(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp

Trước kì thi TN THPT năm học 2020 - 2021 đến gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa từ các bài toán liên quan đến thể

Trang 1

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần nhữngcon người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục vàđào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàndiện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội Để đổi mới sự nghiệp giáo dục vàđào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có phương phápdạy học môn Toán Chính vì thế trong quá trình dạy học giáo viên cần phát huycao độ tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhằm đạt được kết quảcao nhất trong các giờ dạy Muốn vậy đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìmhiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa ra các phương pháp phù hợp vớikiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền đạt

Những năm gần đây trong đề thi TN THPT và đề thi HSG 12 có cả phần

cực trị về thể tích khối chóp Trước kì thi TN THPT năm học 2020 - 2021 đến

gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức

để có thể lấy được điểm tối đa từ các bài toán liên quan đến thể tích đặc biệt là

cực trị về thể tích của khối chóp Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp’’ Hy vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và

đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Kiến thức về thể tích khối chóp, góc và khoảng cách

- Kiến thức về bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki

- Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

- Học sinh lớp 12A35, 12B35 năm học 2020 - 2021 trường THPT Triệu

Sơn 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài

- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giảiquyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm 1

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Trang 2

được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vaitrò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt độngtương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạycách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là mộtnhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.

Trong bài “Khái niệm về thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình họclớp 12 đưa ra 2 khái niệm về thể tích như sau: “Thể tích khối chóp”; “Thể tíchkhối lăng trụ” Với 2 khái niệm này chúng ta đưa về 2 dạng toán tính thể tíchnhư sau:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp.

Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ.

Hai dạng toán trên là 2 dạng toán cơ bản, quan trọng và luôn có mặt trong

đề thi TN THPT và đề thi HSG Đặc biệt là dạng bài vận dụng: cực trị về thểtích khối chóp và cực trị về thể tích khối lăng trụ được phát triển trên nền 2 dạngtoán trên là các bài toán tương đối khó Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi chỉnghiên cứu dạng bài về cực trị thể tích khối chóp

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, cónhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh

là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm,điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởngrất nhiều đến kết quả học tập của các em

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để học tốt mônHHKG thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phánđoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình , kỹ năng trình bày chặt chẽ

và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đốitượng trong hình không gian Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu củakhông ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và

sợ học môn HHKG

Hơn nữa việc áp dụng kiến thức về thể tích của học sinh đa số mới chỉdừng lại ở mức độ nhận biết, rất ít học sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạokhi vận dụng kiến thức về thể tích để xử lý các bài toán cực trị, mà đa phần họcsinh tỏ ra lúng túng không định hình được cách giải

Phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm

vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác những bài toán khókhông có trong sách giáo khoa Ngoài ra số tiết theo phân phối chương trìnhdành cho phần này rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến thức mới.

2

Trang 3

+) Công thức tính thể tích khối chóp: trong đó

: Diên tich măt đay

: Chiêu cao cua khôi chop

B

+) Các hệ thức lượng trong tam giác:

+) Công thức tính diện tích tam giác

A

bc

C

Trang 5

Để tìm cực trị về thể tích của khối chóp ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Tính thể tích khối chóp cần tìm dựa vào các kiến thức đã học vàgiả thiết bài toán

Bước 2: Tìm cực trị của biểu thức cần tính bằng việc sử dụng bất đẳngthức hoặc sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng cực trị về thể tích khối chóp thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn, chính xác.

Dạng 1: Tìm cực trị về thể tích của khối chóp có 3 cạnh đôi một vuông góc.

Giả sử cho hình chóp có đôi một vuông góc với nhau

Khi đó:

là trực tâm tam giác + Dạng này thường dùng bất đẳng thức Côsi để xử lý cực trị

Nhận xét : Trước hết tôi đưa ra một ví dụ khá đơn giản với mục đích

giúp học sinh có thể tiếp cận dạng toán cực trị về thể tích một cách dễ hiểu nhất

và làm nhanh nhất.

