(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng định lý lagrange để giải bất phương trình,bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Như ta đã biết bất phương trình, bất đẳng thức đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giảikhông thể thiếu chúng của các dạng toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝLAGRANGE ĐỂ GIẢI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎMỤCNHẤTLỤC CỦA BIỂU THỨC

Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

NỘI DUNG PHẦN I:MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3 Các SKKN đã áp dụng để giải quyết vấn đề

3.1 Nội dung định lý Lagrange

3.2 Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

1 Kết luận

2 Kiến nghị

Phần I - MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán học ở bậc trung học phổ thôngcác bài toán bất phương trình và bất đẳng thức chiếm một vị trí rất quan trọng,xuyên suốt chương trình của ba khối lớp Bên cạnh đó là sự phong phú về dạngtoán, từ bất phương trình, bất đẳng thức ở lớp10, bất phương trình lượng giác ở lớp

11 đến bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12 Phương pháp để giải quyết các dạngbài toán đó cũng rất phong phú Đã có rất nhiều ý tưởng độc đáo và bất ngờ đượcphát hiện để giải quyết những bài toán về bất phương trình, bất đẳng thức tạo nên

sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy

Như ta đã biết bất phương trình, bất đẳng thức đều được xây dựng trên cơ

sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giảikhông thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm tronggiải toán

Cách sử dụng đạo hàm trong giải toán đã xuất hiện ở rất nhiều tài liệu,từchuyên đề hàm số đến các chuyên đề về bất phương trình và trong các đề thi đạihọc, thi học sinh giỏi các cấp tuy nhiên vẫn chưa toàn diện Hệ thống bài tậptrong các chuyên đề đó chưa hoàn chỉnh, còn rời rạc; việc khai thác và khắc sâu

ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để Điều đó gây khó khăn cho học sinh trong việchình thành cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với các dạng bài toán về bất phương trình

và bất đẳng thức

Định lý Lagrange và ứng dụng của định lý này trong chương trình toán họctrong chương trình toán học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt làtrong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình,chứng minh bất đẳng thức,

Tuy vậy, trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT thìnhững ứng dụng này chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ Trướcđây định lý Lagrange được trình bày trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 nhằmmục đích làm cơ sở để chứng minh một số định lý liên quan đến tính đồng biến,nghịch biến của hàm số Hiện nay, sách giáo khoa môn toán trong chương trìnhTHPT không đề cập đến định lý này nữa nhưng trong các đề thi học sinh giỏivẫn xuất hiện các bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giảibất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, mà định lý Lagrange là mộtcông cụ hiệu quả để giải quyết các dạng toán trên Có một số bài toán nếu giảibằng các phương pháp thông thường thì lời giải sẽ dài và phức tạp nhưng nếu ápdụng định lý Lagrange thì sẽ cho lời giải ngắn gọn và dễ hiểu

Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi thì việc tiếp cận định lý nàykhông phải là vấn đề khó mà trái lại thông qua quá trình vận dụng định lýLagrange để giải bài tập và sáng tác các bài tập mới học sinh được rèn luyện khả

năng tư duy, sử dụng kiến thức một cách linh hoạt, tạo cho các em hứng thú tìmtòi, khám phá tri thức và phát huy tính chủ động, sáng tạo trong việc học.

Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo chuyên đề hoànchỉnh để giải các dạng bài toán về bất phương trình và bất đẳng thức tôi đã tậphợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo một hệ thống rõ ràng; tạothuận lợi cho người học ghi nhớ và vận dụng để giải các bài tập tương tự Quathực tế giảng dạy, cách làm này thu được kết quả rất đáng ghi nhận nên tôi đã

viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: ‘’Ứng dụng định lý Lagrange để

giải bất phương trình,bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức’’.

Để cung cấp cho các thầy cô đồng nghiệp của mình cũng như các em học sinhđặc biệt là học sinh khá, giỏi những kiến thức cơ bản về định lý Lagrange để giảitoán.Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung thêm của các bạn đồng nghiệp

để đề tài được hoàn thiện hơn; góp phần giúp giáo viên và học sinh chúng ta tiếntới cái “chân thiện mỹ” của Toán học

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm trong việc giải cácbài toán về bất phương trình và bất đẳng thức Từ đó đạt kết quả cao trong quátrình học toán nói chung và trong giải bất phương trình và bất đẳng thức nóiriêng

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Các dạng toán bất phương trình, bất đẳng thức trong chương trình toán phổ thôngđặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, các kỳ thi chọn học sinh giỏi

