(SKKN HAY NHẤT) sử dụng phương pháp thể tích giải các bài toán về khoảng cách trong không gian giúp học sinh lớp 12 trường THPT nông cống 3 ôn thi tốt nghiệp THPT

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến mặt phẳng : ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.. Cho hình chóp có

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục Bộ giáo dục đặt ra mục tiêu nhiệm vụ đổi mới phương pháp giảng dạy là then chốt Vì vậy để

có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi đã không ngừng suy nghĩ, đặt mình vào vị trí học trò để tìm tòi, suy nghĩ

Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán, bản thân tôi thấy phần hình học không gian thuộc chương trình hình học 11 học sinh còn lúng túng trong việc suy luận tìm ra phương pháp giải Phần hình học không gian luôn xuất hiện trong các đề thi từ trước đến nay Hiện nay các bài toán liên quan đến hình không gian gần như được xếp mặc định trong các đề thi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao (từ câu 36 trở đi trong đề trắc nghiệm 50 câu hỏi) Thực trạng cho thấy các bài toán về khoảng cách gây ra nhiều khó khăn cho HS đặc biệt là HS trung bình, yếu Nhận thấy khó khăn học trò đang gặp phải tôi đã nghiên cứu và áp

dụng đề tài “Sử dụng phương pháp thể tích giải các bài toán về khoảng cách

trong không gian giúp học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 3 ôn thi tốt nghiệp THPT” nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp dễ hiểu, dễ áp

dụng để các em dễ tiếp thu, tìm tòi, và có động lực nghiên cứu toán học Từ đó

trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số

kỹ năng giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải giải bài toán trắc nghiệm nhanh hơn bằng kiến thức cơ bản đã học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi

Nội dung đề tài rất bổ ích thiết thực, giúp các em học tốt, thi tốt

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho

học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các

kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu đối với các bài toán về khoảng cách trong không gian, các công thức tính thể tích của các hình khối và được thử nghiệm đối với học sinh lớp 12C1, 12C2 năm học 2019 – 2020 và tiếp tục áp dụng đối với HS lớp 12 A2, 12A3 năm học 2020-2021 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số bài toán mà học sinh thường khó khăn trong hướng tiếp cận cũng như trong quá trình giải tnoán

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp đối thoại với người học

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Các khái niệm

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

là , với là hình chiếu của trên đường thẳng

Kí hiệu:

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

là , với là hình chiếu của trên mặt phẳng

Kí hiệu:

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến mặt phẳng :

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi

đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của gọi là đoạn vuông góc chung của

a

b

c

J

b J

I





M



M

H a



M

b



M

H a





a

2.1.2 Các công thức tính thể tích của các hình khối thường gặp

+, Thể tích khối chóp:

+, Thể tích khối lăng trụ :

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi TN THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán về khoảng cách trong không gian luôn xuất hiện Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ

VD, VDC đa số các em học sinh còn lúng túng trong tư duy, phương pháp giải cũng như trong quá trình giải toán Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết hoặc tâm lý mặc định “khó quá bỏ qua” Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, hướng dẫn các em học sinh có kĩ năng, phương pháp, cách giải kể cả quá trình giải là việc cần thiết Từ đó HS có thể giải nhanh các bài tập dạng trắc nghiệm

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn hướng giải trên cơ sở phân tích bài toán khoảng cách trong không gian

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

2.3.1 Các ví dụ sử dụng phương pháp

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc,

và diện tích tam giác SBC bằng Tính khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Giải:

Ta có thể tích của khối chóp S.ABC là

Suy ra

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa mặt

bên với mặt đáy bằng Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Giải:

Suy ra

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giải:

Ta tính được

Tính diện tích tam giác :

Ta có: ;

Vì nên gọi là trung điểm :

(Có thể dùng công thức Hê-rông kết hợp MTCT để tính diện tích tam giác )

Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

, hình chiếu vuông góc của trên là trung điểm cạnh

Tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng

Giải:

Ta có: ;

Dùng công thức Hê-rông kết hợp MTCT:

Ta tính được

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

Giải:

Ta có:

có:

