r, 10ar−2br cùng phương Chọn C.
Câu 15 Gọi I G, lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC.
Vì I là trung điểm BC nên MB MCuuur uuuur+ =2MIuuur.
Trang 7Theo bài ra, ta có MA MB MCuuur uuur uuuur= + suy ra MAuuur= 2MIuuur⇒ A M I, , thẳng hàng
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC → ∈G AI
Do đó, ba điểm A M G, , thẳng hàng Chọn C.
Câu 16 Vì I là trung điểm của BC suy ra IB ICuur uur r+ =0.
GB GI IB
GB GC IB IC GI GI
GC GI IC
uuur uur uur
uuur uuur uur uur uur uur uuur uur uur 14 2 43
Chọn C.
Câu 17. Vì M là trung điểm của BC suy ra MB MCuuur uuuur r+ =0.
GB GM MB
GB GC MB MC GM GM
GC GM MC
uuur uuuur uuur
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur 14 2 43
Chọn D.
Câu 18. Vì M là trung điểm của BC nên MB MCuuur uuuur r+ = ⇔0 MBuuur= −MCuuuur. Chọn C.
Câu 19 Vì M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, .
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC
1 2
Mà BC MN,
uuur uuuur
là hai vectơ cùng hướng nên uuurBC=2MNuuuur. Chọn C.
Câu 20. Gọi E là trung điểm của AC →BA BCuuur uuur+ =2BEuuur. ( )1
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC
3 2
→uuur= uuur ( )2
Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra
3
2
BA BC+ = BG= BG
uuur uuur uuur uuur
Chọn B.
Câu 21. Từ giả thiết IAuur=2uurIB⇒B là trung điểm của IA⇒uur uuur uurBI =AB AI; =2uuurAB.
Lại có
CI CB BI
CI CA AI
uur uuur uur
uur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur
3
=uuur uuur+ + uuur⇔2CI CA CBuur uuur uuur= + +3(CB CAuuur uuur− ) = −2CAuuur+4CBuuur⇔CIuur= −CAuuur+2CBuuur
Chọn C.
Câu 22 Ta có 2MA MBuuur uuur+ −3MCuuuur=2MCuuuur+2CA MC CBuuur uuuur uuur+ + −3MCuuuur=2CA CBuuur uuur+ .
Chọn C.
Câu 23. Ta có OA OBuuur uuur+ = −OC OB OB OC CBuuur uuur uuur uuur uuur+ = − = (vì OA OCuuur uuur r+ =0) Chọn C.
AC AB BC
AC BD BC AB CD BC
BD BC CD
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 14 2 43
Chọn A.
Câu 25. Ta có MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ = + ⇔MA MD MC MBuuur uuuur uuuur uuur− = − ⇔uuur uuurDA BC=
Suy ra điều trên không thể xảy ra vì DAuuur= −BCuuur. Chọn D.
Câu 26 Ta có 2MA MB CAuuur uuur uuur+ = ⇔2MA MB CM MAuuur uuur uuuur uuur+ = + .
0.
MA MB MC MA MB MC
⇔uuur uuur+ = −uuuur ⇔uuur uuur uuuur r+ + = ( )∗
Đẳng thức ( )∗ suy ra M là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn D.
Câu 27 Ta có uuur uuur uuur uuurBC BG GC BG= + = −(GA GBuuur uuur+ ) = −GAuuur−2GBuuur do ( GA GB GCuuur uuur uuur+ + =0 )
Trang 8Chọn B.
Câu 28 Do uuurAB
và uuurAC không cùng phương nên tồn tại các số thực x y, sao cho ,
AM =x AB y AC+ ∀M
uuuur uuur uuur ⇔uuuurAM =x AM MB(uuuur uuur+ ) (+y AM MCuuuur uuuur+ )
(1 x y AM) xMB yMC (x y 1)MA xMB yMC
⇔ − − uuuur= uuur+ uuuur⇔ + − uuur= uuur+ uuuur
Theo bài ra, ta có MA xMB yMCuuur= uuur+ uuuur suy ra x y+ − = ⇔ + = 1 1 x y 2. Chọn B.
Câu 29 Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có
2
, 2
M
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
k
MA MB MC MD+ + + = ⇔k MI+ MI = ⇔k MI = ⇔k MI =
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
( )∗
Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức ( )∗ là đường
tròn tâm I, bán kính 4.
k
R=
Chọn C.
Câu 30 Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AB CD, .
Khi đó
2 , 2
M
uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuur
Do đó MA MBuuur uuur+ = MC MDuuuur uuuur+ ⇔2MEuuur =2MFuuur ⇔ MEuuur = MFuuur. ( )∗
Vì E F, là hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( )∗ suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. Chọn B.
Câu 31 Vì I là trung điểm của AB suy ra MA MBuuur uuur+ =2MIuuur.
AB
MA MB+ = MA MB− ⇔ MI = BA ⇔MI =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( )∗ Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức ( )∗ là đường tròn tâm I, bán kính
2
AB
R=
Chọn A.
Câu 32 Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB=2EA⇒2uuur uuur rEA EB+ =0
Chọn điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA=2FB⇒2FB FAuuur uuur r+ =0
Ta có
2MA MBuuur uuur+ = MAuuur+2MBuuur ⇔ 2MEuuur+2EA ME EBuuur uuur uuur+ + = 2MFuuur+2FB MF FAuuur uuur uuur+ +
3ME 2EA EB 3MF 2FA FB 3ME 3MF ME MF.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
14 2 43 14 2 43
( )∗
Vì E F, là hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( )∗ suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thẳng EF.
Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của EF.
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA MBuuur uuur+ = MAuuur+2MBuuur
là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chọn A.
Trang 9Câu 33 Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AB AC, . Khi đó
2 2
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
Theo bài ra, ta có MA MBuuur uuur+ = MA MCuuur uuuur+ ⇔ 2MIuuur= 2MJuuur ⇔MI =MJ.
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MBuuur uuur+ = MA MCuuur uuuur+
là đường trung trực của đoạn thẳng ,
IJ cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ là đường trung bình của tam giác .
ABC Chọn A.
Câu 34 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có 2MAuuur+3MBuuur+4MCuuuur=2(MI IAuuur uur+ ) (+3 MI IBuuur uur+ ) (+4 MI ICuuur uur+ )
Chọn điểm I sao cho 2IAuur+3IBuur+4uur rIC=0 ⇔3(IA IB ICuur uur uur+ + )+IC IAuur uur r− =0
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒IA IB ICuur uur uur+ + =3IGuur.
Khi đó 9IG IC IAuur uur uur r+ − = ⇔0 9IG AI ICuur uur uur r+ + = ⇔0 9uur uuurIG CA= . ( )∗
Do đó
2MAuuur+3MBuuur+4MCuuuur = MB MAuuur uuur− ⇔ 9MIuuur+2IAuur+3uurIB+4ICuur = uuurAB ⇔9MI = AB
Vì I là điểm cố định thỏa mãn ( )∗ nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán
AB a
Chọn B.
Câu 35 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC nên G cố định duy nhất và
0
GA GB GCuuur uuur uuur r+ + = .
Ta có MA MB MCuuur uuur uuuur+ + = ⇔3 GA GB GCuuur uuur uuur+ + −3GMuuuur = ⇔3 3GMuuuur= ⇔3 GM =1
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1.
Chọn D.
