Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢN

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢNSáng kiến kinh nghiệm, SKKN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢN

Độc lập- Tự do- Hạnh phúc

THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP

VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

thông tin cần bảo mật : Không

4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm:

Trong chương trình hình học lớp 11 có một phần rất quan trọng của Toánphổ thông đó là bài toán tìm giới hạn của dãy số , giới hạn của hàm số Đây cũng làphần kiến thức đầu tiên khi học sinh bắt đầu học vào giải tích , Đây là dạng toánmới đối với học sinh phổ thông khi mới tiếp cận vào giải tích.Khi giải các bài toántìm giới hạn của dãy số và của hàm số theo hình thức trắc nghệm đa số học sinh sửdụng máy tính cầm tay hỗ trợ tìm ra đáp án nên học sinh sẽ lạm dụng máy tính cầmtay tìm ra đáp án mà không rèn phương pháp toán.Chẳng hạn đối với bài toán tìm

giới hạn của dãy số lim3 8n3  6n2  4n2  10n 1

học sinh không cần nắm được

phương pháp giải cũng như bản chất của bài toán học sinh sẽ dùng máy tính bấm

ra đáp án.Như vậy với một lớp các bài toán trước đây chỉ hỏi học sinh với câu hỏitìm giới hạn của hàm số thì sẽ làm cho nhiều học sinh lạm dụng máy tính cầm tay.Tuy nhiên trong các đề thi với hình thức trắc nghiệm với các câu hỏi mức độ vậndụng và vận dụng cao thì máy tính sẽ không hỗ trợ được cho học sinh nhiều Chẳng hạn với bài toán trên ở mức độ vận dụng bài toán sẽ được thay đổi như sau

5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:

Thực trạng đứng trước một bài toán tìm giới hạn của dãy số, tìm giớihạn của hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao học sinh không hiểu rõ bảnchất của bài toán cũng như phương pháp giải của bài toán thì thường lúngtúng trước việc định hướng cách làm cũng nhơ kỹ năng thêm bớt tách các sốhạng đề đưa bài toán giới hạn khó về các bài toán giới hạn cơ bản Với tìnhhình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình bài toán giớihạn khó về các bài toán giới hạn cơ bản người giáo viên cần tạo cho học sinhthói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưngcủa bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng

tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm quaquá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giảitoán Qua đó giúp cho học sinh làm nhanh và chính xác các câu hỏi về giớihạn của dãy số và giới hạn của hàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Kết quả, hiệu quả của vấn đề trên với thực trạng đã chỉ ra, thôngthường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán không có tham

số và có có cấu trúc đơn giản Còn khi đưa ra bài toán khác phức tạp hơn và

có chứa tham số học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết địnhhướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chếrất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hìnhthành cho học sinh thói quen xem xét bài toán để vận dụng kỹ năng thêm bớt

và biến đổi đưa bài toán phức tạp về các bài toán đơn giản hơn Đặc biệt là

đưa tham số vào các bài toán đó Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ

ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả giúp học sinh hiểu rõphương pháp giải toán đối với các bài toán vận dụng và vận dụng cao qua đógiúp học sinh làm các bài toán vận dụng, vận dụng cao về giới hạn bằnghình thức trắc nghiệm nhanh và hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khaithác các kỹ năng khử các dạng vô định trong bài toán giới hạn, để địnhhướng tìm lời giải bài toán nhanh chóng và đảm bảo lựa chọn kết quả nhanhchính xác trong bài toán trắc nghiệm.Tránh cho học sinh lạm dụng máy tínhcầm tay làm bài mà không hiểu bản chất vấn đề tôi đưa ra các dạng bài toángiới hạn có tham số và phân chia từng dạng rõ ràng giúp học sinh làm bàitrắc nghiệm nhanh nhưng vẫn hiểu rõ bản chất của bài toán cũng nhưphương pháp giải của từng dạng bài cụ thể

6 Mục đích của giải pháp sáng kiến: Mục đích của chuyên đề khắc phục học sinh làm bài tập dạng giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số

mà không hiểu bản chất của bài cũng như phương pháp giải của bài khi học sinh lạm dụng máy tính cầm tay Bên cạnh đó giúp học sinh làm bài tập trắc nghiệm với các câu hỏi vận dụng , vận dụng cao dạng toán giới hạn trong các đề thi tốt nghiệp THPT hay đề thi HSG nhanh nhưng vẫn hiểu rõ và nắm chắc kiến thức

Với bài toán giới hạn của dãy số

Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả  2 2 

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

L

b b

L 

3 2

L 

C. 2

2 3

và vận dụng được kiến thức vào bài như sau

S 

B S 1 C S 2 D S 0

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

L 

1 2

L 

Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả

và vận dụng được kiến thức vào bài như sau

Thay đổi bài toán :

Khi đó S a  2b có giá trị bằngbao nhiêu?

