bài giảng biến cố ngẫu nhiên và xác suất của

Phép thử và biến cố Phép toán và các loại biến cốSơ lược về giải tích tổ hợp Xác suất của biến cố Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa xác suất theo thống kê Nguyên lí xác suất nhỏ,

Trang 1

Phép thử và biến cố Phép toán và các loại biến cố

Sơ lược về giải tích tổ hợp

Xác suất của biến cố

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Định nghĩa xác suất theo thống kê Nguyên lí xác suất nhỏ, xác suất lớn

Các công thức tính xác suất

Công thức cộng xác suất Công thức xác suất có điều kiện

Công thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Trang 2

Nội dung

1 Khái niệm chung

Phép thử và biến cố

Phép toán và các loại biến cố

2 Xác suất của biến cố

Định nghĩa xác suất theo thống kê

Nguyên lí xác suất nhỏ, xác suất lớn

3 Các công thức tính xác suất

Công thức cộng xác suất

Công thức xác suất có điều kiện

Công thức nhân xác suất

Công thức Bernoulli

Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Trang 3

Phép thử và biến cố

• Hiện tượng ngẫu nhiênlà hiện tượng trong các điều kiện

như nhau nhưng có thể có kết cục khác nhau và không thể

biết trước được kết cục nào chắc chắn sẽ xuất hiện

• Phép thửlà việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định để

quan sát các kết cục của một hiện tượng ngẫu nhiên.

• Không gian mẫucủa phép thử là tập hợp tất cả các kết

cục có thể của phép thử Không gian mẫu thường được kí

hiệu là Ω

• Biến cố ngẫu nhiên (sự kiện ngẫu nhiên)của phép thử là

tập con của không gian mẫu của phép thử này Biến cố

thường được kí hiệu bằng các chữ cái: A, B, C,

Ví dụ

Số chấm xuất hiện khi tung một con xúc sắc đồng nhất là một

hiện tượng ngẫu nhiên Không gian mẫu của phép thử là

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Một số biến cố ngẫu nhiên là A: "số chấm

là 2, 5 hoặc 6", B: "số chấm là 3 hoặc 5", Ci: "mặt i chấm xuất

Trang 4

Phép toán trên biến cố

Cho các biến cố A và B

• Sự kéo theo: nếu A xuất hiện thì B xuất hiện, kí hiệu

A ⊂ B Ta nói A là biến cố thuận lợi cho B

Ví dụ: Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ

ra 3 bi để kiểm tra Gọi A là biến cố có ít nhất 3 bi xanh, B

là biến cố có ít nhất 2 bi xanh

Khi đó, A ⊂ B

• Sự tương đương: nếu A xuất hiện thì B xuất hiện và ngược

lại, kí hiệu A = B

Ví dụ: Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ

ra 3 bi để kiểm tra Gọi A là biến cố có 3 bi xanh, B là biến

cố không có bi đỏ

Khi đó, A = B

Trang 5

- A là biến cố xuất hiện mặt 6 chấm

- B là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm

- C là biến cố xuất hiện mặt chẵn

- D là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm hoặc 4 chấm

- A là biến cố xuất hiện mặt chẵn

- B là biến cố số chấm xuất hiện lớn hơn 2

Trang 6

Cho các biến cố A và B

• Sự xung khắc: A xung khắc với B nếu AB = ∅

Ví dụ: Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố "có 1 phế phẩm"

và biến cố "có 2 phế phẩm" là hai biến cố xung khắc

• Biến cố đối: A không xuất hiện, kí hiệu A

Ví dụ: Có 3 thợ săn cùng bắn một con thú Gọi Ai là biến

cố người thứ i bắn trúng, i = 1, 2, 3

Hãy nêu ý nghĩa của biến cố A1A2A3

• Biến cố hiệu: A xuất hiện và B không xuất hiện, kí hiệu

A \ B Nhận xét: A \ B = AB

Ví dụ: Tung một con xúc xắc và xem mặt nào xuất hiện.

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn B là biến cố xuất hiện

mặt lớn hơn 2 chấm Xác định A \ B

Trang 7

Trang 8

• Mọi biến cố ngẫu nhiên đều biểu diễn được thành tổng

của các biến cố sơ cấp nào đó

• Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có cùng khả

năng xuất hiện trong mọi phép thử

Ví dụ

Tung một con xúc xắc 6 chấm Xác định các biến cố

1 Alà biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ

2 Blà biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7

3 Clà biến cố xuất hiện mặt 7 chấm

Trang 9

Sơ lược về giải tích tổ hợp

1 Qui tắc cộng và qui tắc nhân:

• Một công việc có thể thực hiện bằng k khả năng, trong đó

khả năng thứ i có nicách thực hiện thì có tất cả

n1+n2+ · · · +nk cách thực hiện công việc

• Một công việc có thể thực hiện qua k bước, trong đó bước

Trang 10

Trên bàn có 10 phần thưởng khác nhau Có bao nhiêu cách

phát các phần thưởng trên cho 3 sinh viên, mỗi sinh viên được

nhận một phần thưởng?

Trang 11

Một lớp học có 30 sinh viên Nhà trường cần chọn ra một số

sinh viên của lớp tham gia vào chiến dịch mùa hè xanh (cho

biết nhà trường phải chọn ít nhất 1 sinh viên) Hỏi nhà trường

có bao nhiêu cách chọn?

