Bài báo trình bày một số kết quả về tính ổn định tính dừng và tính phi mâu thuẫn của hệ tri thức F-luật đơn điệu yếu, một mở rộng thực sự của hệ tri thức đơn điệu mạnh đã được nghiên cứu
Trang 1KHẢO SÁT CÁC ĐẶC TÍNH CỦA HỆ TRI THỨC F-LUẬT
ĐƠN ĐIỆU YẾU
NGUYÊN THANH THỦY, TRINH KIM CHI, PHAM THANH SƠN
Khoa Cong Nghé Théng Tin, DHBK Hé noi
Abstract This paper presents results on the stableness (the stationariness, the consistency) of weakly monotonic F-rule systems, an extension of strongly monotonic F-rule systems that have been investigated in [1,2] As shown in [1], this issue for monotonic, but not for strongly monotonic F-rule systems has been open For this purpose, we transform a weakly monotonic F-ruler systems into an equivalent point-valued F-rule systems Then, we prove that the results on the stableness of strongly monotonic F-rule systems can be extended for point-valued F-rule systems, and therefore for weakly monotonic ones
Tóm tắt Bài báo trình bày một số kết quả về tính ổn định (tính dừng và tính phi mâu thuẫn) của hệ tri thức F-luật đơn điệu yếu, một mở rộng thực sự của hệ tri thức đơn điệu mạnh đã được
nghiên cứu trong [1,2] Như đã chỉ ra trong [1], việc nghiên cứu tính dừng và tính ổn định của các
hệ tri thức đơn điệu, nhưng không đơn điệu mạnh vẫn là một vấn đề mở Để nghiên cứu hệ tri thức E-luật đơn điệu yếu, ta biến đổi tương đương về hệ tri thức đơn điệu giá trị điểm Chúng tôi đã
chỉ ra được rằng kết quả trong [1] hoàn toàn có thể mở rộng để nhận kết quả tương tự đối với hệ
tri thức giá trị điểm, do vậy đối với hệ tri thức dạng F-luật đơn điệu yếu
1 MỞ ĐẦU
Trong công trình nghiên cứu về logic xác suất, Nilsson (7|) đã đề xuất mô hình biểu
diễn tri thức xác suất với giá trị khoảng và cơ chế suy luận dựa trên giải bài toán quy hoạch
tuyến tính Tác giả ([7,8]) gọi đó là cơ chế suy diễn ngoài để phân biệt cơ chế suy diễn trong
trên các luật Một cách tổng quát, một luật logic giá trị khoảng được định nghĩa như sau:
J: (S1, H) A (S2, Tạ) A A (5S, Tạ) — (9D), trong đó T;, T là các khoảng hay là các biến lấy giá trị khoảng thuộc ŒC|0, 1] (C|0, 1| là tập các khoảng con của |0, 1]) Trường hợp tất cả cdc J; va
T là các hằng khoang (interval constants) da được nghiên cứu khá kĩ trong |6] Khi chúng suy biến thành các giá trị thuộc [0,1], ta gọi đó là các luật giá trị điểm IKhi các ï;,¡ = 1, ,m, là biến khoảng, còn 7 là hằng khoảng ta gọi đó là Œ-luật Trường hợp ngược lại, khi tất cả các
I, va I đều là biến khoảng ta gọi đó là F-luat Moi loại luật có một cơ chế suy diễn riêng biệt ([1.2,4,6,8|) Một hệ tri thức được định nghĩa như là một cặp A = (B,t) trong đó B 1a co sé
luật, là toán tử suy diễn trên đó Gọi F' là tập các atom xuất hiện trong cơ sở luật 8 Khi