Ví dụ 1: Trên ba tia vuông góc với nhau từng đôi một, lần lượt

đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn: Tính thể tích lớn của tứ

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết

Bước 2: Khai thác giả thiết và sử dụng linh hoạt bất đẳngthức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

Trang 6

Khi đó:

Vậy:

Ví dụ 2: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau,

độ dài các cạnh Tính thể tích lớn của tứ diện

Phân tích:

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

B

Nhận xét: ví dụ 2 này khó hơn ví dụ 1 ở chỗ tìm được mối quan hệ giữa

và trước khi áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Ví dụ 3: Cho tứ diện có đáy là tam giác vuông cân tại ,

, khoảng cách từ đến bằng Gọi là góc giữa hai mặtphẳng và , tính khi thể tích nhỏ nhất

Trang 7

Lời giải:

là trung điểm Gọi

Nhận xét: bài này có thể tính thể tích khối chóp theo rồi xét hàm, lập bảng biến thiên để suy ra giá trị nhỏ nhất của thể tích Tuy nhiên cách này dài hơn cách mà tác giả trình bày.

Ví dụ 4: Cho tứ diện có đôi một vuông góc Gọi lần lượt là góc giữa với Tính giá trị nhỏ nhất củabiểu thức sau:

Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2020-2021 Phân tích:

Bước 1: Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng

6

Trang 8

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị nhỏ nhất của biểuthức.

+ Thường dùng bất đẳng thức Côsi hoặc đạo hàm để xử lý cực trị

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với, cạnh bên và Tính thể tích lớn của khối chóp

đã cho

Phân tích:

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc xét hàm để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

7

Trang 9

theo

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết với chú ý

Lời giải:

8

Trang 10

Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

cho: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp biết

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa tỷ số thể tích

Bước 2: Sử dụng giả thiết và bất đẳng thức Côsi để suy ra

giá trị lớn nhất của thể tích

Lời giải:

9

Trang 11

Nhận xét: ở bài này ta dễ dàng thiết lập biểu thức thể tích khối chóp, tuy

nhiên cái khó của bài toán chính là việc áp dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi, điều này đòi hỏi học sinh biết cách vận dụng bất đẳng thức một cách thuần thục.

Dạng 3: Tìm cực trị về thể tích của khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.

Đối với dạng này đường cao của mặt bên vuông góc với đáy và chính làchiều cao của hình chóp, khi đó:

+ với là diện tích đáy, là chiều cao Tính được dựa vào giả thiết bài toán

+ Thường dùng bất đẳng thức Cosi hoặc đạo hàm để xử lý cực trị

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với

Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông gócvới đáy Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

Lời giải:

10

Trang 12

Gọi là trung điểm của

.Giả sử:

Khi đó:

S

A H

Vậy:

Ví dụ 2: Cho hình chópcó đáylà hình vuông cạnh .

Trang 13

Trang 14

khi lớn nhất Vì tam giác vuông tại nên :

Dạng 4: Tìm cực trị về thể tích của khối chóp đều.

Môt hinh chop đươc goi la hinh chop đêu nêu co đay la môt đa giac đêu

va co chân đương cao trung vơi tâm cua đa giac đay

+ Hinh chop đêu co cac măt bên la nhưng tam giac cân băng nhau Cac măt bên tao vơi đay cac goc băng nhau

+ Cac canh bên cua hinh chop đêu tao vơi măt đay cac goc băng nhau

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi là hai điểmthay đổi lần lượt thuộc cạnh sao cho luôn vuông góc với mặtphẳng Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thểtích khối tứ diện Tính

Trích đề thi thử SGD - Bắc Ninh năm 2018 Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích tứ diện dựa vào giả thiết Chú ý rằng:

hay luôn đi qua Bước 2: Quan sát hình, dựa vào dữ kiện bài cho đánh giá nhận xét tích lớn nhất, nhỏ nhất khi nào để suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích

Lời giải:

12

Trang 15

Gọi là tâm tam giác , ta A

Doluôn đi qua và

tứ diện đạt giá trị lớn nhất, giá trị của tổng bằng bao nhiêu?

Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2020-2021 Đây cũng là dạng bài trong câu 50 đề Sở GD Sơn La năm 2020-2021 Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích tứ diện dựa vào giả thiết Chú ý rằng:

là tứ diện đều nên là tâm tam giác đều Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện , rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

Lời giải:

13

Trang 16

Đặt Dựng

Do

mà là tứ diện đều nên là tâm tam

giác đều Trong tam giác vuông :

Dấu bằng xảy ra khi

Nhận xét: hai ví dụ trên giả thiết tương tự nhau, tuy nhiên với cách hỏi

khác nhau đã tạo nên hai bài toán riêng biệt tạo hứng thú, khơi dậy được đam

mê học toán cho các em đặc biệt là những học sinh khá, giỏi.