Trang 12

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Định nghĩa

Nếu trong một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có

thể xuất hiện, trong đó có m biến cố thuận lợi cho biến cố A thì

xác suấtcủa A, kí hiệu P(A), là tỉ sốm

n Do đóP(A) = |A|

|Ω|,trong đó |A| và |Ω| lần lượt là số phần tử của A và Ω

Trang 13

Ưu điểm

• không cần tiến hành phép thử

Hạn chế

• phải có hữu hạn các biến cố sơ cấp

• các biến cố sơ cấp phải đồng khả năng

Ví dụ

1 Tung một con xúc sắc cân đối và xem mặt nào xuất hiện

Tính xác suất xuất hiện số chấm lớn hơn 3

2 Tung cùng lúc 2 con xúc sắc cân đối và xem mặt nào xuất

hiện Tính xác suất tổng số chấm xuất hiện bằng 3

3 Một hộp có 6 bi đỏ và 7 bi vàng Lấy ra 3 bi Tính xác suất

lấy được 2 bi đỏ?

Trang 14

Định nghĩa xác suất theo thống kê

Tần suất của một biến cố

Nếu lặp lại phép thử n lần trong đó có m lần xuất hiện biến cố

Athìtần suấtxuất hiện A trong dãy n phép thử là fn(A) =m

n.

Định nghĩa xác suất theo thống kê

Xác suấtP(A)của biến cố A được định nghĩa là

P(A) = lim

n→∞fn(A)

Ưu điểm

• không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố

• không đòi hỏi các biến cố đồng khả năng

Hạn chế

• lặp lại phép thử rất nhiều lần

Trang 15

Nguyên lí xác suất nhỏ, xác suất lớn

Nguyên lí xác suất nhỏ

Trong thực tế có thể coi một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α

(gần 0) không xuất hiện trong một phép thử

Nguyên lí xác suất lớn

Trong thực tế có thể coi một biến cố có xác suất rất lớn bằng β

(gần 1) nhất định xuất hiện trong một phép thử

Tùy từng lĩnh vực, α có thể là 5%; 1%; , β có thể là 95%,

99%,

Trang 16

Trang 17

Trang 18

P(A1+A2+A3) =P(A1) +P(A2) +P(A3) −P(A1A2)

−P(A1A3) −P(A2A3) +P(A1A2A3)

• Tổng quát cho n biến cố:

Trang 19

Công thức cộng xác suất

Ví dụ

Hai công ty A và B kinh doanh cùng một mặt hàng Cho biết

xác suất công ty A thua lỗ là 20 %, xác suất công ty B thua lỗ

là 15% và xác suất ít nhất một trong 2 công ty thua lỗ là 30%

Hãy tính xác suất cả hai công ty cùng kinh doanh thua lỗ

Ví dụ

Một sinh viên đăng kí học 2 môn toán cao cấp 1 và toán cao

cấp 2 Cho biết xác suất thi đậu mỗi môn của sinh viên này lần

lượt là 90% và 60% và xác suất thi đậu đúng một môn là 70%

Tính xác suất sinh viên đó thi đậu cả 2 môn

Trang 20

Công thức xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0.Xác suất có điều kiện

của A với điều kiện B, kí hiệu P(A|B), là xác suất của A được

tính trong điều kiện B đã xuất hiện

P(A|B) = P(AB)

P(B) .

Xác suất có điều kiện cũng có các tính chất như một xác suất

Ví dụ

Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen Từ lọ này lấy lần lượt

ra 2 viên bi, mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại) Tìm xác

suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất

đã lấy được viên bi trắng

Trang 21

Xác suất có điều kiện

Ví dụ

Một nhóm 100 người (30 nữ, 70 nam) có: 20 người là sinh viên,

trong đó có 5 nữ là sinh viên Chọn ngẫu nhiên một người

trong nhóm 100 người này Tính xác suất:

1 Người được chọn là sinh viên biết rằng người này là nữ

2 Người được chọn là nữ biết rằng người này là sinh viên

Ví dụ

Một người lấy ra 3 bi từ một hộp có 4 viên bi trắng và 6 viên bi

đen Biết rằng trong số 3 bi lấy ra có ít nhất 2 bi trắng, tính xác

suất người đó lấy được đúng 2 bi trắng

Trang 22

Sự độc lập

Sự độc lập về xác suất

• Hai biến cố A và B làđộc lậpnếu

P(AB) = P(A)P(B)

Nói cách khác P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B)

• A1,A2, ,Anđược gọi làđộc lập từng đôinếu

P(AiAj) =P(Ai)P(Aj)với mọi i 6= j

• A1,A2, ,Anđược gọi làđộc lập (trong toàn bộ)nếu

P(Ai1Ai2 .Aik) =P(Ai1)P(Ai2) P(Aik)với mọi tập con {i1,i2, ,ik} ⊂ {1, 2, , n}

Lưu ý: Nếu A1,A2, ,Anđộc lập thì B1,B2, ,Bncũng độc

lập, trong đó Bi =Ai hoặc Bi =Ai với mỗi i

Tiêu đề	Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của biến cố
Tác giả	Lê Phương
Trường học	Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán kinh tế
Thể loại	bài giảng
Thành phố	Tp Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	308,51 KB