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

4 1

mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên

để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sửdụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chấttoán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau

Thay đổi bài toán: Cho giới hạn  2 2 2 

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

b

 

Suy ra:

9 3

mà có khi không hiểu bản chất vấn

đề nên để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

1 4

a 

1 2

a 

1 4

a 

1 2

a 

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

Lời giải

3 lim 4

1

n n n

Với bài toán về giới hạn của hàm số

Ví dụ 1: Đưa ra bài toán tìm giới hạn

2

2 1

2 6 (2 1) 2 lim

1 2

Thay đổi bài toán: Biết

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

+) Thay vào biểu thức I, ta được

2 2

( 1 1

) 2 2 lim

( 1) 2 2 l

sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy

tính cầm tay thì đưa thêm

hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào

bài như sau

4 5 1 25 lim

Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

Lời giải

Cách 1

Vì 1 2

4 5 1 25 lim

Ta có

2 1

4 5 1 25 lim

16 1

x

x

a x

x x

4 5 1 25 lim

 

2 1

Ví dụ 3 : Đưa ra bài toán cho hàm số f x  x22x3

Yêu cầu tìm giới hạn

và vận dụng được kiến thức vào bài như sau









Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán

Trình bày lời giải bài toán

Các bước tiến hành thực hiện giải pháp

-Đưa ra bài toán tìm giới hạn cụ thể -Tìm kết quả của bài toán

-Dựa trên các bài toán tìm giới hạn của hàm số cụ thể yêu cầu học sinh thay đổi đầu

bài và chuyển sng bài toán có tham số và thực hiện việc giải bài toán đó

- Kết quả khi thực hiện

giải pháp: Học sinh hiểu rõ từng dạng bài và phương pháp giải cụ thể củatừng dạng bài và có cái nhìn cũng như cách làm bài trắc nghiệm với các câuvận dụng- vận dụng cao nhanh chính xác

Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp

Dựa trên các bài toán tìm giới hạn cụ thể của các bài tìm giới hạn dãy số và tìm giới hạn hàm số học sinh có thể tạo ra các bài toàn có tham số và học sinh

có kỹ năng tốt làm nhanh các dạng toán đó bằng phương pháp trắc nghiệm

dựa trên bài toán tự luận

- Bằng cách làm như vậy

dựa trên một bài toán giới hạn cụ thể các thầy cô hướng dẫn học sinh tự rađược một lớp các bài tập tương tự hạn chế được việc lạm dụng máy tính cầmtay khi làm bài tập về giới hạn hàm số và giới hạn dãy số ở mức độ vậndụng

- Các bảng số liệu, biểu đồ so sánh kết quả trước và sau khi thực hiện

giải pháp Tất cả những học sinh các lớp sau khi được học xong chuyên đềđều hiểu rõ bản chất của dạng toán cách khử và với học sinh khá giỏi thì sẽxây dựng được một hệ thống bài tập trắc nghiệm hay đáp ứng tốt cách đánhgiá học sinh bằng cả hình thức tự luận và hình thức trắc nghiệm ( Số liệuminh họa phiếu khảo sát học sinh sau khi được học chuyên đề có trong phụlục)

BÀI TẬP KIỂM TRA SAU KHI HỌC XONG CHUYÊN ĐỀ

1 lim

Câu 11: Cho f x  và g x  là một đa thức thỏa mãn

 bằng

a 

1 2

A L  B L 0 C

34 3

L 

34 3

2 3

2 1

KẾT QUẢ HỌC SINH LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SAU KHI HỌC

XONG CHUYÊN ĐỀ

34 Nguyễn Thế Minh Quân 11A1 10

35 Phùng Ngọc Quý 11A1 9.6

36 Triệu Ngọc Tâm 11A1 9.2

37 Hà Văn Tân 11A1 8.8

38 Vũ Xuân Thành 11A1 9.2

39 Đinh Thị Thu Thảo 11A1 9.6

40 Trần Văn Thảo 11A1 10

41 Vũ Tiến Thắng 11A1 9.2

42 Hoàng Hồng Thúy 11A1 8.8

43 Lâm Thảo Trang 11A1 9.2

44 Nguyễn Đức Trung 11A1 10

45 Dương Văn Tuấn 11A1 10

46 Vũ Đức Việt 11A1 9.2

* Giải pháp 2 : - Tên giải pháp: Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống bài tập luyện tập - Nội dung: Đưa ra bài toán tìm giới hạn cụ thể Yêu cầu học sinh tìm kết quả bài toán giới hạn và xây dựng từ bài toán giới hạn đó thành các bài toán tìm giới hạn của hàm số có hệ số chứa tham số PHIẾU 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Họ và tên: Lớp: Bài 1. Tìm giới hạn  2 2  1 lim 2 8 L  n  n n  n Dựa trên kết quả bài toán giới hạn xây dựng bài toán giới hạn có chứa tham số và giải bài tập đó ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Tìm giới hạn 3 3 2  3 lim 3 L  n  n  n Dựa trên kết quả bài toán giới hạn xây dựng bài toán giới hạn có chứa tham số và giải bài tập đó ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 3. Tìm L lim 4n2  3n n2  2n 3n 2 Dựa trên kết quả bài toán giới hạn xây dựng bài toán giới hạn có chứa tham số ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 4. Tìm L lim3 n3  3n2  3 n3  6n2    1 3 8n3  6n2 Dựa trên kết quả bài toán giới hạn xây dựng bài toán giới hạn có chứa tham số ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 5. Tìm L lim  n2  6n 9n2    1 3 64n3  8n2 Dựa trên kết quả bài toán giới hạn xây dựng bài toán giới hạn có chứa tham số ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

