BAI TAP TRAC NGHIEM VEC TO CO LOI GIAI HAY

Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá củavectơ đó.. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách g

CHƯƠNG I VECTƠBÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VECTƠ

1 Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối.

thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng

có hướng

Định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu ,A điểm cuối B được kí hiệu

2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá củavectơ đó

Định nghĩa Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song

hoặc trùng nhau

Nhận xét Ba điểm phân biệt , ,A B C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ABuuur

và uuurAC

cùng phương

3 Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của

vectơ đó Độ dài của ABuuur

được kí hiệu là AB,

uuur như vậy uuurAB AB.Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị

Chú ý Khi cho trước vectơ ar

và điểm ,O thì ta luôn tìm được một điểm A

duy nhất sao cho OA auuur r .

4 Vectơ – không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn đượcxác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu

và điểm cuối đều là .A Vectơ này được kí hiệu là AAuuur và được gọi là vectơ –

Câu 3 Cho tứ giác ABCD Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu

và cuối là các đỉnh của tứ giác?

Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.

B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.

C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.

D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.

Câu 5 Cho ba điểm , , A B C phân biệt Khi đó:

A Điều kiện cần và đủ để , , A B C thẳng hàng là ABuuur cùng phương với uuurAC.

B Điều kiện đủ để , , A B C thẳng hàng là với mọi , M MAuuurcùng phương với

D Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là uuur uuurAB AC

Câu 6 Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,, AB AC của tam giác đều ABC Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

Câu 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm . O Số các vectơ khác vectơ - không,

cùng phương với OCuuur

có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A 4 B 6 C 7 D 9.

Vấn đề 3 HAI VECTƠ BẰNG NHAU

Câu 8 Với DEuuur

(khác vectơ - không) thì độ dài đoạn ED được gọi là

A Phương của EDuuur.

B Hướng của EDuuur.

C Giá của EDuuur.

D Độ dài của EDuuur.

Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?

A uuur rAA0. B 0r

cùng hướng với mọi vectơ

C uuurAB 0.

D 0r

cùng phương với mọi vectơ

Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau

B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.

C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.

D Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Câu 12 Cho bốn điểm phân biệt , , , .A B C D Điều kiện nào trong các đáp án A,

B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để uuur uuurAB CD ?

A ABCD là hình bình hành B ABDC là hình bình hành.

Câu 13 Cho bốn điểm phân biệt , , , A B C D thỏa mãn uuur uuurAB CD Khẳng định

nào sau đây sai?

Câu 14 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Đẳng thức nào sau đây sai?

A uuur uuurAB DC . B OB DOuuur uuur C OA OCuuur uuur D CB DAuuur uuur

Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi , , , . M N P Q lần lượt là trung điểm của , AB

,

BC , CD DA Khẳng định nào sau đây sai?

A MN QPuuuur uuur . B QPuuur  uuuurMN.

C MQ NPuuuur uuur . D MNuuuur  uuurAC.

Câu 16 Cho hình vuông ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?

A uuur uuurAC BD . B uuur uuurAB CD

C uuurAB  uuurBC.

D Hai vectơ AB AC,

uuur uuur

cùng hướng

Câu 17 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A OA OCuuur uuur . B OBuuur

và ODuuur

cùng hướng

C uuurAC

và BDuuur

cùng hướng D uuurAC  BDuuur.

Câu 18 Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,, AB AC của tam giác đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?

A MA MBuuur uuur . B uuur uuurAB AC C MNuuuur uuurBC D BCuuur 2MNuuuur.

Câu 19 Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng định

nào sau đây đúng?

A MB MCuuur uuuur . B

3.2

a

AM uuuur

Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a và ·BAD  Đẳng thức nào sau đây60đúng?

A uuur uuurAB AD . B uuurBD a.

C BDuuur uuurAC. D BCuuur uuurDA

Câu 21 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây sai?

A uuur uuurAB ED . B uuurAB  uuurAF .

C OD BCuuur uuur . D OB OEuuur uuur

Câu 22 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ bằng OCuuur

có điểm đầu

và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là điểm đối xứng với B qua

tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây

đúng?

A HA CDuuur uuur và uuur uuurAD CH . B uuur uuurHA CD và uuur uuurAD HC .

