Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho mỗi cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho
Trang 11
TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11 Phần 1 Lượng giác:
A Phương trình lượng giác
1 Giải phương trình:
2
2
s i n
x x
2 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0 ; 1 0 0 4
2
8 s i n c o s 3 s i n c o s
0
s i n
6
x
3 Giải phương trình: c o s 3x s i n 3x c o s x s i n x
4 Giải phương trình: 8 s i n2 x c o sx 3 s i n x c o s x 0
5 Giải các phương trình sau:
a) c o s4 x 2 c o s 2x 2 s i n2 x 3
b) s i n 2 c o s 2x x 4 s i n x c o s2 x 3 s i n 2x c o s 2x 2 c o s x 3 0
6 Giải phương trình: c o s 2x 2 s i n 2x 1 1 s i n x 2 c o s x 6
7 Giải phương trình: c o s4 x s i n6 x c o s 2x
8 Giải phương trình: 2 2 c o s 2 s i n 2 c o s 3 4 s i n 0
9 Giải phương trình: 8 c o s3 c o s 3
3
10 Giải phương trình: 1 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 2 2 0 1 2
2
11 Giải phương trình: 3 t a n 2 3 2 1 c o t 2 c o s 2 0
c o s 2 1 c o t
x
s i n x s i n 3x s i n 5x s i n x s i n 3x s i n 5x
13 Giải phương trình: s i n 2x 2 s i n 3x c o s 2x
3
8
c o t t a n
s i n 2
x
2 s i n x 3 s i n 2x 1 3 c o s x 3 s i n x
16 Giải phương trình: 2 c o s x 3 s i n x c o s x 1 1
17 Giải phương trình: 3 s i n 3 2 s i n 4 2 s i n 1 1 3 c o s 3
2 s i n 3 c o s s i n 1 c o s 3 c o s 1 0
2
x
19 Giải phương trình:
2 3 s i n 1 c o s 4 c o s s i n 3
2
0
2 s i n 1
x
x
Trang 220 Giải phương trình: s i n 3 c o s 3 4 c o s 2 3 1
2 s i n 1
x
21 Giải phương trình:2 2 c o s 3 s i n 4 c o s 3 0
x
22 Giải phương trình: 2 t a n 2x 2 s i n 2x 3 c o t x
23 Giải phương trình: s i n s i n c o s s i n2 1 2 c o s2 0
24 Giải phương trình: c o s 3 s i n 3 c o s 3 s i n 4
2
x
s i n 3x c o s x c o s 2x t a n 2x t a n x
26 Giải phương trình:
2
3 4 2 s i n 2
2 3 2 ( c o t 1)
s i n 2
c o s
x
x x
x
27 Giải phương trình: c o s c o s 2 3 s i n 3 1 c o s 3 5 c o s
28 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên khoảng 0 ; 2 0 1 6
3
29 Giải phương trình: 2 s i n x c o tx 2 s i n 2x 1
30 Giải phương trình: s i n 3 s i n 2 s i n
31 Giải phương trình: 3 s i n 2x c o s 2x 1 3 s i n x 3 c o s x
32 Giải phương trình: c o s 2 3 s i n 2 1 1
s i n
3
x
33 Giải phương trình:
2
2
c o s 2 t a n
c o s
x
34 Giải phương trình: 3 s i n 2 c o s 2 5 s i n ( 2 3 ) c o s 3 3 1
x
35 Giải phương trình: 2 0 0 0 s i n4 x 2 0 1 5 c o s3 x 2 0 1 5
36 Giải phương trình: 2 s i n s i n 4 c o s 2 s i n 6 s i n 2
4
37 Giải phương trình: 2 1 2 c o s 2x c o s 3x 1
38 Giải phương trình: 2 s i n c o s 2 c o s 6 3 c o s 3 3
39 Giải phương trình: c o s c o s 3 1 2 s i n 2
4
1 t a n x c o s x 1 c o t x s i n x 2 s i n 2x
Trang 33
41 Giải phương trình: s i n 2x 3 c o s 2x 2 3 s i n x c o s x 1 3
42 Giải phương trình: s i n2 3 c o s 2x x s i n2 x 0
43 Giải phương trình: 2
3 1 c o s x 3 1 s i n x c o s x s i n x c o s x 3 0
c o s x s i n x 3 s i n x c o sx
45 Giải phương trình: 2 2 2 2 s i n 2
t a n c o t 2
x
46 Giải phương trình: 2 3 s i n 2 3 t a n 2 3
x x
x
47 Giải phương trình: 1 s i n 2x c o s 2x 2 s i n x c o sx
48 Giải phương trình: 2
c o s 2x c o s 4x 6 2 s i n 3x
49 Giải phương trình: 3
6 c o s x 2 2 c o s 3x 2 c o s x 2
50 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên đoạn 0 ; 1 0 0 7 :
2
8 s i n c o s 3 s i n c o s
0
51 Giải phương trình: 3 t a n 2 3 2 t a n 2 4 c o s2 2