PHIẾU 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Họ và tên: Lớp: Bài 1 Gọi a b, là các số nguyên thỏa mãn 1 2 3 5 lim 1 4 x x a x b L x         Tính giá trị của S a b  A. S 2 B S 4 C S 6 D. S 5 ………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn : 2 2 3 x 0 ax+b 1 lim 2 x a a a x x       Khi đó tổng S 2a4b là : A 1 B 4 C 2 D. 8 ………

………

………

………

………

………

………

Câu 3 2 2 1 4 2 6 (2 ) 1 3 lim 2 1 x x x a x b L x x             Tính S  7a3 b3? A  24 B  20 C.25 D 10 ………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 4 Biết 1 2 4 5 1 25 lim 2 1 16 x ax b x x x                Khi đó giá trị S 2a2 b bằng A S 50 B S 53 C S 52 D S 55 ………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 5 Cho

 

1

10

1

x

f x x







 Giới hạn

 

1

10 lim

x

f x L







bằng

5

3

………

………

………

………

………

………

………

Bài 6. Cho   1 4 lim 10 1 x f x x     Tính         2 1 3 16 lim 1 7 8 4 x f x I x f x       A 1 B 24 C 10 D 8 ………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 7. Cho   4 2020 lim 2019 4 x f x x     Tính         4 505 2020 lim 2 2019 2020 1 x f x I x f x           A 2018 B 2019 C 2020 D 2021 ………

………

………

………

………

………

………

Bài 8 Biết rằng   2 3 2 1 3 3 1 lim , 2 1 x x x ax b L a b x x            và L là một số thực Tính T a b  A T 1 B T 1 C T 3 D.T 3 ………

………

………

………

………

………

………

………

Các bước tiến hành thực hiện giải pháp : Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

1 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong

đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học phẳng tương ứng

2 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh Thông qua bài kiểm tra tại lớp

3 Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất bài toán cũng như đưa ra các hướng giải quyết của bài toán Thông qua phiếu bài tập khảo sát học sinh

4 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

- Kết quả khi thực hiện

giải pháp: Học sinh nắm chắc các dạng bài cũng như phương pháp giải của các dạng bài vận dụng- vận dụng cao tim giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của hàm số và có cách khai thác cách nhìn tìm nhanh đáp số bài toán trắc

nghiệm của các dạng bài tập đó

+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp : Qua nội dung chuyên đề học

sinh tự mình làm tốt các dạng bài tập tương tự và đối với hoạc sinh lớp chọncác em có thể tự ra các đề bài tương tự và mở rộng

+ Các bảng số liệu, biểu đồ so sánh kết quả trước và sau khi thực hiện giải pháp

( Phiểu khảo sát học sinh trung phần phụ lục)

7.2 Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến

Sáng kiến được áp dụng đối với học sinh khối 11 và khối 12 ( Áp dụngnhiều và hiệu quả đối với học sinh khá, giỏi )

Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết) Cácbuổi học giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáo viênhướng dẫn làm các ví dụ mẫu Qua đó, bằng cách phân tích bài toán, Để các buổihọc đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phần kiến thức cơ bản củamỗi đơn vị kiến thức về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và đạo hàm của hàm số Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải , phân loại các bài toán thành các nhómtương tự nhau

Buổi 1 : Thực hiện sau khi học xong kiến thức cơ bản về giới hạn của

dãy số , tạo tình huống dạy học học sinh phát triển được bài toán giới hạndãy số cơ bản thành các bài toán giới hạn có tham số

Buổi 2: Thực hiện sau khi học sinh học xong kiến thức cơ bản về giới

hạn của hàm số, tạo tình huống dạy học học sinh phát triển được bài toángiới hạn hàm số cơ bản thành các bài toán giới hạn có tham số

Buổi 3 : Thực hiện sau khi học sinh thành thạo trong việc giải quyết

các bài toán giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số chứa tham số vàphát triến được các bài toán giới hạn có tham số trên cơ sở các bài toán giớihạn cơ bản.Tổ chức cho học sinh làm bài kiểm tra và làm phiếu khảo sát.7.3 Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến : Giúp học sinh có sự

sáng tạo trong quá trình học tập phát triển tư duy và năng lực tự học , sángtạo của học sinh

* Cam kết: Chúng tôi cam đoan những điều khai trên đây là đúng sự thật và không

sao chép hoặc vi phạm bản quyền.

Xác nhận của cơ quan, đơn vị

(Chữ ký, dấu)

Tác giả sáng kiến

(Chữ ký và họ tên)