C HA CDuuur uuur và uuur uuurAC CH . D HA CDuuur uuur và uuur uuurAD HC và

OB ODuuur uuur .

Câu 24 Cho uuurAB0r và một điểm .C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn

a br+r

C B

BÀI 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1 Tổng của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ ar

 ar   0 0r r a ar r (tính chất của vectơ – không)

4 Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Cho vectơ ar

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với ar

được gọi là vectơđối của vectơ ,a

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ ar

kí hiệu a brr. Như vậy a br   r ar  br

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm , ,O A B tùy ý ta có

AB OB OA 

uuur uuur uuur

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ

2) Với ba điểm tùy ý , ,A B C ta luôn có

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IBuur uur 0.r

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GCuuur uuur uuur  0.r

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 1 Cho ba điểm , , A B C phân biệt Khẳng định nào sau đây đúng?

A uuur uuur uuurAB AC BC. B MP NMuuur uuuur uuur NP.C CA BA CBuuur uuur uuur 

D uuur uuur uuurAA BB AB.

chung điểm đầu

Câu 3 Cho ba điểm phân biệt , ,A B C Đẳng thức nào sau đây đúng?

A CA BA BCuuur uuur uuur  . B uuur uuur uuurAB AC BC

C uuur uuur uuurAB CA CB  . D uuur uuur uuurAB BC CA 

Câu 4 Cho uuurAB CDuuur Khẳng định nào sau đây đúng?

C ABCD là hình bình hành. D uuur uuur rAB DC 0.

Câu 5 Tính tổng MN PQ RN NP QRuuuur uuur uuur uuur uuur    .

A MRuuur.

B MNuuuur.

C PRuuur.

D MPuuur.

Câu 6 Cho hai điểm A và B phân biệt Điều kiện để I là trung điểm AB là:

A IA IB . B uur uurIA IB C uurIA IBuur D uur uurAI BI

Câu 7 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng

AB ?

A IA IB . B uur uur rIA IB 0 C uur uur rIA IB 0 D IA IBuur uur

Câu 8 Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH Khẳng định nào sau đây

sai?

A uuur uuurAB AC . B uuurHC HBuuur C uuurAB  uuurAC .

D BCuuur2HCuuur.

Câu 9 Cho hình vuông ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?

A uuur uuurAB BC . B uuur uuurAB CD C uuur uuurACBD D uuurAD  CBuuur.

Câu 10 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA MBuuur uuur r 0.

B Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GCuuur uuur uuur r  0.

C Nếu ABCD là hình bình hành thì CB CD CAuuur uuur uuur  .

D Nếu ba điểm phân biệt , ,A B C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì

AB  BC  AC

uuur uuur uuur

Câu 11 Gọi O là tâm hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai?

A OA OB CDuuur uuur uuur  . B.

OB OC OD OAuuur uuur uuur uuur  

C uuur uuur uuurAB AD DB  . D uuur uuur uuur uuurBC BA DC DA  

Câu 12 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây đúng?

A uuur uuur uuurAB BC DB  . B uuur uuur uuurAB BC BD 

C uuur uuur uuurAB BC CA  . D uuur uuur uuurAB BC AC

Câu 13 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính OB OCuuur uuur .

A OB OCuuur uuur uuur BC. B OB OCuuur uuur uuur DA

C OB OC OD OAuuur uuur uuur uuur   . D OB OCuuur uuur uuur AB

Câu 14 Cho tam giác ABC đều cạnh a Mệnh đề nào sau đây đúng?

A uuur uuur uuurAB BC CA  . B CAuuur uuurAB

C uuurAB  uuurBC  CAuuura.

D CAuuur BCuuur.

Câu 15 Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC Mệnh đề nào sau đây.

đúng?

A uuuur uuur uuur rAM MB BA  0. B MA MBuuur uuur uuur AB

C MA MB MCuuur uuur uuuur  . D uuur uuur uuuurAB AC AM

Câu 16 Cho tam giác ABC với M N P lần lượt là trung điểm của , ,, , BC CA AB

Khẳng định nào sau đây sai?

