Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán biễn ngẫu nhiên

Định nghĩa Phân loạiLuật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Biến ngẫu

Trang 1

Định nghĩa Phân loại

Luật phân phối xác suất

Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất

Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Mode

Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị

Chương 2

Biến ngẫu nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Lê Phương

Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng Tp Hồ Chí MinhHomepage:http://docgate.com/phuongle

Trang 2

Mode

Nội dung

1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Phân loại

2 Luật phân phối xác suất

Phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất

3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Mode

Kì vọng

Phương sai, độ lệch chuẩn

Phân vị, trung vị

Trang 3

Mode

Biến ngẫu nhiên

Ví dụ

1 Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung một đồng xu

cân đối 5 lần thì X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5

2 Gọi Y là chiều cao của cây cà phê trưởng thành (đơn vị:

Trang 4

Mode

Phân loại biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên làrời rạcnếu tập giá trị của nó là đếm được

Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên làliên tụcnếu tập giá trị của nó là một khoảng

(hay một số khoảng hay toàn bộ trục số R)

Trang 5

Mode

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất(còn gọi làphân bốhayhàm tập trung xác

suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

X (Ω) = {x1,x2, ,xn, }và pi =P(X = xi)với xi ∈ X (Ω)

Phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong

X (Ω)tương ứng và được biểu diễn bằngbảng phân phối xác

Trang 6

Mode

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên Gọi

X số lần bắn trúng bia Tìm phân phối xác suất của X biết xác

suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 0,4 và 0,7 Lập

bảng phân phối xác suất của X

Ví dụ

Rút ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một hộp có 7 chính phẩm và 3

phế phẩm Gọi X là số phế phẩm lấy được

1 Tìm phân phối xác suất của X

2 Tính xác suất lấy được không quá một phế phẩm

Trang 7

Mode

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X làhàm mật

độ xác suấtf : R → R của X thỏa mãn các điều kiện sau:

a

f (x )dxvới a ≤ b

Lưu ý: Với biến ngẫu nhiên liên tục X ta có P(X = a) = 0 và

P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b)

Trang 8

Mode

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Trang 9

Mode

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Hàm phân phối xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X , kí hiệu FX(x )

hoặc F (x ) được xác định như sau:

F (x ) = P(X ≤ x ), ∀x ∈ R

Ý nghĩa

Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X

nằm về bên trái của số thực x trên trục số

−∞

f (s)ds

Trang 10

Mode

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Ví dụ

Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên Gọi

X số lần bắn trúng bia Tìm hàm phân phối xác suất của X biết

xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 0,4 và 0,7

Ví dụ

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

f (x ) =

2x , 0 ≤ x ≤ 1;

0, x < 0hoặc x > 1

Tìm hàm phân phối xác suất của X

Trang 11

Mode

Tính chất của hàm phân phối xác suất

Liên hệ với phân phối xác suất

• Với biến ngẫu nhiên rời rạc: pi =F (xi) −F (xi−1)

• Với biến ngẫu nhiên liên tục:

Trang 12

Mode

Mode của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Mode(giá trị tin chắc nhất) của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu

Mode(X ), Mod(X ) hay ModX , là (các) số thực được xác định

như sau

• Với biến ngẫu nhiên rời rạc: giá trị của biến ngẫu nhiên X

tại đó có xác suất lớn nhất

Mod (X ) = xk sao cho P(X = x ) đạt max tại x = xk

• Với biến ngẫu nhiên liên tục: giá trị của biến ngẫu nhiên X

tại đó hàm mật độ xác suất đạt cực đại

Mod (X ) = x0sao cho f (x ) đạt max tại x = x0

Trang 13

Mode

Mode của biến ngẫu nhiên

Ví dụ

1 Xác định mode của biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối

xác suất như sau:

Trang 14

Mode

Kì vọng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Kì vọng(giá trị trung bình) của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu E (X )

hay EX , là một số thực được xác định như sau:

• Với biến ngẫu nhiên rời rạc:

EX =

nX

Trang 15

Mode

0, x < 0hoặc x > 1

Trang 16

Mode

R

−∞

h(x )f (x )dx , với X liên tục,

5 Nếu X , Y độc lập thì: E (XY ) = E (X )E (Y )

Trang 17

Mode

Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Phương saicủa biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Var (X ), V (X ) hay

VX, là một số thực được xác định như sau:

Trang 18

Mode

Tính chất của phương sai

Trang 19

Mode

Ví dụ

1 Tính độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X có phân phối

xác suất như sau:

0, x < 0hoặc x > 1

Trang 20

Mode

Trung vị

Phân vị và giá trị tới hạn

Cho biến ngẫu nhiên X và α ∈ (0, 1)

1 Số thực gαđược gọi làgiá trị tới hạnmức α của X nếu

P(X > gα) ≤ αvà P(X < gα) ≤1 − α

2 Số thực qαđược gọi làphân vịmức α của X nếu qαlà giá

trị tới hạn mức 1 − α của X , nghĩa là qα=g1−α

Lưu ý

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì gαlàgiá trị tới hạnmức α

của X khi và chỉ khi P(X > gα) = α

Ý nghĩa

Trang 21

Mode

Trung vị

Trung vịcủa biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Median(X ), Med (X )

hay MedX , là phân vị mức 0,5 (cũng là giá trị tới hạn mức 0,5)

của X

• Với biến ngẫu nhiên rời rạc: Med (X ) = xk với k thỏa

k −1X

i=1

pi ≤ 0, 5 và

nX

Trung vị là điểm trên trục số chia đôi phân phối xác suất của

biến ngẫu nhiên

Trang 22

Mode

Phân vị, trung vị

Ví dụ

Tìm trung vị của hai biến ngẫu nhiên X và Y có bảng phân

phối xác suất như sau

Tiêu đề	Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán biến ngẫu nhiên
Trường học	Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán - xác suất và thống kê
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	252,33 KB