đó mỗi ánh xạ từ T' vào C|0, 1| có thể xem như là một phép gán giá trị (độ chắc chan) cho
các atom Dat $ là tập các phép gán giá trị như vậy Khi đó, toán tử suy diễn cảm sinh bởi việc áp dụng luật Z7 : ý; : % — S% một mở rộng của mmodus ponens được định nghĩa như sau:
VI c S7; : (D(5) = II(S) n7 nếu ®Š là về phải của luật 7, và £;([J)(5) = [](S) nếu ngược lại
Có thể mở rộng định nghĩa này cho môt tập con bất kỳ các luật thuộc Ø, thay vì áp dụng một luật # duy nhất Một đặc trưng quan trọng khi nghiên cứu các hệ tri thức A là tính ổn
định, (hệ sẽ dừng sau một số lần áp dụng toán tử suy diễn và cho kết quả phi mâu thuẫn
[I,2,3|) Các kết quả trong [1| đã chứng tỏ bài toán quyết định tính dừng của hệ tri thức đơn
Trang 2điệu mạnh là giải được Bài báo đã mở rộng các hệ tri thức #-luật đơn điệu yếu
Bài báo được cấu trúc như sau: Mục 2 đưa ra môt số nhận xét về #-luật đơn điệu mạnh
Hệ luật giá trị điểm được nghiên cứu trong Mục 3 xem như là bước trung gian để nghiên cứu
hệ #-luât đơn điệu yếu trong Mục 4
2 NHẬN XÉT VỀ HỆ TRI THỨC ĐƠN ĐIỆU MẠNH ([1])
Một hệ tri thức được gọi là đơn điệu mạnh khi và chỉ khi tất cả các luật của nó 1a dong
thời đơn điệu trái và đơn điệu phải Cụ thể, xét một luật trong cơ sở tri thức (CSTTT):
J: (51,01) A (So, v2) A A (Sụ, on) — (9,0), ở đây v = f(v1, v2, .,Un), vi la cdc bién khoảng
và ƒ là hàm biến khoảng
/ được gọi là đơn điệu trái nếu: Với hai bộ giá tri bat ky (4, fạ, , F„), (TH, !, , 1) thỏa
man Vi=1, ,n thi 1 C1, đặt ƒ = ƒŒI1,1a, , lạ), 1 = Ƒ(H 1, , lạ), tà có
ai) (Gá, 1(,)00)) = (DA)
bi) (vi, (Ui) = 1(7)) = I) = UT")
J được gọi là đơn điệu phải nếu:
a2) (Si, r())r()) => r(DMỢ)
be) (vt, ri) = rf) => r1) = r(P)
Trong [1| đã chứng mình được kết quả sau:
Định lý 1 ([1|) Giá sử Aa là hệ trí thúc đơn điệu mạnh Đặt Nuax = {max Depth(4) + 1|A €
T}, ở đây là độ sâu của A trơng đồ thị tương ứng tới hệ trí thúc Aa Hệ trì thúc Aa là ổn định khá oà chả khá nó ổn định tại bước lặp thú Nụax
Nhận xét
a) Đối với mỗi hệ luật trong hệ tri thức đơn điệu mạnh, trong cận trái của atom, ở vế phải
luật là hàm của các cận trái của cdc atom thuộc vế trái mà không phụ thuộc vào các cận phải của atom ở vế trái Tương tự, cận phải của các atom & vé phai là hàm của cận phải của các
atom ở vế trái mà không phụ thuộc vào các cận trái của các atom ở vế trái
b) Dựa vào nhận xét a) ta có thể định nghĩa luật đơn điệu mạnh như sau: Z : (5¡,1j) A
(Sa, la) A A (Sa, 1„)(A)(%,T), với các biến khoảng 1; = [z¡,¡| Ví = 1,2, n, I = [x,y], & đây
% —= g(41,2, ,n), 1 —= RẦM, , Un), sao cho:
e Với 2 bộ (zi,za, ,#„), (1,ø2, ,z/,) bất kỳ:
-È Vỹ = 1,2, ,?e, a g4 => g(01,83, ; 0n) S g(11, 5, ; 1)
+ Nếu tồn tại một bất đẳng thức thực sự z¿ < z4 thì g(a, x2, .,an) < g(a, ah, ,2/,)
