(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng hình học giải tích để tính góc trong các bài toán hình học không gian vận dụng, vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỂ TÍNH GÓC TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẬN DỤNG,... Hiện nay tro

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỂ TÍNH GÓC TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẬN DỤNG,

1.1 Lý do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng ngiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáodục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các SKKN đã được Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ mộtvai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩnăng giải toán, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con ngườilao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo,bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên trong quá trìnhgiảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11, 12 rất e ngại học môn hình học khônggian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính vì thế mà có rấtnhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khókhăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tậphình học không gian

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt

ra phương hướng giải quyết Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìmcác cách giải quyết khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới

lạ thì lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê học toán

Hiện nay trong các đề thi tốt nhiệp THPT, đề thi chọn học sinh giỏithường xuất hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lờigiải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như:

chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc vàkhoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận các lời giải đó thực tếcho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, nhất là học sinh có lực học trungbình và học lực khá Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình

mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ (hình học giảitích) tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa Vớinhững lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến

hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2021 với nội dung: “Ứng dụng hình học giải tích để tính góc trong các bài toán hình học không gian vận dụng, vận dụng cao”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Với việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ởmức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể tính được các bài toán về góc một cách dễ dàng thông qua côngthức có sẵn

- Thông qua SKKN này sẽ bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giảitoán, học sinh sẽ dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo racác bài toán mới

- Nâng cao khả năng tự học và khả năng giải các bài toán vận dụng, vận dụng cao trong quá trình ôn luyện và trong các kỳ thi học sinh giỏi

- Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh

có một cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp ứng dụng hình học giải tích trong HHKG

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Các bài toán tính góc vận dụng, vận dụng cao trong các đề thi

- Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương II-Thanh Hóa

1

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS)

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy)

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của học sinh và đối chứng)

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiếnthức được trình bày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao(chương III), các ví dụ được tổng hợp từ các bài tập trong Sách giáo khoa vàSách bài tập, các bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏicác cấp

Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có.

( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ( ))

Để ứng dụng hình học giải tích khi tính góc trong các bài toán hình học không

gian tổng hợp ta có “Ba bước cơ bản” sau đây:

+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp

+ Xác định tọa độ các điểm liên quan

+ Chuyển bài toán hình không gian tổng hợp về bài toán tương ứng trong không gian tọa độ và vận dụng các công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…).

Khi dạy học vấn đề này cho học sinh, giáo viên cần lưu ý học sinh một số kinh nghiệm khi chọn hệ trục tọa độ

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Về phía học sinh.

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 12, tôi nhận thấy khi dạy vềtính góc trong các bài toán HHKG, những câu ở mức độ nhận biết, thông hiểuđơn giản học sinh đều nắm được cách giải Tuy nhiên, khi gặp những câu vậndụng, vận dụng cao thì học sinh bị bế tắc, không định hướng được cách giải

Các câu dạng này, phần lớn là phức tạp và hầu như không được giải theo cáchthông thường, đòi hỏi học sinh phải có tư duy rất tốt mới phát hiện được vấn đề

để giải

Về sách giáo khoa.

Sách giáo khoa chỉ đơn thuần đưa ra các ví dụ về các câu tính góc đơngiản, không đề cập đến những câu vận dụng, vận dụng cao, vì vậy học sinh gặprất nhiều khó khăn khi đối mặt với những câu này trong các đề thi thử hoặc thihọc sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chuyên sâu về dạng toán này ít, không chỉ rõ cácdạng toán thường gặp, các hướng đề thi có thể ra

Về phía giáo viên.

Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian truyền tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần

mở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng

Trước khi tôi thực hiện đề tài này thì kết quả các bài kiểm tra chuyên đề

“Góc” trong hình học không gian của học sinh lớp 12 trong hai năm học liêntiếp của trường THPT Quảng Xương II được thể hiện qua bảng sau:

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy tôi thực hiện như sau:

- Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cũng như phương pháp

tổng quát hóa bài toán

- Khai thác, phát triển tính chất của bài toán tương tự

- Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát hiện sáng tạo, học sinh có thể trên cơ

sở bài toán tổng quát tự mình ra được những bài toán khác nhau

2.3.2 Nội dung: Tôi xin trình bày một số ví dụ và các bài tập tự luyện.

Dạng 1 Góc giữa đường thẳng và đường thẳng

Tìm hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng Khi đó góc giữahai đường thẳng xác định bởi

Ví dụ 1 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp có ba cạnh

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Nhận xét: Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải bài toán trên ta có

cách làm đơn giản dễ hiểu và có thể dùng cho mọi đối tượng học sinh Qua ví dụ

đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn Ta xét

ví dụ sau đây.

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy hình vuông Cho tam giác vuôngtại và góc bằng Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng đáy Gọi là trung điểm Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng

M

B H

x C

5

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

,

Ví dụ 3 (THPT Nam Trực Nam Định 2018) Cho hình chóp tứ giác đều

Tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng và tìm véc tơ pháp tuyến củamặt phẳng Khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng xác định bởi

Ví dụ 4 (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều có đáy

là hình vuông cạnh , tâm Gọi và lần lượt là trung điểm củahai cạnh và , biết Khi đó giá trị sin của góc giữa đường

Suy ra

Ví dụ 5 Cho hình chóp đáy là hình thang vuông tại và ,

trung điểm của và Tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt

Lời giải Chọn A

của mặt phẳng

Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp trong việc tính góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng thì lời giải trên rõ ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn kể cả với học sinh học ở mức độ trung bình.

