(TIỂU LUẬN) bài tập lớn ứng dụng thực tế công thức hình học môn giải tích 2 KHỐI vật THỂ được GIỚI hạn bởi mặt TRỤ và các mặt PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC Tp... Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí MinhII GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Chúng ta đề

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 05/2022

Trang 2

Mục lục

1 Mặt trụ trong không gian [1] 4

2 Mặt phẳng trong không gian [2] 5 3 Tích phân kép [3] 5

4 Tích phân bội ba [4] 5

5 Tích phân đường loại 1 [5] 6

6 Tích phân mặt [6] 6

V BÀI TẬP ÁP DỤNG 7 1 Bài tập 1: 7

2 Bài tập 2: 8

3 Bài tập 3: 9

4 Bài tập 4: 11

5 Bài tập 5: 14

6 Bài tập tính thể tích vật thể hình xoắn: 16

Đề bài tập lớn môn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 1/20

Trang 3

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết rằng Giải tích 2 là một môn học vô cùng quan trọng bởi vai trò

to lớn cũng như tính ứng dụng cao của nó trong thực tế Đây là môn học được sửdụng trong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực kỹ thuật, vì nó cho phép côngthức hóa các hiện tượng, sự vật, mô hình diễn ra xung quanh con người và tínhtoán, giải quyết chúng một cách chính xác Như vậy, có thể thấy, việc dành thời giancho Giải tích 2 này là vô cùng cần thiết, đó là cách giúp chúng xây dựng cho bảnthân một nền tảng kiến thức vững chắc về các môn khoa học ứng dụng và cũng làtiền đề để thích nghi, học tốt những môn còn lại

Bài báo cáo này là phần trình bày của nhóm 7 – lớp L19 với đề tài tìm hiểu và giảiquyết các câu hỏi về khối vật thể giới hạn bởi mặt trụ và các mặt phẳng

Trang 4

III BẢNG PHÂN CÔNG NHÓM

Viết phần mở đầu và cơ sở lý thuyết đề tài; viết

2113635 Lê Phạm Hữu phương trinh, vẽ hình dẫn chứng các bài tập 1, 2, 3, 5;

tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề;

thuyết trình bài tập 4, 5Tham gia viết cơ sở lý thuyết; viết phương trình,

2110197 Lê Khánh Huy vẽ hình, dẫn chứng, tính thể tích, diện tích bài tập 4;

trình bày Latex; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc

theo yêu cầu đề; thuyết trình bài tập 6Tham gia viết cơ sở lý thuyết; tính thể tích, diện

2113542 Trần Đỗ Trọng Huy tích các bài tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích

vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra và chỉnh sửa

đề tài; thuyết trình phần mở đầu và kết luận đề tàiTham gia viết cơ sở lý thuyết; tính thể tích, diện

2113555 Trần Quốc Huy tích các bài tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích

vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra và chỉnh sửa

đề tài; thuyết trình bài tập 1, 2, 3

Trang 5

1 Mặt trụ trong không gian [1]

Mặt trụ là mặt tạo bởi một đường thẳng l giữ nguyên phương và di chuyển sao cho

luôn luôn song song với chính nó, tựa trên một đường cong ω không đồng phẳng với l

Trang 6

2 Mặt phẳng trong không gian [2]

Mặt phẳng là một đối tượng của toán học, mặt phẳng không có bề dày và không

có giới hạn

Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dựng mô hình, dùng hình bình hành (đối với một

số mặt phẳng đơn giản) và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn

Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc

3 Tích phân kép [3]

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n mảnhrời nhau D1, D2, , Dn có diện tích lần lượt là △S1, △S2, , △Sn.Trong mỗimảnhDi, lấy tùy ý một điểm Mi(xi, yi) Lập tổng (gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y))

n

Sn = f(xi, yi)△Si i=1

Gọi d(Di) là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong Di Nếu tồn tại giới hạn:

Giới hạn trên hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm

Mi(xi, yi), thì hàm f(x,y) gọi là khả tích trên miền D, và S gọi là tích phân kép của hàmf(x,y) trên miền D, ký hiệu:

yi, zi) trong miền nhỏ thứ i Lấy tổng:

Trang 7

5 Tích phân đường loại 1 [5]

Cho hàm số f(M) xác định trên cung AB Chia cung AB thành n phần tùy ý bởicác điểm A = A0 < A1 < An Đặt △li là độ dài cung AiAi − 1 và trên cung AiAi − 1 lấyđiểm tùy ý Mi Lập tổng:

• Để tính toán cụ thể một tích phân mặt, chúng ta cần tham số hóa S bằng cách biểudiễn S trong một hệ tọa độ cong, giống như kinh độ và vĩ độ trên một mặt cầu

• Đối với mặt phẳng đã có hàm f(x,y) cho trước ta xem như đã có kinh độ và vĩ

độ chỉ cần áp dụng công thức tính Khi đó, diện tích mặt cong z=f(x,y), có hình chiếuxuống mặt phẳng Oxy là D được tính theo công thức

S = 1 + (fx′)2 + (fy′)2

D

Trang 8

V BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dựng mô hình vật thể bằng miền giới hạn được cho ở mỗi đề (phương trình cụthể tự cho) Có thể sử dụng: Matlab hoặc Geogebra , Trên thực tế thì mô hìnhnào sẽ tương đồng với khối vật thể được dựng ở trên