e Với 2 bộ (gi, ,1„), (v1, ,,) bất kỳ
+ Wi = 1,2, ,n, ị > ¿ > Al, Ua) = AY, Yh):
+ Nếu tồn tại một bất đẳng thức thực sự ; > ¿/ thì hí(0i, , 0u) > Aly), y4,)-
Hơn nữa, luật đơn điệu có thể định nghĩa như sau:
J: (81,11) A (S2,I2) A «+: A (Sn,In) => (ST, với các biến khoảng I; = [zxi, ysl
Vi = 1,2, ,n, TF = [x,y], ở đây x = g(4I,2a, ,a,A, ; Un), — Alar, 2,005 En Yiy 5 Yn)
được gọi là đơn điệu néu véi 2 bO (a1, #a, , #„, 1, ., na), (24,05, #/,, 1, , ,) bất kỳ, thỏa
man Vi = 1,2, ,2, w% < w, ye > ¿ thÌ g(1,23, ; 8n, 1y na) Ã 0(41; 8ã, đã, UU, sào Đa; h1, 83, cay 8n, ĐU; cào Đn) > AHI, La, ny YL Yr):
Trang 3c) Định nghĩa trên cho thấy tập các luật đơn điệu mạnh chỉ chiếm một phần rất nhỏ trong số
các luật đơn điệu Thật vậy, nếu như luật đơn điệu mạnh thì cận trái (cận phải) của atom về phải phụ thuộc vào tất cả các cận trái (các cận phải) của các atom ở vế trái của luật Ta sẽ xem xét một lớp luật đơn điệu yếu sao cho cận trái (cận phải) của vế phải chỉ phụ thuộc vào một số cận trái (phải) của các atom vế trái Ngoài ra, trong phần sau sẽ xem xét cả trường hợp cận trái của atom ở vế phải phụ thuộc chặt chẽ đồng thời vào một số cận trái và phải
của các atom ở bên vế trái
3 HỆ TRI THỨC GIÁ TRỊ ĐIỂM Nhằm phục vụ cho việc mở rộng hệ tri thức đơn điệu yếu sẽ trình bày trong Mục 4, ở đây đưa ra khái niệm hệ tri thức giá trị điểm
Định nghĩa 1 Hệ tri thức giá trị điểm:
Sự kiện: là một cặp (5,a) gồm atom S va một giá trị a € |0, 1]
Luật: J: (51,øi)A -A (S¡, 0n) — (S, 0), VỚI 0ị,a, , oạ là các biến lấy giá trị thuộc [0, 1], v =
#íi, 0a, , 0a) là ánh xạ từ [0, 1]” vào |0, 1]
Co sơ tri thức đ: Gồm tập các sự kiện đ; và tập các luật đ,
Ký hiệu I' là tập các atom xuất hiện trong cơ sở tri thức
Phép lập luận: Gọi 9 là tập các ánh xạ từ T' vào |0,1]
Khi đó phép lập luận ¿„ : % 3 được xác định như sau: Với mỗi u € 3, uw: T= [0, 1] ta có:
t„(u)(4) = max{u(4), max{/ƒf;(đ1, , đm)|J € Bah}, với (4) là giá trị của A và Ha là tập các luật có vế phải của 4 trong cơ sở tri thức
fj (@i1, -; @im) la ham biến khoảng tương ứng với luật 7 € Ey
Hệ tri thức: Gồm cơ sở tri thức 6 va phép lap luan t,, A, = (8, tp)
Giá trị của các atom đối với hệ tri thức:
+ Giá trị ban đầu: Nếu sự kiện (4;,a¿) thuộc đ; thì ban đầu a% = a¿ Ngược lại, a% = 0 + Giá trị sau bước lặp thứ œ: 3 = f,(w"—)(9
Tương tự trong [1] ta đưa vào khái niệm đồ thị có hướng Œ„ tương ứng hệ tri thức A Các khái niệm ?Depth(4) cũng được định nghĩa như trong [1| Các định nghĩa sau đây tương
tự trong [1]
Định nghĩa 2 Luật giá trị điểm đơn điệu
Luật 7 : (51,0) A -A (5¡, 0n) — (5,0), З= ƒ(01,0a, , 0n) được gọi là đơn điệu nếu đối
với hai bộ (ai, aa, , an), (1, d5, ,a/,) thỏa mãn 0 < a; < af < 1 thi:
® f (a1, @2, ,An) < (d1, đạ, , quỒ