Ví dụ 6 Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật tâm O có

Gọi H M, lần lượt là trung điểm của OA AA¢, Hình chiếu vuông góc của A¢ lên mặt phẳng trùng với điểm H Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

Giải:

Xét tam giác ta có: ,

Suy ra,

Ví dụ 7 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , đỉnh cách đều các điểm Biết , góc giữa đường thẳng và

bằng Tính khoảng cách từ trung điểm của đến theo

Giải:

Tam giác vuông tại

Lại có :

Tam giác vuông tại nên

Ví dụ 8 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với

, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc Gọi là trung điểm các cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giải:

Tam giác vuông tại :

Mặt khác :

Ví dụ 9 Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng , hợp với một góc , lần lượt là trung điểm của và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giải:

Góc hợp bởi và mặt phẳng bằng góc Tam giác vuông có:

Ta có: vuông tại nên

Ví dụ 10 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông, Tam giác có góc và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia tỉnh Nam Định 2017-2018)

Giải:

Kẻ tại

Có

2.3.2 bài tập tự luyện Câu 1: [THPT Đặng Thúc Hứa] Cho lăng trụ đều có cạnh đáy

bằng và có thể tích bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

.

ABC A B C  

a

3

3 4

a

A C

15 3

a

15

a

d

Câu 2: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho khối chóp có thể tích bằng và đáy ABCD là hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB bằng

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Câu 3: [THPT Đặng Thúc Hứa] Cho lăng trụ đều có cạnh đáy

bằng và có thể tích bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

Câu 4: [THPT TH Cao Nguyên] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều

cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng Tính cạnh bên

Câu 5: [Sở Hải Dương] Cho lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng , thể tích

bằng Tính độ dài cạnh đáy

Câu 6: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho khối chóp có thể tích bằng và đáy ABCD là hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB bằng

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Câu 7: [THPT Chuyên Quang Trung] Cho hình chóp có đáy

là hình vuông cạnh , thể tích khối chóp là Tính chiều cao của hính chóp

Câu 8: [Cụm 8 HCM] Khối chóp tam giác đều có thể tích , cạnh đáy bằng thì chiều cao khối chóp bằng

15 5

a

15

a

d 

.

S ABCD

3

SB CD 2

2

2

a

.

ABC A B C  

a

3

3 4

a

A C

15 3

a

15

a

d

15 5

a

15

a

d 

.

S ABC

3

2

a SA

3 3

a

3 2

a a

3

4a

.

S ABCD

3

SB CD 2

2

2

a

.

3

2

V  a

2a 3

A B C D

Câu 9: [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , Gọi là trung điểm Biết

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Câu 10: [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Cho khối chóp có thể tích bằng Mặt bên là tam giác đều cạnh và đáy là hình bình hành Tính theo khoảng cách giữa và

Câu 11: [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng Biết và hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng và bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 12: [THPT Tiên Lãng] Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và

cạnh đáy đều bằng Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

Câu 13: [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Hình chóp có đáy

là tam giác vuông tại Biết Tính khoảng cách từ đến

6

a

6 3

a

3

3

a

.

 120 , 0  45 0

6 5

3

4

6

a

.

S ABCD

3

a

3

a

2 3

a

.

2a 3 BAD 120  SAB SAD

SBC ABCD 45

3

h a

2 2 3

a

h

2 2

h a

3 2 2

a

h

6 3

2

2

6

a

.

,

B BA 3 ; a BC 4 , a SBC  ABC. SB 6 ; a SBC   60

B SAC.

19 57 57

19

a

17 57 57

57

a

Câu 14: [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Cho hình lăng trụ có đáy

là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

trùng với trọng tâm của tam giác Biết thể tích của khối lăng trụ là Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

Câu 15: [THPT chuyên KHTN lần 1] Cho khối đa diện đều mặt có thể tích

là và diện tích của mỗi mặt của nó là Khi đó tổng khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng

Câu 16: [THPT HÀM LONG] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng cách từ đến mặt phẳng là

Câu 17: [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Cho hình chóp có đáy là hình

vuông cạnh , Hình chiếu vuông góc của lên mặt là trung điểm của đoạn Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách giữa

hai đường và theo

Câu 18: [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình chóp đều có thể tích bằng

, mặt bên tạo với đáy một góc Khi đó khoảng cách từ đến mặt là

Câu 19: [THPT Tiên Du 1] Cho khối mặt đều có thể tích và diện tích mỗi mặt của nó bằng Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong đến các mặt của nó bằng

.