A uuur uuur uuur rAB BC CA  0. B uuur uuuur uuur rAP BM CN  0

C MN NP PMuuuur uuur uuuur r  0. D uuur uuuur uuurPB MC MP 

Câu 17 Cho ba điểm phân biệt , , A B C Mệnh đề nào sau đây đúng?

A AB BC AC. B uuur uuur uuur rAB BC CA  0

C uuur uuurAB BC  CAuuur  BCuuur.

D uuur uuur uuurAB CA BC  .

Câu 18 Cho tam giác ABC có ABAC và đường cao AH Đẳng thức nào sau đây.đúng?

A uuur uuur uuurAB AC AH. B uuur uuur uuur rHA HB HC  0

C HB HCuuur uuur r 0. D uuur uuurAB AC

Câu 19 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH Khẳng định nàosau đây sai?

A uuur uuurAH HB  uuur uuurAH HC .

B uuur uuur uuur uuurAH AB AHAC.

C BC BA HC HAuuur uuur uuur uuur   . D AH  AB AH .

uuur uuur uuur

Câu 20 Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh ,, , AB BC CA của tam giác,

tại hai điểm A và B Mệnh đề nào sau đây đúng?

A OAuuur OBuuur. B uuurAB OBuuur C OA OB D AB BA

Câu 22 Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT MT,  (T và T là hai tiếp

điểm) Khẳng định nào sau đây đúng?

A MTuuur uuuurMT. B MT MT TT. C MT MT D OTuuur OTuuuur

Câu 23 Cho bốn điểm phân biệt , , , A B C D Mệnh đề nào sau đây đúng?

A uuur uuur uuur uuurAB CD  AD CB . B uuur uuur uuur uuurAB BC CD DA  

C uuur uuur uuur uuurAB BC CD DA   . D uuur uuur uuur uuurAB AD CD CB  

Câu 24 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Vectơ nào trong các vectơ dưới

đây bằng CAuuur?

A BC ABuuur uuur . B OA OCuuur uuur C BA DAuuur uuur D DC CBuuur uuur

Câu 25 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây sai?

A OA OC OEuuur uuur uuur r  0. B OA OC OB EBuuur uuur uuur uuur  

C uuur uuur uuur rAB CD EF  0. D uuur uuur uuurBC EF AD

Câu 26 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Hỏi

vectơ uuur uuurAO DO 

bằng vectơ nào trong các vectơ sau?

A BAuuur.

B uuurBC.

C DCuuur.

D uuurAC.

Câu 27 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Đẳng

thức nào sau đây sai?

A OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur   0.r B uuur uuur uuurAC AB AD

C BA BCuuur uuur  uuur uuurDA DC .

D uuur uuur uuur uuurAB CD AB CB .

Câu 28 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Gọi

,

E F lần lượt là trung điểm của , AB BC Đẳng thức nào sau đây sai?

A DO EB EOuuur uuur uuur  . B OCuuur uuur uuurEB EO

C OA OC OD OE OFuuur uuur uuur uuur uuur    0.r D uuur uuur uuurBE BF DO  0.r

Câu 29 Cho hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác . ABC.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A GA GC GD BDuuur uuur uuur uuur   . B GA GC GD CDuuur uuur uuur uuur  

C GA GC GD Ouuur uuur uuur ur   . D GA GD GC CDuuur uuur uuur uuur  

Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?.

A uuur uuurACBD. B uuur uuur uuurAB AC AD  0.r

C uuur uuurAB AD  uuur uuurAB AD .

D BC BDuuur uuur  uuur uuurAC AB .

a

AB AC uuur uuur

a

AB AC uuur uuur

C uuur uuurAB AC 2 a

D uuur uuurAB AC a.

Câu 33 Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB 2. Tính độ dài của

a

CA HCuuur uuur 

Câu 37 Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC12. Tính

độ dài của vectơ v GB GCr uuur uuur 

Câu 40 Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O Tính OB OC

a

OB OCuuur uuur 

Vấn đề 3 XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 41 Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA MB MCuuur uuur uuuur  0r Xác

định vị trí điểm M .

A M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .

B M là trung điểm của đoạn thẳng AB .

C M trùng với C

D M là trọng tâm tam giác ABC .

Câu 42 Cho tam giác ABC Tập hợp tất cả các điểm . M thỏa mãn đẳng thức

MB MC  BM BA

uuur uuuur uuuur uuur

là

A đường thẳng AB . B trung trực đoạn BC .