ett, a;(ai, thì ƒ(6, ða, , 6,)(ƒ (a1, đ5, , đu)
Hệ tri thức điểm đơn điệu là hệ tri thức trong đó mọi luật của nó đều là đơn điệu Định nghĩa 3 Ta nói hệ tri thức điểm A„ dừng ở bước lặp thứ ø nếu với mọi A € T,
u =0 151, Hệ trí thức điểm A„ là dừng nếu tồn tại ø để hệ dừng tại bước lặp thứ ø
Định nghĩa 4 Ta xây dựng các vị từ sau đây:
e c(A,n) — a1 > at,
Trang 4e act(X, A,n) = true néu théda man đổng thời 2 điều kiện:
C(A,n) va uly = max{u(A), max{ fj (ai1, , dim)|7 € Ba A Tx }} voi Ty = {i|X € left, }
e Voi ACT, goi tduong bac n của 4 là dãy Xị — Xa —> > X„ = A voi X; €T thỏa mãn
Vi €1,2, ,.2-1: act(X;, Xi41,74+1)
Khi đó, với 1< k< n thì Xẹ — X;¿¡¡ —> — Xy, 1A mot t-duong bac n—k+1 cla A
Đường đơn là một dãy Xị — Xa —> > X„ với X;¿ €Ï' và X; # X; Vi # j < n
Tương tự như việc chứng mình Dinh ly 1 trong [1] , ta di chứng mình định lý sau:
Định lý 2 Giả sử hệ trí thúc điểm là đơn điệu Đặt Nụa„ = max{Depth(A) + 1/A €T} Hệ
là dừng khi oà chủ khi hệ dùng tại bước lấp thú Nuax
Việc chứng minh Định lý 2 cho hệ tri thức giá trị điểm được thực hiện tương tự như việc chứng minh Định lý 1 trong [1] bằng cách đưa ra 4 bổ đề:
Bổ đề 1 Nếu có A cT' oà một số n > 2 sao cho c(A,n) thi có X €c TT để e(A,n — 1) tà
act(X, A,n)
Bo dé 2 Xét hé don điệu, phí mâu thuan Néu c6 ACT van> 2 sao cho c(A,n) tha ton tai
t-đường bậc n của A
Bổ đề 3 Giá sử X, — Xe;.¡ — — X„ là một t-đường bậc n— k+ 1 của A Khả đó nếu
ton tai ko > k ma c(Xp, ko) thì tổn tại nọ > n thỏa mãn c(X„, nọ)
Bổ đề 4 Nếu có A cT sao cho tôn tại N > Depth(A) thỏa c(A, N) thì 3N* > N thỏa c(A, N*)
4 HỆ TRI THỨC ĐƠN ĐIỆU YẾU
Định nghĩa ð (Hệ tri thức đơn điệu yếu)
Một hệ tri thức là đơn điệu yếu khi và chỉ khi tất cả các luật của nó là đơn điệu yếu Luật
7 được gọi là đơn điệu yếu nếu thỏa mãn điều kiện sau:
J: (5S, H)A(S3, T)A: A(S», Tạ) — (9, D, với các biến khoảng 1; — |z¿,¿] Ví = 1,2, ,m, T—
[~, | với:
Œ — O(@i, ;Lim, 71› ey Ugh)
U— ha, seep Lt, Ys ves Yq):
Ở day {i1, ,im}, {Ziu, 7ek: {H, tạ}, {H , lạ} là các tập con của {1,2, ,n} sao cho:
{ñ, ,#z}U {Øi, ,7z}U{h, ,f2}U{h, lạ} = {1,2, ,n} Điều kiện này là cần thiết, bởi nếu
không, sẽ có một atom ở về trái không có ảnh hưởng gì tới atom bên vế phải của luật Hơn nữa, với hai bộ (đ¡1, ; #øm; j1: -.- 2k): (Vers #2my 21: ca 2p) thỏa mãn:
Ví C (1, ;Öm), #¿ S tội VJ C, 7), 2 > v; thì:
® 0(i1, -; 52m: J1: cì: jk) SG (lip os Lim Yj oe Vin)
e Néu ton tai mot bat dang thitc thire su x; < x} hay yj > ¿ thÌ Ø(#¡t, , #øm, 71, : j&) <
Ji +5 Vis Vj os Yip)
V6i hai bo bat k¥ (#1, ., ep, Yrs Yig)s (Lh ey Ltps Voir or Vig) thỏa man:
Ví € (l, ,Ép), #¿ S #2; V7 €C(H, ,lạ), 9; > 1 thì:
Trang 5® h(G1, , đáp, UA; + Vig) 2 PCV, es Vip» Yrs s Vig)
e Nếu tồn tại một bất đẳng thức thực sự z¡ < z¿ hay ¿ > / thì h( , #ip, Un, , Mạ) >