ABC A B C  

ABC

3 3 4

a

AA BC

4 3

4

2

3

a

n

V

V S

3V

S

nV S

.

S ABCD

21 7

14

21

3

a

.

S ABCD a

17 2

a

SD

.

3 5

5

5

7

a

.

S ABC

3 3 24

a

SBC

2 2

a

3

a

3 4

2

a

S

 H

A B C D

Câu 20: [THPT Thuận Thành 2] Cho hình lăng trụ đứng có đáy

là tam giác cân đỉnh , đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc và Gọi lần lượt là trung điểm Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Câu 21: [THPT Quế Vân 2] Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật , Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng

trùng với giao điểm và Góc giữa hai mặt phẳng và bằng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

A

Câu 22: [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , Gọi là trung điểm Biết

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Câu 23: [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng Biết và hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng và bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 24: [THPT TH Cao Nguyên] Cho hình chóp có đáy là hình

vuông cạnh , , hình chiếu vuông góc của lên mặt là trung điểm của đoạn Tính chiều cao của khối chóp theo

3 4

V

V S

3V

V S

.

ABC A B C  

15 5

5

5

15

a

1 1 1 1

.

ABCD A B C D ABCD



3 2

6

4

3

a

.

 120 , 0  45 0

6 5

3

4

6

a

.

2a 3 BAD 120  SAB SAD

SBC ABCD 45

3

h a

2 2 3

a

h

2 2

h a

3 2 2

a

h

.

S ABCD a

17 2

a

SD

D .

Câu 25: [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho tứ diện có thể tích bằng Hai cạnh đối và tạo với nhau góc Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Câu 26: [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Cho hình tứ diện có vuông góc với , vuông góc với , vuông góc với ; biết , ,

, với Gọi , tương ứng là trung điểm của hai cạnh , Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

A B C D

Câu 27: [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , là trung điểm Biết là tam giác đều và mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 28: [Sở Nam Định 2018]Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Thể tích của khối chóp bằng Biết diện tích của tam giác bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 29: [Sở Nam Định 2018]Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông, Tam giác có và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

theo

3 7

5

5

5

a

2

3

12

24 29.

29

a

29

a

29

a

29

a

d 

S ABC

SAB

6 13 7

13

7

13

a

Câu 30: [Sở Nam Định 2018]Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ; và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

A B C D

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học

lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao được chất lượng giáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà

trường

Trong năm học 2019 – 2020 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12C1, 12C2 không áp dụng cho lớp 12C3 Sau khi kết thúc kỳ thi THPT Quốc gia năm 2020 kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12C1 có 91% học sinh giải được các bài toán về khoảng cách trong không gian, lớp 12B2 có 87% học sinh giải được các bài toán về khoảng cách trong không gian trong khi lớp 12C3 chỉ

có 31,33% Năm học 2020 – 2021 tôi tiếp tục áp dụng vào lớp 12A2 và 12A3 kết quả bước đầu tại kỳ thi thử do Sở GD&ĐT Thanh Hóa ra đề học sinh tại 2 lớp đều làm tốt phần khoảng cách (đạt trên 90%)

3 Kết luận – Kiến nghị.

3.1 Kết luận

Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã áp dụng phương pháp thể tích để giải các bài toán về khoảng cách Từ đó phân tích và khắc sâu cho học sinh trong quá trình giảng dạy, giúp các em nhanh chóng tìm ra lời giải và đáp

số của bài toán

Với các kết quả đối chiếu ở trên cho thấy những kinh nghiệm nêu ra cũng

đã bước đầu có hiệu quả Do đó, tôi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn góp phần nâng cao hơn nữa kết quả thi THPT hàng năm

Trong năm học này chúng tôi tiếp tục áp dụng cho một số lớp khối 12, đồng thời tìm tòi, thu thập thêm những ví dụ, những dạng toán khác và bổ sung

để sáng kiến ngày hoàn thiện hơn