TÀI LIỆU ôn LUYỆN HSG 11 NHOM 10 TOAN ROI RAC toan roi rac nhom 1 phan 1

sao cho ta có thể tô màu tất cả các đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng bởi k màu mỗi đoạn thẳng được tô đúng một màu và các cạnh của một tam giác bất kì tạo bởi 2 điểm trong chúng

Bài 1 Gọi f n là số cách chọn các dấu cộng,trừ đặt giữa biểu thức:E n 1 2 nsao cho E n 0

.Chứng minh rằng:

a) f n 0khi n 1, 2 (m od 4 )

b) Khi n 0 , 3 (m od 4 )ta có

1 2

2 ( ) 2 2 2

n n

Nếu f ( )n 2n 1 thì theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 biểu thức cùng nằm trong một cặp như trên,hiệu

của chúng bằng 2 Do đó chúng không thể cùng bằng 0 được (mâu thuẫn !)

Như vậy với mỗi cách chọn A nta có thể xây dựng ít nhất 4 tập A n 4

Giả sử cho trước tập A n 4.Ta thấy tập A n 4 được xây dựng từ tập A nvà thêm đúng một cặp trong tập

2 ( 4 3 ) ( 4 1 4 ) 4 ( 4 1) 4 ( 4 5 ) 4 ( 3 )

2

k k

4 2

Giả sử tlà số vô tỉ bất kì Ta sẽ chứng minh trong các số t, 2 , ,t n 1 tsẽ có một số thỏa mãn

Giả thiết phản chứng là không có số nào trong các số trên thỏa mãn

Có n 1 hàng và n cột Theo giả thiết phản chứng thì trong mỗi hàng có ít nhất một số hữu tỉ nên có ít nhất 1

n số hữu tỉ trong bảng Vì có n cột nên có một cột chứa hai số hữu tỉ Khi đó hiệu của chúng là số hữu tỉ

Vô lí

sao cho ta có thể tô màu tất cả các đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng bởi k màu ( mỗi đoạn thẳng được tô đúng một màu) và các cạnh của một tam giác bất kì tạo bởi 2 điểm trong chúng được tô bởi đúng hai

màu

Hướng dẫn giải

Dùng định lí Ramsey chứng minh được: Tô màu các cạnh của đồ thị K1 7( đồ thị đầy đủ 17 đỉnh) bằng 3 màu một cách tùy ý thì luôn có một K3có ba cạnh cùng màu ( trong các cuốn sách về đồ thị đều trình bày chứng minh, học sinh phải chứng minh lại) Khi đó k 4

Ta đi chứng minh: bằng 4 màu ta có thể tô được các cạnh của K2 5 thỏa mãn bài ra

Thật vậy, chia 25 điểm thành 5 tập hợp 5 điểm A1, A5 Trong mỗi A i lấy các đỉnh trên một ngũ giác đều Cạnh của ngũ giác con này tô màu 1 và các đường chéo của nó tô màu 2

Sau đó mỗi tập hợp A icoi là đỉnh một ngũ giác và thực hiện việc tô màu nối các đoạn thẳng của các nhóm ,

i j

A A cũng theo cách tương tự với 2 màu còn lại Ta đi chứng minh cách tô màu này thỏa mãn bài toán

Thật vậy : lấy 3 điểm A, B, C tùy ý Ta xét các trường hợp sau:

TH1: A, B, C thuộc một tập nạo đó Dễ dàng kiểm tra các cạnh được tô bởi 2 màu

TH2: A, B, C thuộc hai tập hợp khác nhau Giả sử A, B thuộc cùng một tập, C thuộc tập hợp khác Khi đó hai cạnh CA, CB được tô cùng màu và cạnh AB được tô khác màu

TH3:A, B, C thuộc ba tập hợp khác nhau Khi đó trường hợp này giống trượng hợp1

M  B

Hướng dẫn giải

Giả sử hình vuông M không thể phủ bởi hữu hạn các hình B i Không mất tính tổng quát ta giả sử hình vuông

M là hình vuông ABCD trong đó A 0 ; 0 ,B 0 ; 1 ,C 1; 1 ,D 1; 0 Chia hình vuông M thành 4 hình vuông bằng nhau bởi hai đường thẳng đi qua tâm của M và vuông góc với các cạnh Trong 4 hình vuông bằng nhau