c o s 2 1 t a n
x
52 Giải phương trình: 2 2
3 4 s i n x 3 4 s i n 3x 1 2 c o s 1 0x
2 c o s 2
x
54 Giải phương trình:s i n 2x 2 s i n x 2 c o s x 2
55 Giải phương trình:
2
0
x
56 Giải phương trình:2 s i n s i n 3 c o s3 3 4 c o s
x
57 Giải phương trình: s i n2 x c o s x c o s 3x s i n x c o s 2x 0
58 Giải phương trình: s i n s i n33 c o s 3 c o s3 0
B Hệ thức lượng trong tam giác
1 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện:
1
c o s c o s c o s s i n s i n s i n
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
2 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng:
2
2
Trang 43 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
c o s A c o sB c o sC 2 ( c o s A c o sB c o sB c o sC c o sC c o s A)
Chứng minh tam giác ABC đều
4 Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC Chứng minh rằng:
s i n s i n s i n
1
5 Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2
Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt GTNN: P 2 c o s 4C 4 c o s 2C c o s 2A c o s 2B
6 Giả sử A, B, C, D lần lượt là số đo các góc D A B, A B C, B C D, C D A của tứ giác lồi ABCD
a) Chứng minh rằng: s i n s i n s i n 3 s i n
3
b) Tìm GTLN của biểu thức s i n s i n s i n s i n
3
A
7 Chứng minh rằng trong tam giác ta luôn có: 2 s i n3 s i n2 s i n2 2 5
8
8 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I và thỏa mãn:
a) Chứng minh tam giác ABC đều
b) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA,AB với đường tròn ( I) BE cắt đường tròn ( I) tại điểm thứ hai là K Biết B E 9 2 và K là trung điểm BE Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
9 Tam giác ABC có các góc thỏa mãn: s i n2 B s i n2 C s i n B s i nC s i n2 A
Tìm GTNN của biểu thức P c o t A c o t B c o tC
10 Cho tam giác ABC thỏa mãn: t a n2 t a n2 t a n2 1
đều
11 Nhận dạng tam giác biết:
a) s i n (A B) c o s (A B) 2 s i n A s i n B
b) c o s ( ) t a n
s i n s i n ( )
B C
B
c) c o s c o s c o s 5
d)
e) s i n ( 2 c o s ) s i n
s i n ( 2 c o s ) s i n
Trang 55
f) s i n s i n 1 ( t a n t a n )
c o s c o s 2
g)
s i n s i n s i n s i n
c o s c o s
t a n 2
C
12 Chứng minh rằng các trung tuyến của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
c o tC 2 ( c o t A+ c o t B)
13 Cho tam giác ABC thỏa mãn:
Chứng minh rằng các góc của tam giác lập thành
một cấp số nhân
14 Tính số đo các góc của tam giác ABC biết 2 2 2 5
4
c A c B c C
15 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :
0 17 ) cos cos
(sin 3 4 sin
sin cos
Tính các góc của tam giác đó
16 Cho tam giác ABC thỏa mãn: s i n c o s c o s
s i n s i n
A
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A
17 Cho tam giác ABC , M là trung điểm BC và H là trực tâm
2
M A M H A H B C
18 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
s i n s i n s i n
M
trong đó A, B, C là các góc
của tam giác ABC
19 Tam giác ABC thỏa mãn
t a n t a n t a n
9
t a n t a n t a n
Chứng minh rằng tam giác ABC đều
20 Cho tam giác ABC có 3 góc là A, B, C
M
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là
( c o t c o t c o t ) 3
s i n s i n s i n
21 Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có:
2 3 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 3 2
2 cos 2 cos
cos cos
2 cos 2 cos
cos cos
2 cos 2
cos
cos cos
A C
A C C
B
C B B
A
B
22 Cho tam giác ABC thỏa mãn: c o s2 B c o s2 C s i n2 A Tìm GTLN của biểu thức:
Trang 6Phần 2 Giới hạn hàm số
1 Tìm giới hạn sau:
3
0
li m
x
x
2 Tìm giới hạn sau:
3
0
1 2 0 1 7 1 2 0 1 8 1
li m
x
x
3 Tìm giới hạn sau:
3
1
li m
1
x
x
4 Tìm giới hạn sau:
3
0
li m
x
x
5 Tìm giới hạn sau:
2
li m
x
6 Tìm giới hạn sau:
1
li m
x
x x
7 Tìm giới hạn sau:
2 0
li m
x
8 Tìm giới hạn sau:
3
2 1
li m
1
x
x
9 Tìm giới hạn sau:
2
2 0
li m
x
x x
10 Tìm giới hạn sau:
3
2 0
li m
x
x
11 Tìm giới hạn sau:
0
2 1 2 3 1 3 4 1 2 0 1 7 2 0 1 8 1 1
li m
x
x
12 Tìm giới hạn sau:
2
li m
2
x
x
13 Tìm giới hạn sau:
2 0
li m
x
14 Tìm giới hạn sau: 2 3
0
2 0 1 2 1 2 2 0 1 2 4 1
l i m
x
x
15 Tìm giới hạn sau:
3
0
li m
x
16 Tìm giới hạn sau:
3
1
li m
2
x
17 Tìm giới hạn sau:
2 0 1 8
2 1
2 0 1 8 2 0 1 7
li m
x
x
Trang 77
x
19 Tìm giới hạn sau:
3
2 0
li m
x
x
20 Tìm giới hạn sau:
2 2
li m
x
x
,
Phần 3 Dãy số và các bài toán liên quan
1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n) , biết dãy số (u n) được xác định như sau:
1
2
1 1
1 2
, 2 3
n
u
u
2 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1 1
2
s i n
n
Chứng minh rằng (u n) là một dãy số bị chặn
3 Cho dãy số
1
* 1
3
,
u
n
a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (u n)
b) Tìm n để n u. n là số chính phương
4 Cho dãy số (u n) có
* 1
2
2 0 0 6 , 2 0 0 9
, 3
n
5 Cho dãy số (u n)có
1
2 0 1 8
*
1 2 0 1 7
2
1 , 3
n
u
a) Chứng minh: u n 1, n N và (u n) là dãy số tăng
b) Tìm
2 0 1 7 1
1
li m
2
n
i i
u
6 Cho dãy số x n được xác định như sau;
1
1
1
, 1 2
n
x
x
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm li m n
n
x
Trang 8
7 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
1
1
1
2 0 1 8
,1 2 0 1 8
2 0 1 8 n
k
u
n
n
Hãy tính giá trị của tổng: u1 u2 u3 u2 0 1 1
8 Cho dãy số (u n) không xác định như sau: 0 1
*
Tính li m
3 2
n n
u
9 Cho dãy số (u n) được xác định như sau:
1
* 1
4 1
9
u
Tìm công thức tổng quát của u n
10 Cho dãy số (u n) có u1 2 0 3 9 ; u n1 u n 2n 2 0 1 1, n 1
Hãy tính giá trị của tổng: S n u1 u2 u3 u n
11 Cho dãy số (u n) được xác định như sau: 2
u u n u u n
Chứng minh rằng dãy số (u n) có giới hạn và tìm giới hạn đó
12 Cho dãy số (u n) được xác định bởi công thức:
1
2 1
4
u
a) Tìm công thức tổng quát của số hạng u n
1 2 1 1 1 0 1
u
13 Cho dãy số (u n) có
1
1
1 6
1
n n
u
n u
n
Tìm số hạng tổng quát u n
14 Cho dãy số (u n) xác định bởi:
1
2
2
u
n n u
15 Cho dãy số a n thỏa mãn:
1
4 3
a
Tìm li m a n
Trang 99
16 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1 2
, 3
n
Tìm công thức tổng quát của u n
17 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1
* 1
3
u
Gọi S n là tổng của n số hạng đầu của dãy (u n) Tìm li m
n
S
n
18 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1
2
u
Tìm li m n2.u n
19 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
1
2
* 1
1
,
2 0 1 8
n
u
u
Tìm giới hạn : 1 2
n
u
20 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
0
1
0
2 0 1 8
2 0 1 8 n
k
u
n
n
Hãy tính giá trị
2 0 1 8
0
2 n n
n
21 Cho dãy x n được xác định bởi
1
1
2
1
n n
n
x
x x
x
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số x n
b) Chứng minh rằng số
2
2 2
2
n
n
x x
có thể biểu diễn được tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp
22 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
1
* 1
2
1 , 2
n n
u
u
Hãy tìm số hạng tổng quát u n và tìm li m u n
23 Cho dãy số (u n) được xác định như sau: 1 2
*
Trang 10Tìm giới hạn:
2
.