i i / /
h(x, very Ley Yu Vig):
Định nghĩa 6 (Chuyển hệ tri thức đơn điệu yếu về hệ tri thức điểm) Với một hệ tri thức
đơn điệu yếu Az như đã định nghĩa ở trên, ta xây dựng hệ tri thức điểm tương ứng A„ như sau:
+ Mot atom S cua Ag tuong tng hai atom Sj, 5, cla A)
Nếu giá trị ban đầu của S trong Ag 1a [x,y] thi gid tri ban dau của S;, 5, tương ứng là
0
sl
+ V6i moi luat J trong Ag : J: (51,h) A (S9,I2) A+++ A (SnitIn) > (5,0),
1 = |¿, ¡| Ví = 1,2, n, T= [x,y], @ = g(@ar, Lim, Yjls Yk), Y = h(E, -, Lep, Yay 5 Yq)
6 day {t1, ,im}, {1,5 dn}, (tr, tp}, {h, , ly} la cdc tap con cua {1, 2, ,n} twong tng với hai luật sau đây trong A
— pe q0 —
Us, — 3) Usp = Ï— Đ
Luật Ji : (Sit, 1) Aree A (Sim; im) A (Sy1, 71) Ave A (Syn, jk) —> (S, a)
a = g(Gi1, , @im, 1— ay1, , 1 — ajr)
Luat Jo : (S41, đa) Avet A (Stp, @tp) tee (Sn, un) Ave A (Sig, đua) —> (S, a)
a = h(ae, , @tp, | — an, , 1 — aig)
Mệnh đề 1 Nếu luật J la ludt don điệu yếu trong hệ Aa thì các luật Jy, Jo la dơn điệu theo nghĩa trong hệ trí thúc điểm
Ching minh Xét luat Ji Xét hai bộ (đá, , đưm, đ71, , 47p), (Gir sr Gime Us +s Gao) bat ky sao cho a; <a) Vi € {i1, ,¢m}U {h1, - 7e}:
Nhu vay, a; < a) Vi € {t1, ,¢m} va l-— a; > 1l—aj Vi € {ZI, , 7e}
Do J 1a luat don diéu yéu, cho nên:
P (Git, +, @im, 1 vi, ., T— 47p) S (đi, 1 im: 1 - ay, 1— ai.) nghia la a <a’,
Mặt khác, nếu tồn tại một bất đẳng thức thực sự ø < aƒ/ với ¿ € {ái, ,i„}U {Zi, , 7}
thì ta cũng sẽ có a < a’ dua trên định nghĩa 7 là luật đơn điệu yếu
Mệnh đề 2 Kết quả thực hiện phép lập luận tổng thể trên hai hệ trí thúc Ag va A, la tương dương nhau theo nghĩa nếu Iz là giá trị gán cho S,u%, va ul, la cdc gid tri gan cho
Chitng minh Ta sé chitng minh bang phuong phap quy nap theo n:
e Với œ =0: rõ ràng lệ = [a%, a%,], 5 € Ag
e Giả sử (*) đúng đến œ— 1 Ta sẽ chứng minh (*) đúng với ø
Xét S € Ag bat kì:
Trong Aa,18 = J2 'n( 0 I0":ø0"9):
3 3
Mặt khac, trong A,
Trang 6ag = max(asj »,max{f;(a"~")|j € Esi}) (2)
Ở đây s¡ là tập các luật trong A„ có atom ở về phải là S¡
Dễ thấy, với mỗi luật 7 € Ứ trong As tương ứng với hai luật trong A„, một luật thuộc
#s¡, một luật thuộc s;
Với mỗi j € Eg ta cé:
0®) = fi Sins Sime Sj sen Sjp) = FOS tet so Stim Ï— US pats ob S58)
Từ (5), (6) suy ra mệnh đề đã được chứng minh
Nhan xét vé dé thi G,(V,, E,)
Khi nghiên cứu hệ tri thức đơn điệu yếu, dựa trên mệnh đề trên ta có thể kiểm tra tính
dừng của nó bằng cách chuyển về hệ tri thức điểm Ta sẽ xem xét đến mối liên hệ giữa
Ninax(Gig) VA Nmax(Gy) Thực vậy, ta tiến hành xây dựng do thi Gg(Ve, Eg) cho hé tri thite đơn điệu yếu và xây dựng đồ thị G,(V,, E,) cho hệ tri thức điểm
Dễ thấy, số đỉnh của Œ„ gấp đôi số đỉnh cla Gg Néu (A,B) 14 mot cung cla Gg, thi trong