đó có ít nhất một hình vuông M1 sao cho M1 không thể phủ bởi một số hữu hạn các hình B i Độ dài cạnh

của hình vuông M1 là 1

2 Ta lại chia hình vuông M1 thành 4 hình vuông bằng nhau bởi hai đường thẳng đi

qua tâm của M và vuông góc với các cạnh Trong 4 hình vuông bằng nhau đó có ít nhất một hình vuông

M sao cho M 2 không thể phủ bởi một số hữu hạn các hình B i Độ dài cạnh của hình vuông M 2 là

2

1 2

Tiếp tục như vậy ta được một dãy các hình vuông M n có các tính chất sau:

(i) M M1 M 2 M n

(ii) M nlà hình vuông có độ dài cạnh là 1

2n(iii) Không thể phủ mỗi hình vuông M nbởi một số hữu hạn các hình B i

Từ tính chất (i) thì tồn tại điểm M0 M n với mọi số nguyên dương n Do M 0 M i0 T sao cho

Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200

Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư trong phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của chúng chia hết cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm

Bài 6 Cho các số nguyên a1,a2, ,a2 0 1 5 với 0 a i 1 0 0 , i 1; 2 0 1 5 Với mỗi cặp a i;a i 1 ta cộng thêm 1vào cả hai số và mỗi cặp đó không được xuất hiện quá k lần Tìm k nhỏ nhất sao cho hữu hạn lần thực hiện

thao tác trên ta được mọi số bằng nhau

Hướng dẫn giải

Ta xét trường hợp các số cạnh nhau cách nhau xa nhất 1 3 2 0 1 5

2 4 2 0 1 4

1 0 0 0



Đặt S a2 a3 a3 a4  a2 0 1 4 a2 0 1 5 lúc đầu tiên chưa tác động thì S 1 0 0 1 0 0 7

Sau hữu hạn lần tác động tất cả các số bằng nhau do đó khi đó S 0

Ta nhận xét rằng

Tác động lên các cặp a ,a , a ,a , , a ,a Thì S không đổi

Tác động lên cặp a1,a2 Thì S tăng lên một đơn vị

Tác động lên cặp a2 0 1 5,a1 Thì S giảm 1 đơn vị

Bộ a1,a2 bị tác động lớn hơn hoặc bằng 100.1007 lần thì k 1 0 0 1 0 0 7 Ta sẽ chứng minh k 1 0 0 1 0 0 7 là giá trị nhỏ nhất thoả mãn

Tác động cặp a i 1,a i số lần là a i 1 a i 3 

Tác động cặp a i,a i 1 số lần là a i 2 a i 4 

Sau các lần tác động như vậycác số bằng nhau và bằng a1 a2 a2 0 1 4 a2 0 1 5.nên số lần tác động

1 0 0 1 0 0 7 suy ra điều phải chứng minh

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có thể loại bỏ hai số thuộc tập hợp

2n 1 4n 2 1 0 ( Bất đẳng thức này sai với n 5)

Cuối cùng ta cần kiểm tra với n 4

3

n xét tập S3 1, 2 , 3 ta loại bỏ hai số 2 và 3

4

n xét tập S 1, 2 , 3 , 4 ta loại bỏ hai số 2 và 4

Bài 8 Cho hình vuông có cạnh 6cm và 2014 đường tròn bán kính 1

3 8

cm Đặt tất cả các đường tròn vào trong

hình vuông Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt 18 đường tròn đã cho

Vì 2014 = 118 17 + 8 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại một đường thẳng cắt 18 đường tròn

nhất là một ngôi sao) Ta thực hiện một công việc là nếu có một hình 2 3 hoặc 3 2 mà có 5 ngôi sao thì ta

sẽ dán thêm một ngôi sao vào ô còn lại Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho ban đầu trong bảng có k ngôi sao

thì sau hữu hạn bước thực hiện việc dán thêm sao như trên thì mọi ô trong bảng đều có ngôi sao

Hướng dẫn giải

Sau mỗi một lần thực hiện thuật toán thì ít nhất một hình 2 2với 4 ngôi sao được hình thành