- Phạm vi nghiên cứu: Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗiloại

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứutôi đã sử dụng các phương pháp sau

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát: Công việc dạy – học của giáo viên và học sinh

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn: Lấy ý kiến giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp

- Phương pháp thực nghiệm

Phần II: NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo

nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông

đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của conngười Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng

Muốn học tốt môn toán học sinh cần phải nắm vững những tri thức khoahọc ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từngdạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy lôgic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán có hệ thống trong chương trình phổ thông, sự liên hệ logicgiữa các mảng kiến thức trong chương trình phổ thông Vận dụng lí thuyết vàolàm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải

Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các bấtphương trình, bất đẳng thức một cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm chỉ dừnglại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm trong việcgiải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinh vậndụng còn hạn chế và chưa linh hoạt, song các đề thi đại học, cao đẳng và thi họcsinh giỏi gần đây việc giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều

Đặc biệt là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về bất phương trình, bất đẳngthức giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn

2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạohàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải cácbất phương trình vô tỉ, mũ, lôgarit…nhưng học sinh chưa sử dụng nhiều kiếnthức này để giải toán vì

- Đạo hàm là phần kiến thức mới đối với học sinh, gắn với toán học hiện đại, họcsinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11 Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấpTHPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải bất phương trình và bất đẳng thức …và đãquen sử dụng các phương pháp giải toán đại số để giải

- Số lượng các bài toán giải bất phương trình và bất dẳng thức nêu trên xuất hiệnngày càng nhiều trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kỳ thi học sinh giỏi và phương pháp giải chủyếu là dùng đạo hàm

3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Để giúp học sinh giải tốt các bất phương trình trong các kì thi, giáo viêncần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương phápnhư: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụngtính đơn điệu của hàm số để giải

Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải bất phương trình vàbất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm và định lý Lagrange

để giải bài toán:’’ Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức và tìm

GTLN, GTNN của biểu thức’’

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 3.1 Nội dung định lý Lagrange:

Nếu là hàm liên tục trên đoạn , có đạo hàm trên khoảng

và thì tồn tại sao cho

( là số nguyên dương lớn hơn 1) trên thì có ít nhất nghiệm trên

Hệ quả 2: Nếu hàm số có đạo hàm trên và vô nghiệm trên thì có nhiều nhất một nghiệm trên

Hệ quả 3: Nếu có đạo hàm trên và có nhiều nhất nghiệm ( là số nguyên dương) trên thì có nhiều nhất nghiệm trên

- Bước 3: Từ đó biến đổi đưa về hệ thức cần chứng minh

3.2 Ứng dụng định lý Lagrange trong việc giải bất phương trình 3.2.1 Nội dung ứng dụng

Giả sử cho bất phương trình Trước hết tatìm nghiệm của phương trình dựa vào vận dụng định lý Lagrange vàcác hệ quả của nó Sau đó dựa vào tính liên tục của trên tập xác định đểsuy ra dấu của trên các khoảng, từ đó chỉ ra tập nghiệm của bất

tính liên tục của để suy ra dấu của trên các khoảng ,

từ đó chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình trên

biệt.Ta lại có suy ra phương trình có đúng hai nghiệm

và và giữ nguyên dấu trên từng khoảng đó

.Vậy nghiệm của bất phương trình là

Ví dụ 2 Giải bất phương trình

Lời giải Tập xác định của bất phương trình

Đặt Bất phương trình trở thành , do đó

Ta thấy vô nghiệm, suy ra có nhiều nhất một nghiệm, từ đó suy

ra có không quá hai nghiệm phân biệt

liên tục trên nên liên tục trên các khoảng

và giữ nguyên dấu trên các khoảng đó Ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

đó suy ra phương trình có không quá hai nghiệm phân biệt Mà

do đó có hai nghiệm phân biệt là và liên tục trên nên liên tục trên các khoảng và giữ nguyên dấu trong các khoảng đó Ta có

.Vậy nghiệm của bất phương trình là

Ví dụ 4 Giải bất phương trình

có nghiệm (Radian) không? Tại sao?