C đường tròn tâm ,A bán kính BC D đường thẳng qua A và song song với

BC

Câu 43 Cho hình bình hành ABCD Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng

thức MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur   là

A M là trung điểm của AC . B M là trung điểm của AB.

C M là trung điểm của BC. D M là điểm thứ tư của hình bình hành

ABCM

Câu 45 Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MCuuur uuur uuuur r  0.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A MABC là hình bình hành. B uuuur uuur uuurAM ABAC.

C BA BC BMuuur uuur uuuur  . D MA BCuuur uuur

BÀI 3 TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

2

MA MB  MI

uuur uuur uuur

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

3

GA GB GCuuur uuur uuur   MGuuuur

4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ ar

5 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ ar

và b

r

không cùng phương Khi đó mọi vectơ xr

đều phân tích

được một cách duy nhất theo hai vectơ ar

và ,b

r nghĩa là có duy nhất cặp số ,h ksao cho x h a k br r r.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1 TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

Câu 1 Cho tam giác OAB vuông cân tại , O cạnh OA a Tính 2 OA OB .

AM Khẳng định nào sau đây đúng ?

A IBuur2uur uur rIC IA 0. B uur uurIB IC 2uur rIA0

C 2IB IC IAuur uur uur r  0. D uur uur uur rIB IC IA  0

Câu 4 Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC I là trung điểm của,

AM Khẳng định nào sau đây đúng ?

.4

AI  AB AC

uur uuur uuur

.4

AI  AB ACuur uuur uuur

uur uuur uuur

Câu 5 Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC G là trọng tâm của tam,

giácABC Khẳng định nào sau đây đúng ?.

.3

AG AB AC

uuur uuur uuur

.3

AG AB ACuuur uuur uuur

AI  AB AC

uur uuur uuur

Câu 6 Cho tứ giác ABCD Trên cạnh . AB CD lấy lần lượt các điểm ,, M N sao

cho 3uuuurAM 2uuurAB và 3DNuuur2DCuuur. Tính vectơ MNuuuur theo hai vectơ uuur uuurAD BC,

uuuur uuur uuur

Câu 7 Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD Gọi M và N lần lượt là.

trung điểm của AD và BC Khẳng định nào sau đây sai ?.

A MNuuuur uuuur uuur uuurMD CN DC  . B MNuuuur uuur uuuur uuur AB MD BN 

.2

MN  AB DC

uuuur uuur uuur

.2

MN  AD BCuuuur uuur uuur

Câu 8 Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB Khẳng định nào.

sau đây đúng ?

A

1

.2

DM  CD BCuuuur uuur uuur

C

1

.2

DM  DC BCuuuur uuur uuur

Câu 9 Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM AB,  và N

là trung điểm của AC Tính . MNuuuur

uuuur uuur uuur

Câu 10 Cho tam giác ABC Hai điểm ,. M N chia cạnh BC theo ba phần bằng

nhau BM MN NC. Tính AMuuuur theo ABuuur và uuurAC

uuuur uuur uuur

Câu 11 Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC Tính AB. uuur theo AMuuuur

AB AM  BC

uuur uuuur uuur

B

1.2

AB BC  AM

uuur uuur uuuur

C

1.2

AB AM  BC

uuur uuuur uuur

D

1.2

AB BC  AM

uuur uuur uuuur

Câu 12 Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NC2NA Gọi K là trung điểm của MN Khi đó

uuur uuur uuur

Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Tính AB. uuur theo uuurAC

AB AC BDuuur uuur uuur

Câu 14 Cho tam giác ABC và đặt a BC bruuur, ruuurAC. Cặp vectơ nào sau đây cùngphương?

A 2a b arr, r2 br B 2a b arr, r2 br C.

5a br r, 10ar2 br D a b a brr, rr

Câu 15 Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA MB MCuuur uuur uuuur  . Khẳng định

nào sau đây đúng ?

A Ba điểm ,C M B thẳng hàng B , AM là phân giác trong của góc

Câu 16 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC.

Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A GAuuur2GIuur. B IG 13IA.

uur uur

C GB GCuuur uuur 2GIuur.D GB GC GAuuur uuur uuur  .