Nếu ban đầu không có hình 2 2 nào với 4 ngôi sao thì sau bước thực hiện sẽ có ít nhất hai hình 2 2 với đầy đủ 4 ngôi sao được hình thành

Do đó sau mn-k bước thực hiện sẽ có ít nhất mn-k+1 hình2 2 với 4 ngôi sao được hình thành hoặc ít nhất

có 1 hình 2 2 với 4 ngôi sao đã có ban đầu và mn-k hình 2 2 có đủ 4 sao được hình thành

Bài 10 Cho số nguyên n 2 Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất 2 1 tập hợp con không rỗng phân biệt của tập 1, 2 , , n đều tìm được ba tập hợp mà một trong chúng là hợp của hai tập còn lại

Hướng dẫn giải

Với n=2 ,ta có {1;2}={1}U{2}

Với n>=2, giả sử có 2n+1 tập con không rỗng của tập {1,2, ,n+1}

Nếu ít nhất trong 2n-1+1 tập hợp trong chúng không chứa n+1, theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

Nếu ít nhất 2n-1+2 tập hợp chứa n+1 thì bỏ n+1 ra khỏi các tập hợp này và ta áp dụng giả thiết quy nạp

Nếu có đúng 2n-1 tập con không chứa n+1 thì có đúng 2n-1 tập con chứa n+1 (có nhiều hơn 1 phần tử) và tập {n+1}

Loại bỏ n+1 trong những tập con này ta được 2n tập con khác rỗng của tập {1,2, ,n},

và do đó trong chúng phải có hai tập trùng nhau, gọi đó là A

Do vậy AU{n+1}=B 1, 2 , ,n 1 (đpcm)

Bài 11 Một khu rừng có dạng hình vuông với chiều dài là 1km Trong khu rừng có 4000 cây thông, cây to

nhất có đường kính 0,5 m Chứng minh rằng trong khu rừng đó có ít nhât 560 mảnh đất , diện tích mỗi mảnh 200m2 không có cây thông nào

Bài 12 Có 1650 học sinh được sắp xếp thành 22 hàng và 75 cột Biết rằng với hai cột bất kì, số cặp học sinh

cùng hàng và cùng giới tính không vượt quá 11 Chứng minh rằng số học sinh nam không vượt quá 920

người

Hướng dẫn giải

Gọi a i là số học sinh nam trong hàng thứ i, suy ra số học sinh nữ trong hàng i là 7 5 a i

Số cặp học sinh cùng giới tính trong hàng thứ i là: 2 2

Bài toán được chứng minh hoàn toàn

Bài 13 Cho n là số nguyên dương Cho 2n điểm trên phân biệt trên một đường tròn được gán giá trị bởi các

số 1,2, ,2n (2 điểm khác nhau được gán giá trị khác nhau) theo một cách nào đó Mỗi dây cung được nối 2 điểm trong các điểm trên và được gán giá trị bằng độ chênh lệch dương giữa 2 đầu mút Chứng minh rằng ta

có thể chọn được n dây cung đôi một không cắt nhau sao cho tổng giá trị của các dây cung bằng n2

Hướng dẫn giải

Bổ đề:Trên một được tròn có 2n điểm phân biệt Người ta tô màu 2n điểm này bằng 1 trong 2 màu màu xanh

đỏ sao cho có đúng n điểm được tô màu xanh và đúng n điểm được tô màu đỏ 2 điểm khác màu nhau bất kì được nối bởi 1 dây cung Khi đó với mỗi cách tô màu luôn tồn tại n dây cung mà không có 2 dây cung nào cắt nhau

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bổ đề trên bằng quy nạp

Như vậy tồn tại cách chọn m+1 dây cung mà không có 2 dây cung nào cắt nhau, Bổ đề được chứng minh

Trở lại bài toán:

Ta tô các điểm có giá trị là 1,2,…,n bằng màu đỏ, các điểm n+1,…,2n bằng màu xanh Khi đó theo bổ đề tồn tại cách chọn n dây cung mà mỗi dây cung có 2 đầu mút được tô bởi 2 màu khác nhau và chúng đôi một không cắt nhau Tổng giá trị của các dây cung sẽ bằng:

Khi đó ta có a k a k 1 a k 1 a k, với mọi k 2 ; 3; , n 1 (1)

Nếu a1 S i., ta có i n 1 do S n 1 n Suy ra tồn tại ít nhất n S i n i phần tử thuộc