Hình 1: Hình ảnh vật thể 1 trong thực tế:

Trang 9

Trang 11

Trang 12

Hình 5: Hình ảnh vật thể 3 trong không gian:

Trang 13

Trang 15

Trang 16

b) Các hình ảnh trong thực tế:

Trong cuộc kháng chiến chống Mỹ cứu nước để tránh bị máy bay địch pháthiện hoạt động nấu ăn trên cao và ở gần anh hùng nuôi quân Hoàng Cầm đã phátmình ra bếp cùng tên ông Cấu tạo bếp gồm phần bếp và phần ống khói với phầnống khói được cấu tạo gồm nhiều ống khác nhau tản khói trong không khí Mô hìnhtrên là hình ảnh của một ống khói của bếp Hoàng Cầm nhô lên phần lỏm giữa hai môđất, đầu được cắt xiên

Hình 8: Hình ảnh cấu tạo bếp Hoàng Cầm

Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z = 12 − 12 , mặt dưới z = 3 + 15 xy và mặtxung quanh là hình trụ với phương trình x2 + y2 = 2y Theo công thức tính tích phânbội ba, ta có:

Trang 17

* Diện tích của mặt phẳng biên dưới (C1):

Trang 18

• Theo công thức tính tích phân đường loại 1, ta tham số hóa như sau:

Trang 19

x =

(

t ≤ 2πcos t); y = sin(t) với 0

Trang 20

• Độ dài viền dưới của vật thể:

Trong tọa độ cực vật thể được xác định bởi hệ phương trình: x = cos(φ)(1 − sin(φ))

Trang 21

x = cos(φ)(1 − sin(φ))Trong tọa độ cực vật thể được xác định bởi hệ phương trình:

0 < φ < 2π và hai mặt phẳng z1 = 0; z2 = 2 + y

Nên ta có: r = 1 − sin(φ) Theo công thức tính tích phân đường loại 1 dùng để tínhdiện tích hình trụ giới hạn bởi đường cong và mặt phẳng (giao giữa mặt phẳngz2 = 2+ y và hình trụ là một đường cong)

Qua quá trình tìm tòi, nghiên cứu, tham khảo các tài liệu nhóm chúng em giả

sử phương trình của hình xoắn như sau:

để vẽ hình vật thể theo yêu cầu

Hình 11: Đoạn code Matlab

Trang 22

Hình 12: Hình ảnh vật thể trong không gian:

Trong một công viên trò chơi nước người ta muốn thiết kế một cái ống trượt nước hình vòng uốn lượn tương tự như một con rắn cuộn mình, trước khi thi công các kỹ sư đã mô phỏng hình ảnh của máng trượt, hình ảnh của mô phỏng tương tự như mô hình trên.

Hình 13: Hình ảnh con rắn cuộn mình:

Trang 23

Hình 14: Máng trượt nước ở công viên giải trí Six Flags Hurricane Harbor :

Cũng như việc vẽ mô hình, chúng em cũng lựa chọn Matlab là công cụ để tính thể tích của vật thể

Hình 15: Đoạn code Matlab tính thể tích vật thể:

Vậy thể tích cần tính của vật thể là: V = 3π2(Đơn vị thể tích)

Trang 24

VI Tổng kết

Với sự phân công kỹ lưỡng, cố gắng chuẩn bị sớm nhất có thể nên nhóm đã cóthời gian tìm tòi, sáng tạo và hạn chế tối đa các lỗi có thể mắc phải trong bài tập lớnnày Và cuối cùng, nhóm đã hoàn thành đề tài được giao

Qua bài tập lớn này nhóm chúng em đã rút ra được những kỹ năng, kinh nghiệm

bổ ích:

• Ứng dụng được các công thức toán học đặc biệt là các công thức tích phân trong việc tính thể tích, diện tích các mô hình vật thể

• Hiểu biết hơn những hình ảnh của mô hình trong thực tế đời sống

• Giúp nâng cao hứng thú với môn học

• Trau dồi kỹ năng làm việc nhóm

• Nâng cao tinh thần trách nhiệm và thắt chặt tình đoàn kết giữa các thành viên trong nhóm

• Tập luyện được nhiều kỹ năng mềm giúp ích sau này như kỹ năng lập trình Matlab, Latex,

Như vậy chúng ta đã thấy được rõ hơn những ứng dụng và tính thiết thực của những công thức toán học đặc biệt trong bộ môn giải tích 2

Trang 25

VII Tài liệu tham khảo

[1] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - Mặt trụ [Trực tuyến]

[3] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi,

Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp 75-77

[4] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần NgọcDiễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp 112-113

[5] Tích phân đường và tích phân mặt [Trực tuyến]

Available: https://dangcnd.files.wordpress.com/2009/08/gt2c3.pdf [Truy cập 4/2022]

[6] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - tích phân mặt [Trực tuyến] Available:https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n_m%E1%BA%B7t [Truy cập 4/2022]

Tiêu đề	Khối vật thể được giới hạn bởi mặt trụ và các mặt phẳng
Tác giả	Lê Phạm Hữu, Lê Khánh Huy, Trần Đỗ Trọng Huy, Trần Quốc Huy
Người hướng dẫn	Giảng Viên Huỳnh Thị Vu
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Giải tích 2
Thể loại	Bài tập lớn
Năm xuất bản	2021-2022
Thành phố	Tp. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	681,95 KB