Câu 17 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC Khẳng.

định nào sau đây sai ?

A

2.3

GAuuur  uuuurAM

B uuur uuurAB AC 3uuurAG.C GA BG CGuuur uuur uuur 

D GB GC GMuuur uuur uuuur  .

Câu 18 Cho tam giác ABC vuông tại , A M là trung điểm của BC Khẳng định.nào sau đây đúng ?

A uuuur uuur uuuurAM MB MC . B MB MCuuur uuuur

C MBuuur MCuuuur. D AM  BC2 .

uuuruuuur

Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và.

AC Khẳng định nào sau đây sai ?

A uuurAB2uuuurAM. B uuurAC2uuurNC C uuurBC 2MNuuuur D CN  12AC.

uuur uuur

Câu 20 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A

2.3

AB AC  AG

uuur uuur uuur

B uuur uuurBA BC 3BGuuur.

C CA CB CGuuur uuur uuur  . D.

0

AB AC BC  

uuur uuur uuur r

Câu 21 Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IAuur2 IBuur Mệnh đề nào sau

đây đúng ?

A

2.3

CA CB

CIuur uuur uuur

B

2.3

CA CB

CIuur uuur uuur

C CIuur CAuuur2CBuuur. D

2.3

CI  



uuur uuuruur

Câu 22 Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A 2MA MBuuur uuur 3MCuuuur uuurAC2BCuuur. B 2MA MBuuur uuur 3MCuuuur2uuur uuurAC BC

C 2MA MBuuur uuur 3MCuuuur2CA CBuuur uuur . D 2MA MBuuur uuur 3MCuuuur2CB CAuuur uuur

Câu 23 Cho hình vuông ABCD có tâm là O Mệnh đề nào sau đây sai ?

A uuur uuurAB AD 2uuurAO. B

1.2

AD DO   CA

uuur uuur uuur

C

1.2

OA OBuuur uuur  CBuuur

D uuur uuurAC DB 2uuurAB.

Câu 24 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây đúng ?.

A uuur uuurAC BD 2BCuuur. B uuur uuur uuurAC BC AB

C uuur uuurAC BD 2CDuuur. D uuur uuur uuurAC AD CD  .

Câu 25 Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo.

Mệnh đề nào sau đây sai ?

A uuur uuur uuurAB BC AC. B uuur uuur uuurAB AD AC

C BA BCuuur uuur 2BMuuuur. D MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur   .

Vấn đề 4 XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 26 Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA MB CAuuur uuur uuur  . Khẳng định

nào sau đây là đúng ?

A M trùng A B M trùng B

C M trùng C D M là trọng tâm của tam giác ABC.

Câu 27 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Đặt GA a GB buuur r uuur r ,  Hãy tìm m n,

để có BC ma nbuuur r r.

A m1,n2. B m 1,n 2 C m2,n1 D m 2,n 1

Câu 28 Cho ba điểm , ,A B C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức

vectơ MA x MB y MCuuur uuur uuuur.

Tính giá trị biểu thức P x y  .

A P0. B P2 C P 2 D P3

Câu 29 Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k Tập hợp các điểm 0. M thỏa

mãn đẳng thức MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur   k là

A một đoạn thẳng B một đường thẳng.

Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo Tập

hợp các điểm M thỏa mãn MA MBuuur uuur  MC MDuuuur uuuur là

A trung trực của đoạn thẳng AB. B trung trực của đoạn thẳng AD.

er M O

C đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D đường trung trực đoạn thẳng IA

Câu 32 Cho hai điểm ,A B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA MBuuur uuur  MAuuur2MBuuur

Câu 33 Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G Ttập hợp các điểm M thỏa

mãn MA MBuuur uuur  MA MCuuur uuuur

1 Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một

điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị er

Ta kí hiệu trục đó là  O e; r

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục  O e; r

Khi đó có duy nhất một số k

r

ir

1 1 y

x O

O

sao cho OMuuuurk er. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

c) Cho hai điểm A và B trên trục  O e; r

Khi đó có duy nhất số a sao cho

AB a e

uuur r

Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ ABuuur

đối với trục đã cho và kí hiệu

aAB

Nhận xét.