Lời giải: Bất phương trình tương đương với

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên đoạn , tồn tạisao cho

Vậy (Radian) không phải là nghiệm của bất phương trình do

Nếu trong giả thiết của định lý Lagrange ta thêm vào giả thiết đồng

Nếu nghịch biến trên thì

Từ đây cho ta ý tưởng ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức và đánh giá các tổng hữu hạn

Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức mà trong đó có sự

hàm trên khoảng ) Thông thường ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh vềdạng

Từ định lý Lagrange, do là hàm liên tục trên đoạn , có đạo hàm

trên khoảng nên tồn tại sao cho Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh chính là bất đẳng thức

3.3.2 Dạng toán ứng dụng

Chứng minh bất đẳng thức mà trong đó có sự tham giacủa hàm số nào đó, trong đó là hàm số liên tục trên đoạn , có đạo hàmtrên khoảng

3.3.3 Cách giải.

- Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng

- Chọn và xét hàm số thỏa mãn các điều kiện của bài toán Sau đó,

sử dụng định lý Lagrange, ta suy ra tồn tại sao cho

- Do đó ta có bất đẳng thức

3.3.4 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a < b Chứng minh rằng

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Xét hàm số

Do hàm liên tục trên và có đạo hàm trên với nên

theo định lý Lagrange tồn tại sao cho hay

mà

(đpcm)

Áp dụng định lý Lagrange đối với hàm số trên , thì tồn

tại sao cho

mà

do đó hàm số đồng biến trên nên

Ví dụ 4 Cho hàm số có đạo hàm là hàm liên tục trên Đặt và giả sử

Từ đó suy ra

Ví dụ 5 (Bất đẳng thức Bernoulli) Với mọi số thực x thỏa mãn chứng minh rằng

Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại sao cho

Do Lần lượt thay vào ta được

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được

4 Cho tam giác nhọn Chứng minh rằng

5 Cho Chứng minh rằng với hoặc , ta có

6 Cho là những số thực dương Chứng minh rằng

3 4.Ứng dụng định lý Lagrange trong tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

3.4.1 Nội dung ứng dụng.

Để dùng định lý Lagrange tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một biểu thức, ta phải chọn được hàm số thỏa mãn các điềukiện của định lý Lagrange, sau đó áp dụng định lý Lagrange kết hợp với các giảthiết của bài toán để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN, GTNN

3.4.2 Dạng toán được ứng dụng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định

3.4.3 Cách giải.

- Chọn và xét hàm số thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

- Sau đó, sử dụng định lý Lagrange, ta suy ra tồn tại sao cho:

- Kết hợp với các điều kiện của đầu bài để dẫn tới bất đẳng thức

- Ta chỉ ra dấu bằng xảy ra, từ đó suy ra GTLN của hàm là , còn

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

trên đoạn

Lời giải Xét hàm số

trên với

Ta có

suy ra hàm đồng biến trên nên

Theo định lý Lagrange, sao cho

Ví dụ 3 Cho các số thực không âm thỏa mãn và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sử , do đó Xét

Áp dụng định lý Lagrange, ta được

;

Đẳng thức xảy ra khi và các hoán vị Vậy

3.4.5 Bài tập vận dụng

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

2 Cho là số đo các góc của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

3 Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

4 1.Kết quả từ thực tiễn:

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạngphương trình, hệ phương trình như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫnhọc sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợptrên cơ sở giáo viên đưa ra ứng dụng của định lý Lagrange để học sinh có công

cụ để giải toán

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bàitập và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung họcchuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trìnhbày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó

4.2 Kết quả thực nghiệm:

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2020-2021

Sau khi đưa chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy trong lớp tôi thu

được kết quả trong 2 lần kiểm tra đánh giá như sau

Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụnggiải bất phương trình và bất đẳng thức

Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họabằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập vớicác mức độ khác nhau để các đối tượng học sinh tiếp cận một cách thuận lợinhất

Bên cạnh ứng dụng trong bất phương trình thì đạo hàm còn có rất nhiều

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

tìm max,min và bài toán có tham số Chính vì vậy ta có thể mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm.

Để việc sử dụng “Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương

trình, bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức ’’ có hiệu quả.

- Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm của bài học tùy vào từng bài,từng nội dung mà áp dụng những phương pháp giải một cách phù hợp

- Cần phải chú ý đến từng đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi, khám phá

- Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm những bài toán áp dụng từ dể đến khó

- Cho học sinh tự suy nghĩ đưa ra các bài tập bất phương trình, bất đẳng thức bằngphương pháp đạo hàm và công cụ của định lý qua đó giúp học sinh có hứng thú trong việc tìm ra bàitoán

Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đềtài không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định Rất mong nhận được sựgóp ý của đồng nghiệp và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tôi hoànthiện hơn nữa nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh

Cuối cùng tôi xin cảm các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý để tôi hoànthiện chuyên đề này

XÁC NHẬN CỦA THỦTRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021

không sao chép nội dung của người khác

Người viết:

Lê Thị Hương

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.

19