đồ thị Œ„ có ft nhat mot trong bén cung (A), Bi), (Ar, Bi), (Ar, By), (Ar, By) Trong trwong hợp tổng quát khó có thể đưa ra kết luận về quan hệ giữa Ninax(@a) Va Ninax(Gy)
Trong trường hợp đặc biệt, hệ tri thức đơn điệu yếu suy biến thành hệ tri thức đơn điệu
mạnh, thì đ„ sẽ được tách ra thành hai đồ thị rời nhau, khi đó Nmax(Gia) = Nmax(Gy) Ta cd
định lý sau đối với hệ tri thức đơn điệu yếu
Định lý 3 Giá st hệ trí thúc Aa là đơn điệu yéu Dat Mmnax = max{Depth(A) + 1|A € TH,
ưới Depth(A) dược định nghịa trong đồ thị Gy ctia hệ trì thúc A„ tương úng Hệ trì thúc
Ag là ổn định khi oà chỉ khi hệ ốn định tại bước lặp thú Max
Chitng minh
e Giả sử hệ là ổn định tại bước lặp thứ ÄZ„¿„ Tà sẽ chứng minh hệ là ổn định
That vay, dé dang thấy Vn > Äf„axVA €CT, J2 = 73/“2*_ Điều này chứng tỏ hệ ổn định
e Giả sử hệ là ổn định, ta sẽ chứng minh hệ ổn định tại bước Äf„ax
Giả sử ngược lại, hệ không ổn định tại bước Äf„a„ tức là VA sao cho:
Xét hệ tri thức điểm tương ứng của hệ tri thức Az:
Từ (*) ta suy ra (a2?91 < „Mfme+>) hoae (alma?! < allman),
Nói cách khác, hệ tri thức không dừng tại bước A⁄„a„ Theo định lý cho hệ tri thức điểm thì hệ tri thức A sẽ không dừng Do đó, Az cũng sẽ không dừng Điều này mâu thuẫn với giả thiết hệ là ổn định Do vậy, hệ ổn định tại bước Ä„ax
Trang 7a ^
4, KET LUẬN
Kết quả Định lý 3 cho phép nghiên cứu tính dừng của các hệ E-luật đơn điệu yếu Có thể thấy lớp các hệ đơn điệu yếu đã mở rộng thực sự so với các hệ đơn điệu mạnh Tuy
nhiên, việc mở rộng tiếp theo vẫn là vấn đề tôn tại
Một vấn đề quan trọng là đưa ra toán tử suy diễn tích hợp trong hệ tri thức bao gồm
nhiều loại luật: luật giá trị điểm, C-luật, E-luật, luật giá trị hằng
[1]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
N.T Thủy, P.D Hiệu, Lập luận trong các hệ trì thức E-luật, Tạp chí Tin học oà Điều
khiển học 17 (1) (2001)
N.T Thủy, P.D Hiệu, Các cơ chế lập luận trong các hệ tri thức F-luật đơn điệu, 7p
cht Tin hoc va Điều khiến học 18 (1) (2002)
N.T Thủy, P.D Hiệu, Đơn điệu hoá hệ tri thức F-luật, Đáo cáo chuyên môn tại Trung
tâm tính toán hiệu năng cao, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (2001)
P.D Diéu, On a theory on Interval-valued probabilistic logic, Research Report 5, Viet Nam NCSR, 1991
D Dubois, H Prade, Possibility Theory: an aproach to computerised processing of uncer- tainty, Plenum Press, NewYork and London, 1998
NG Raymond, V.S Subrahmanian, Probabilistic Logic Programming, Information and
Computation 101 (1992) 150-201
N Nilsson, Probabilistic logic, Artificial Intelligent 28 (1986) 71-87
P.D Diéu, T.D Qué, Reasoning in knowledge bases with external and internal uncer-
tainty, Tap cht Tin hoc va Diéu khiển học 10 (2) (1994) 1-8
Nhận bài ngày 13 - 11 - 2002