li m
2
n
u u u
24 Cho dãy số (u n) được xác định như sau:
* 2
1
2
2
,
n
u u
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n)
25 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1
1
5
2 ,
u
2 1
u u u u không đổi khi n thay đổi
26 Cho dãy số (u n)
có u1 2 0 3 2 ; u n1 u n 2 3n 2 0 1 5 , n 1 Tìm số hạng tổng quát của
dãy số (u n) và tính giá trị của tổng: S n u1 u2 u3 u n
27 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
1
* 1
1
5
,
n
u
n N
Tìm công thức u n
28 Cho cấp số nhân, công bội q > 0 , u1 0 thỏa mãn:
2 0 1 6
2 0 1 5
n
n
Tính P u u1. 2 .u n
29 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1 1, 1 , 1, 2 , 3
1
n n
n
u
u
Tính giới hạn sau:
li m
2 0 1 8
n
n
30 Cho dãy số được xác định như sau: 1 1 , 1 2 , *
u u u u n N Chứng minh rằng dãy
số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
31 Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1
1
1 1
u
Tìm công thức tổng quát u n
n
P
U là số hạng tổng quát của P n
Tìm li m n
n
U
33 Cho dãy số (u n) được xác định như sau: 1 2
*
Trang 1111
Tìm giới hạn:
2
li m n
n
u n
34 Cho dãy số (u n) được xác định như sau:
1
* 1
1
2 0 1 8
1 ,
2 0 1 8
n n
u
Tìm công thức tổng quát và giới hạn của dãy số đó
35 Cho dãy số (u n) được xác định như sau: 1
*
2 0 1 8
1 ,
u
Đặt
1
1
n n
S
u
Tìm giới hạn: li m n
n
S
36 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
2
* 1
2 1
Chứng minh rằng:
.
2
n
37 Cho hai số thực dương a, b (a > b) và hai dãy số u n , v n được xác định như sau:
*
,
2
Chứng minh hai dãy số u n , v n có giới hạn hữu hạn và li m u n li m v n
38 Cho dãy số x n thỏa mãn: x1 1 và x n1 x n2 2x n 2 x n2 2x n 2 với mọi n thuộc số nguyên dương Chứng minh dãy x n có giới hạn hữa hạn khi n
39 Cho dãy số (u n) được xác định bởi
1
* 1
1
( 1) , 1
n
u
n
a) Chứng minh rằng: 2 1 1 . 1 , 1
n
b) Chứng minh dãy số đã cho có giới hữu hạn và tìm giới hạn đó
40 Cho dãy số dương (u n) thỏa mãn
1
2
* 1
1
,
n
n
u
u
Tìm giới hạn của dãy số./
Trang 12Phần 4 Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp– Xác suất– Nhị thức Niu tơn
A Quy tắc đếm – Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần
2 Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau
3 Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho mỗi cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau
4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần
5 Có bao nhiêu cách chia 100 cây bút chì cho 3 bạn sao cho mỗi bạn đều có ít nhất một cây bút chì?
6 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ
số đôi một khác nhau sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng vị trí thứ 3 ( tính từ hàng đơn vị) chia hết cho 6?
7 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhỏ hơn 600000
8 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
9 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau mà tổng của 3 chữ số cuối nhỏ hơn tổng 3 chữ số đầu là 3 đơn vị
10 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
11 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ?
12 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các chữ số 1, 2, 3 đứng kề nhau
B Xác suất
1 Cho lục giác đều A B C D E F Viết các chữ cái A B C D E F, , , , , vào 6 thẻ (Mỗi thẻ ghi 1 chữ cái) Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ Tính xác suất chọn được 2 thẻ sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của lục giácA B C D E F
2 Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa
mãn a1 a2 a3 a4 a5 a6.
3 Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 6 chữ số Tính xác suất để viết được số có tổng các
chữ số của nó bằng 6
4 Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Tính xác suất bất kì 2 học sinh nào
ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau
5 Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hoit thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì một câu hỏi, thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác đinh câu hỏi của mình Biết rằng bộ câu hỏi dành cho thí sinh là như nhau, Tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và
B chọn giống nhau
6 Trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh năm 2016, một phòng thi có 24 em học sinh trong đó có 12
em là học sinh của cùng một trường Trước khi giám thị gọi thí sinh vào phòng thi, yêu cầu các
em sắp xếp ngẫu nhiên một hàng dọc Tính xác suất để khi các em sắp xếp hàng dọc không có
hai học sinh cùng trường đứng cạnh nhau