 Nếu ABuuur cùng hướng với er

thì AB AB , còn nếu ABuuur ngược hướng với erthì AB AB.

 Nếu hai điểm A và B trên trục  O e;r

được gọi là trục tung và kí hiệu là

Oy Các vectơ ir và j

r

là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và ir  rj 1.

Hệ trụctọa độ O i j; ,r r

còn được kí hiệu là Oxy.

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ ur

tùy ý Vẽ OA uuuur r và gọi A A lần1, 2

lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy Ta có . OA OAuuur uuuur uuuur 1OA2 và

cặp số duy nhất  x y;

để OAuuuur1x i OAr, uuuur2 y jr. Như vậy urx iry jr.Cặp số  x y;

duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ ur

đối với hệ tọa độ

Oxy và viết ur x y;  hoặc u x yr ; 

Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai

Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ,

ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi

chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ OMuuuur

đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Như vậy, cặp số  x y; là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OMuuuur x y; Khi

đó ta viết M x y ;  hoặc M  x y; Số x được gọi là hoành độ, còn số y đượcgọi là tung độ của điểm M Hoành độ của điểm . M còn được kí hiệu là x M, tung

độ của điểm M còn được kí hiệu là y M.

 ; 

M  x y OMuuuurx iry jr

Chú ý rằng, nếu MM1Ox MM, 2Oy thì x OM 1, y OM 2

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A x y A; A và B x y B; B. Ta có

 B A; B A

AB x x y y

uuur

3 Tọa độ của các vectơ u v u v k ur r r r ,  , r

Ta có các công thức sau:

Cho uru u1 2; , vrv v1 2; Khi đó:

 u vr r u1u v2 1; v2;

 u vr r u1u v2 1; v2;

 k urk u k u1; 2,k¡

Nhận xét Hai vectơ uru u1 2; , vrv v1 2;  với vr 0r cùng phương khi và

chỉ khi có một số k sao cho u1k v1 và u2 k v2

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A x y A; A , B x y B; B. Ta dễ dàng chứng minhđược tọa độ trung điểm I x y I; I của đoạn thẳng AB là

A ar   5;0, br   4;0 cùng hướng. B cr 7;3 làvectơ đối của dur  7;3 

C ur  4; 2 , vr 8;3 cùng phương D ar 6;3 , br 2;1 ngược hướng.

Câu 2 Cho ar 2; 4 ,   br  5;3  Tìm tọa độ của ur 2a br r .

A ur 7; 7   B ur9; 11   C ur9; 5   D ur  1;5 

Câu 3 Cho ar 3; 4 ,   br  1; 2  Tìm tọa độ của vectơ a br r .

A 4;6  B 2; 2   C 4; 6   D  3; 8 

Câu 4 Cho ar   1; 2 ,  br5; 7   Tìm tọa độ của vectơ a br r .

A 6; 9   B 4; 5   C 6;9  D  5; 14 

Câu 5 Trong hệ trục tọa độ O i j; ;r r

, tọa độ của vectơ ir r j là

A  0;1

B 1; 1   C 1;1  D  1;1

Câu 6 Cho ur3; 2 , vr 1;6 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A u vr r và ar   4; 4 ngược hướng B u vr r, cùng phương.

C u vr r và br6; 24  cùng hướng D 2u v vr r r , cùng phương.

Câu 7 Cho ur2ir r j và v ir  r xjr Xác định x sao cho ur và vr cùng phương.

A x  1 B

12

x 

14

x D x 2

Câu 8 Cho ar   5;0 ,  br  4; x Tìm x để hai vectơ a br r, cùng phương.

Vấn đề 2 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy cho , A  5; 2 , 10;8 B 

Tìm tọa độ của vectơ uuurAB?

A uuurAB15;10  B uuurAB 2; 4 C uuurAB 5;6 D uuurAB50;16 

Câu 12 Trong hệ tọa độ Oxy cho ba điểm , A  1;3 , B 1; 2 ,  C 2;1  Tìm tọa

độ của vectơ uuur uuurAB AC .

Câu 14 Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , A     3;5 , 1;2 , B C 5; 2

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC?

Câu 17 Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , A1; 1 , N5; 3  và C

thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác thuộc trục Ox Tìm tọa độ điểm C