Suy ra a k 1 a k a k a k 1 Điều này, mâu thuẫn với (1)

Vậy S không chứa các phần tử a1,a2, ,a nvới a1 a2 a n và 1 1

Vậy S, T là các tập con cần tìm của X

Bài 17 Cho một bảng ô vuông có 100 100 ô vuông , mỗi ô đều điền một dấu + Ta thực hiện phép biến

đổi như sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng ( dấu + thành dấu - , dấu - thành dấu +) Hỏi

sau một số lần thực hiện phép biến đổi như trên thì bảng có thể có đúng 98 dấu - được không?

Hướng dẫn giải

Giả sử sau một số lần biến đổi bảng có đúng 98 dấu -

Gọi xi là số lần đổi dấu ở hàng thứ i ( i = 1, 2 ,100 , tính từ trên xuống)

Gọi yj là số lần đổi dấu ở cột thứ j ( j = 1, 2 ,100 , tính từ trái sang phải)

Gọi m là các số lẻ trong các số x1; x2 ; ; x100 và n là các số lẻ trong các số y1; y2 ; ; y100 Ta có m , n

0 , 1, 2 1 0 0 Ta có số lượng các dấu - trên bảng là m(100-n) + n( 100-m) = 100m +100n - 2mm

mà 57 là số nguyên tố nên m-50  57 hoặc n-50  57

Ta có m-50 , n-50 5 0 ; 4 9 ; ; 4 9 ; 5 0 nên m-50 = 0 hoặc n-50 = 0 mâu thuẫn với (*)

Vậy bảng không thể có đúng 98 dấu -

Bài 18 Với mỗi số nguyên dương m, kí hiệu C(m) là số nguyên dương k lớn nhất sao cho luôn tồn tại một

tâp S gồm m số nguyên dương để mỗi số nguyên chạy từ 1 đến k hoặc thuộc S hoặc là tổng hai phần tử thuộc

S (hai phần tử này không nhất thiết phân biệt) Chứng minh:

Chú ý : Để đánh giá số phần tử của tập S+S ta chia hai trường hợp x trùng y và x khác y

Rõ ràng {1;2;3; ;k} là một tập con của A nên ta được đpcm

chứa dãy số liên tiếp từ 1 đến (n+1)n+3n+2 và rõ ràng (n+1)n+3n+2 > (2n+1)(2n+7)/4

Từ hai TH trên ta được đpcm

Bài 19 Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , trong đó mỗi tập

hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị Gọi Sn là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n Tính S999

chỗ cho nhau Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể thấy tất cả các học sinh đều đứng trở lại đúng vị

trí ban đầu của mình hay không ?

Gọi là một hoán vị của Cặp của gọi là 1 nghịch thế của

Xét ánh xạ mà thu được từ bằng cách đổi chỗ hai vị trí kề nhau và giữ

nguyên các vị trí còn lại

Là hợp thành của ánh xạ Dễ thấy thu được từ bằng cách đổi vị trí của và

giữ nguyên các vị trí còn lại

Gọi là số nghịch thế của hoán vị

Nếu k lẻ thì do đó Vậy sau 2015 lần thổi còi, tất cả các học sinh không thể

đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình

Bài 21 Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương không vượt quá 1000 Chứng minh rằng trong đó có 2 số có tổng chia hết cho 111

Hai số đó hoặc cùng chia hết cho 111 hoặc có tổng bằng 999 nên tổng của chúng chia hết cho 111

trong hai ô kề nhau bất kì (có chung cạnh) là số bé hơn hoặc bằng n Chứng minh rằng có ít nhất 1007 ô

vuông chứa cùng một số

Hướng dẫn giải

Ta xét bài toán tổng quát: Trong mỗi ô của một bàn cờ n2 n2 ta viết một số nguyên dương Hiệu giữa hai

số nằm trong hai ô kề nhau bất kì (có chung cạnh) là số bé hơn hoặc bằng n Chứng minh rằng có ít nhất

2

n

+ 1 ô vuông chøa cùng một số

Giải:

Trên bàn cờ ta gọi a là số bé nhất và b là số lớn nhất Chúng nằm cách nhau nhiều nhất là n2 – 1 ô vuông theo chiều ngang và n2 – 1 ô vuông theo chiều thẳng đứng Do đó tồn tại một đường đi từ ô này đến ô kia gồm không quá 2n2 – 2 ô vuông

Hiệu giữa hai số nằm trong hai ô kề nhau bất kì (có chung cạnh) là số bé hơn hoặc bằng n, nên ta có: b – a 2(n2 - 1)n

Mặt khác tất cả các số nguyên dương nằm trên bàn cờ đều nằm giữa a và b nên nhiều lắm là có 2(n2 - 1)n số khác nhau

Cho ta thu được bài toán đã cho

giá trị khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên có mặt ở ít nhất 3 cột và ít nhất 3 hàng

Hướng dẫn giải

Giả sử các giá trị được ghi vào bảng là 1, 2 , , n Gọi a i là số cột khác nhau mà i i 1,n có mặt và

i

b là số hàng khác nhau mà i có mặt Gọi T ilà số ô được đánh số i , ta có T i T i a b i i 4 4 1 T i a b i i.

Mỗi cột và mỗi hàng có không quá 6 giá trị khác nhau, nên a i 6 2 1, b i 6 2 1

Giả sử với mọi i, ta có a i 2 ,b i 2

Tương tự B 1 1,nên n A B 2 2 Mâu thuẫn nhận được suy ra điều phải chứng minh

Bài 24 Cho số n tự nhiên lớn hơn 2 Ta đánh số mỗi cạnh, đường chéo của n- giác A A1 2 A nbởi một số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng r (nguyên dương) sao cho:

i) Mọi số nguyên dương từ 1 đến r đều được đánh số

ii) Với mỗi tam giác A A A i j k đều có 2 cạnh được đánh số bởi cùng 1 số và cạnh còn lại đánh bởi số nhỏ hơn

a) Xác định số nguyên dương r lớn nhất mà điều đó có thể thực hiện được

b) Khi r lớn nhất, có bao nhiêu cách đánh số thỏa mãn

+ Mọi cạnh nối 2 điểm trong A đều đánh số nhỏ hơn r, vì nếu X Y, A thì |X V | |Y V | r nên |XY| < r + Mọi cạnh nối 2 điểm trong B đều đánh số nhỏ hơn r, vì nếu X Y, B mà |X Y | r thì hoặc | X V | r

hoặc |Y V | r Mâu thuẫn

Chứng minh bằng quy nạp rằng giá trị lớn nhất của r là n-1

Giả sử với mọi đa giác i n cạnh, số số được dung nhiều nhất là k-1

Xét đa giác n+1 đỉnh, giả sử V,A,B là đỉnh và các tập được nói đến ở trên,

Ta có r |A | 1 |B | 1 1 k 1 (n 1 k 1) 1 n Điều phải chứng minh

Nhận xét: Nếu đa giác có n cạnh và tập A có k phần tử thì tập A có nhiều nhất k-1 số được dung và tập B

có nhiều nhất n-k-1 số được dung

Vậy để đánh số từ 1 đến n-1 cho các đoạn tạo được từ đa giác, ta phải chọn k-1 số trong các số {1, 2 , ,n 2} để đánh số cho các đoạn tạo được từ các điểm trong tập A và n k 1 số còn lại trong tập đó

để đánh số cho các đoạn tạo được từ các điểm thuộc tập B

Mặt khác, số cách chọn 2 tập A,B sao cho |A | k, |B | n k là k

k

n

k n

thiện” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm (không nhất thiết phân biệt) sao cho

tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng m.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập bảng “2015-hoàn thiện” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng? (Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng có số thứ tự tính từ trên xuống và cột có số thứ tự tính từ trái sang bằng nhau; ô ở tâm bảng 3x3 là ô ở dòng thứ 2 và cột thứ 2)

Hướng dẫn giải

Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “m hoàn thiện” kích thước 3x3

Gọi x y z t, , , lần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1 cột 2 , khi đó các số còn lại ở

các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới

Ta thấy rằng bộ bốn số không âm y; 2y t z x; y t z x; t sắp theo thứ tự tăng dần xác định duy nhất bộ

các số x y z t, , , thỏa mãn * và tương ứng với một cách lập bảng “m hoàn thiện” Do vậy, số cách lập được