Dạng 3 Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

Tìm hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng Khi đó góc giữahai mặt phẳng xác định bởi

8

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Nhận xét: Theo phương pháp tổng hợp việc tính góc giữa hai mặt phẳng hoàn

toàn không dễ, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức HHKG rất tốt và thường chỉ những học sinh giỏi mới làm được Tuy nhiên lời giải bằng tọa độ sẽ rất ngắn gọn, trực tiếp, và kể cả những học sinh khá cũng sẽ làm được câu này.

Ví dụ 6 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019)

Ví dụ 7 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông Gọi lần lượt là trung điểm của Vì là tam giác đều và

Ví dụ 8 (Kinh Môn Hải Dương 2019) Cho hình chóp có đáy

là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi

là trung điểm cạnh Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng

Lời giải

tứ diện đều cạnh Gọi , lần lượt là trung điểm của và

Lời giải

11

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Ví dụ 10 (Mã 102 2018) Cho hình lập phương có tâm Gọi

là tâm của hình vuông và là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho

Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng

Lời giải Chọn D

12

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng và :

Ví dụ 11 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật

Do là hình hộp chữ nhật nên là hình chiếu vuông góc của trên

Ta cóKết hợp với giả thiết ta được là hình vuông và có là tâm

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Vìtuyến là

tuyến của mặt phẳng

Vì chứa

Ta có

NếuNếu

A B C D.

đối xứng của qua trung điểm Gọi , lần lượt là trung điểm của

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâmcủa tam giác , gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ,tính biết rằng

là trung điểm của cạnh ; điểm thay đổi sao cho tam giác

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính sin của góc lớnnhất tạo bởi đường và mặt phẳng

tương ứng là trung điểm các đoạn . Tính Côsin góc giữa đường thẳng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

- Sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp cho tôi và các đồng nghiệp thực hiện tốt nhiệm vụ

và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một

hướng giải đúng và thích hợp khi gặp các bài toán tính góc HHKG khó trong các kỳ thi

- Học sinh thấu hiểu phương pháp để có thể tự xây dựng một lớp các bài toán tìm góc

có cùng hướng giải

16

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khá và giỏi lớp

11, 12 THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán

- Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số bài toán thường gặp tương ứng

các bài tập tự luyện Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học 2019-2020, 2020-2021 khi

giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải các bài toán tìm

góc trong các bài HHKG tổng hợp Các em hứng thú và đam mê học tập phần kiến thức này hơn,

ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên cũng đã

có kỹ năng giải các bài tập loại này Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể sau khi áp dụng sáng kiến

này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua

các bài kiểm tra lại chuyên đề về góc như sau:

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

3.1 Kết luận:

- Sau nhiều năm giảng dạy và thực tế kiểm nghiệm tôi nhận thấy nâng cao hứng thú

học tập cho học sinh (qua nhiều con đường) là một việc làm rất cần thiết từ đó góp phần phát triển năng

lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho học sinh và đây cũng là xu thế của dạy học hiện đại Các bài toán

của chuyên đề đã thể hiện rõ mục đích và đạt kết quả này (phù hợp với đổi mới dạy học)

- Đề tài đã khai thác được các dạng bài toán tìm góc trong HHKG có thể ứng dụng

hình học giải tích (phương pháp tọa độ) để chúng ta có thể thấy được các tính chất, các cách chứng minh,

… được mở rộng, được liên hệ với nhau một cách khá lôgic giúp cho việc dạy và học toán có hiệu quả

hơn, kiểu tư duy này được áp dụng trong thực tế giảng dạy và học tập tùy theo yêu cầu của chương trình,

của người học, người dạy mà ta lựa chọn bài tập phù hợp Trong việc dạy toán ở Trường THPT Quảng

Xương 2, tôi đã vận dụng kiểu tư duy này để dạy cho nhiều đối tượng, nhất là trong việc ôn tập cho học

sinh khá, giỏi Hình thành cho học sinh thói quen nhận dạng, tìm tòi hướng giải, tổng quát hóa thành các

dạng, sáng tạo trong học tập

- Để hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhất là việc ứng dụng trong việc giảng dạy và học

tập tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp rút kinh nghiệm của các đồng nghiệp để bài viết thêm

- Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng học sinh rất ngại khi giải cácbài toán tìm góc vận dụng, vận dụng cao phức tạp Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học phần này vàthấy được tầm quan trọng của nó, giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập phù hợp, đề ra giải pháp khigiải các bài toán tương tự và có thể hướng dẫn học sinh khái quát hóa thành các dạng Đưa các bài toánphức tạp về bài toán đơn giản hơn đề học sinh thấy quen thuộc và giải chúng được dễ dàng Giao viêncũng cân tach loc cac đôi tương hoc sinh đê tư đo co phương phap day hoc phu hơp.

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơnnữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyênmôn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưulại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triểnchuyên đề

- Học sinh cần tăng cường trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học

tập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc Phương pháp giải toán hình học NXB

Đại học sư phạm, 2004

2 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên

Hình học 12 NXB Giáo dục, 2008.

3 Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Bài tập hình học

4 Bộ GD&ĐT Tài liệu tập huấn Dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập theo định

hướng phát triển năng lực học sinh môn Toán Hà Nội, 2014.

5 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh,

Phan Văn Viện Sách giáo viên hình học 11 NXB Giáo dục, 2007.

6 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Lê Huy

Hùng Sách giáo viên hình học 12 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2008.

7 Các đề thi thử các trường trên cả nước (nguồn internet)