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều có cạnh bằng , góc tao bởi đườngcao của hình chóp và mặt bên bằng Tìm để là lớn nhất

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích hình chóp đều theo

Bước 2: Thiết lập hàm số và lập bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích

Lời giải:

Trang 23

Gọi là trung điểm của

Ví dụ 1: Xét khối tứ diện có cạnh và các cạnh còn lại đềubằng Tìm để thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất

Trích mã đề 110 năm 2017 Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích tứ diện dựa vào giả thiết

Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện , rồi xét hàm số và lập bảng biên thiên để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

Lời giải:

Cách 1:

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vì

là hình chiếu của trên

Trang 24

Dấu “=” xảy ra khi:

A N

M C

Nhận xét: ví dụ 1 này có rất nhiều cách giải khác nhau, ở đây tác giả

giới thiệu hai cách khai thác lời giải ngắn gọn giúp học sinh có cái nhìn dễ hiểu,làm nhanh và chính xác nhất.

trọng tâm Mặt phẳng đi qua trung điểm của cắt các cạnh

lần lượt tại Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích:

Bước 1: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của các vectơ

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để suy ra giá trị nhỏ nhất

16

Trang 25

Nhận xét: ta có thể dùng phương pháp đặc biệt hóa để giải ví dụ trên Vì

bài toán trên đúng với mọi hình chóp nên đúng trong trường hợp hình chóp có 3 cạnh đôi một vuông góc rồi tọa độ hóa.

Ví dụ 3: Cho hình chóp có thỏa mãn: Giá trị lớn nhất của khối chóp là:

Trang 26

Ta có: S

Mặt khác:

E A

Vậy :

Nhận xét: Bài này có thể làm theo cách khác: khai thác tính chất tứ diện

gần đều: đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với hai cạnh đó.

2.3.4 Hệ thống bài tập tự Bài 1: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi là hai điểmtheo thứ tự di động trên hai cạnh sao cho Khi đó thểtích tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trích đề thi thử Sở GD Sơn La năm 2020-2021

Bài 2: Cho hình chóp có thể tích bằng , đáy là hìnhbình hành Mặt phẳng song song với cắt các đoạn

tương ứng tại ( khác và không nằm trên ) Cácđiểm , tương ứng là hình chiếu vuông góc của lên

Thể tích lớn nhất của khối đa diện là:

Trích đề thi thử của trường THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần 3 năm 2018

lớn nhất của khối chóp là

Trích đề thi thử của trường Chuyên Thái Bình – Lần 3 năm 2018

Trang 27

Bài 4: Cho hình chóp có độ dài các cạnh ,

, thỏa mãn Tính giá trị lớn nhất củathể tích khối chóp

Trích đề thi thử của trường THPT chuyên Thái Nguyên - Lần 2 năm 2018

giác Các đường thẳng qua và song song với lần lượt cắt

các mặt phẳng tại Giá trị lớn nhất của khối

là:

Trích đề thi thử của trường Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An- Lần 1 năm 2018

, cạnhthay đổi Thể tích lớn nhất của khối chóplà:

bên Điểm thay đổi trên , là hình chiếu của

lên Khi thay đổi trên , tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

Bài 8: Cho tứ diện có đôi một vuông góc Gọi

lần lượt là góc giữa với Tính giá trị nhỏ nhất của biểu

thức sau:

Tính tổng khi thể tích khối chóp lớn nhất

19

Trang 28

Trang 29

Bài 10: Cho hình chóp có , các cạnh còn lạiđều bằng Biết rằng thể tích khối chóp lớn nhất khi và chỉ khi

Mệnh đề nào sau đây đúng?

mặt phẳng tại , ta lấy điểm di động không trùng Hình chiếuvuông góc của lên lần lượt là Tìm giá trị lớn nhất của thể tíchkhối tứ diện

khối tứ diện lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳngbằng:

Bài 14: Cho khối chóp có , các cạnh còn lạicủa hình chóp đều bằng Khi thể tích của khối chóp lớn nhất thì giá trịcủa biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây ?

Trang 30

Bài 16: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Gọi

là trung điểm của Mặt phẳng qua và cắt các cạnh lần

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán cực trị đồng

thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng toán, tôi thấy học sinh thoải

mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn Từ đó nhận được kết

quả kiểm tra tiến bộ rõ rệt

Cụ thể, qua kiểm tra thử nghiệm hai lần với học sinh của các lớp 12A35 và

12B35, mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài

ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều so với lần 1 Kết quả khảo sát và thực

nghiệm như sau:

Kết quả kiểm tra lần 1

Tiêu đề	Rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp
Trường học	Trường THPT Triệu Sơn 3
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Thanh Hóa

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	2,14 MB

(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1 Kết luận