(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán cực trị hình học trong hệ tọa độ OXYZ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... Thưc trang vấn đê trươc khi ap dung sang kiên kinh nghiêm... Cac sang kiên kinh nghiêm hoă

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỤC LỤC

1.1 Lý do chọn đề tài

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề

2.4 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Bài toán cơ bản

2.4.2 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn một

số tính chất

2.4.3 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc đường thảng thỏa mãn

một số tính chất

2.4.4 Bài toán cực trị liên quan đến phương trình mặt phẳng theo đoạn

chắn

2.4.5 Bài toán cực trị liên quan đến số mặt cầu

2.4.6 Bài toán cực trị liên quan đến số khoảng cách

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

của bản thân và đồng nghiệp

2.5.2 Bài học kinh nghiệm

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

I MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Mục đích của việc dạy toán là hì̀nh thà̀nh và̀ phá́t triể̉n tư duy toá́n họ ̣c họcsinh, tạ ̣o cho họ ̣c sinh vố́n kiế́n thứ́c và̀ vậ̣n dụ ̣ng kiế́n thứ́c và̀o thự̣c tiễn Vì̀ vậ̣yviệ̣c xây dự̣ng cho họ ̣c sinh phương phá́p học tập và tự nghiên cứu từng dạ ̣ng toá́nlà̀ hế́t sứ́c cầ̀n thiế́t

Trong cá́c đề̀ thi tố́t nghiệ̣p trung họ ̣c phổ thông Quốc gia thườ̀ng xuấ́t hiệ̣n cá́cbà̀i toá́n về̀ phương phá́p tọ ̣a độ̣ trong không gian Các bài toán về tọ ̣a độ̣ trongkhông gian rấ́t đa dạ ̣ng phong phú Cự̣c trị ̣ hì̀nh họ ̣c trong tọ ̣a độ̣ trong không gianlà̀ mộ̣t dạ ̣ng toá́n khó đòi hỏ̉i họ ̣c sinh phả̉i nắm vũng kiến thức SGK và kỹ năng

tư duy sáng tạo

Khi dạ ̣y chương phương phá́p tọ ̣a độ̣ trong không gian bả̉n thân tôi luôn trăntrở̉ :là̀m thế́ nà̀o để̉ họ ̣c sinh đọ ̣c đề̀ thi thấ́y co câu cự̣c trị ̣ hì̀nh họ ̣c trong khônggian thì họ ̣c sinh co đủ tự tin để giải được Chính vì vậ̣y tôi đã̃ chuẩn bị ̣ mộ̣t đề tài:

“ Rèn luyên kỹ năng giải một số bài toán cực trị hình học trong hê toa đô Oxyz “

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Là̀m tà̀i liệ̣u họ ̣c tậ̣p cho nhữ̃ng em họ ̣c sinh

- Phá́t triể̉n ý́ tưở̉ng sá́ng tạ ̣o cá́c bà̀i toá́n mớ́i dự̣a trên cá́c kiế́n thứ́c đã̃ họ ̣c

- Giup học sinh hình thành nhân cách con người mới đáp ứng với yêu cầu đoi hỏi của xãhội

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Hệ̣ thố́ng kiế́n thứ́c về hệ tọa độ trong không gian cho họ ̣c sinh lớ́p 12

- Giúp họ ̣c sinh rèn luyệ̣n kỹ̃ năng vận dụng để̉ giả̉i quyế́t cá́c bà̀i toá́n liên

quan đế́n hệ tọa độ trong không gian ,…

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương phá́p điề̀u tra và̀ khả̉o sá́t thự̣c tế́

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Có sứ́c hấ́p dẫn vớ́i họ ̣c sinh và̀ cá́c bạ ̣n yêu môn toá́n

- Từ cá́c kiế́n thứ́c đã̃ họ ̣c Họ ̣c sinh có thể̉ phá́t triể̉n đượ̣c cá́c ý́ tưở̉ng sá́ng tạ ̣o xây dự̣ng đượ̣c cá́c bà̀i toá́n mớ́i

2.1 Cơ sở ly luận cua sang kiên kinh nghiêm.

Sử dụng kiến thức học sinh đã học ở Chương 3.Phương pháp tọa độ

trong không gian

2.2 Thưc trang vấn đê trươc khi ap dung sang kiên kinh nghiêm.

- Đố́i vớ́i họ ̣c sinh đây là̀ dạ ̣ng toá́n mớ́i dự̣a trên cá́c kiế́n thứ́c tổng hợ̣p đã̃ họ ̣c

- Hệ̣ thố́ng bà̀i tậ̣p vậ̣n dụ ̣ng sá́ch giá́o khoa chưa đề̀ cậ̣p đế́n và̀ sá́ch bồ̀i dưỡng thì̀ không có

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

- Mộ̣t số́ đề̀ thi thử̉ THPT Quố́c gia trên mạ ̣ng Internet có đề̀ cậ̣p mộ̣t số́ bà̀i toán songkhông có lờ̀i giả̉i chi tiế́t và̀ họ ̣c sinh cũ̃ng không có điề̀u kiệ̣n,phương tiệ̣n để̉ tiế́p cậ̣n đượ̣c.

- Trong qua trì̀nh dạ ̣y họ ̣c trên lớ́p hệ̣ thố́ng bà̀i tậ̣p và̀ phương phá́p giả̉i cá́c bà̀i toá́n liênquan đế́n gắn tọa độ cá́c Thầ̀y,Cô cũ̃ng chưa chú ý́ đế́n vì̀ có nhiề̀u lý́ do

2.3 Cac sang kiên kinh nghiêm hoặc cac giải phap đã sử dung đê giải quyêt vấn đê.

- Để̉ là̀m sá́ng kiế́n kinh nghiệ̣m nà̀y Tôi đã̃ sử̉ dụ ̣ng mộ̣t số́ bà̀i toá́n trên mạ ̣ng và̀ chủ̉yế́u phả̉i tự̣ là̀m.Sau đó sắ́p xế́p cá́c bà̀i tậ̣p theo trì̀nh tự̣ hệ̣ thố́ng kiế́n thứ́c Hình học 12 chương 3 hiệ̣nhà̀nh

- Trong quá́ trì̀nh là̀m đề̀ tà̀i Tôi có cho họ ̣c sinh là̀m để̉ điề̀u chỉnh bà̀i toá́n sao cho phù hợ̣p vớ́i mứ́c độ̣ yêu cầ̀u củ̉a họ ̣c sinh và̀ đề̀ thi THPT Quố́c gia

2.4 Nôi dung sang kiên kinh nghiêm . 2.4.1 Bai toan cơ bản: Trong không gian vớ́i hệ̣ Oxyz cho hai điể̉m A, B và̀ mặt

phẳng (P).Tì̀m điể̉m M trên (P) sao cho MA+MB lớn nhất , lớ́n nhấ́t

Cách giả̉i:Tì̀m điể̉m M trên (P) sao cho MA+MB lớn nhất , lớ́n nhấ́tXét trường hợp A,B nằm khác phía với mặt phẳng (P)

Bước 1:

Tì̀m toạ ̣ độ̣ cá́c điể̉m H, K theo thứ́ tự̣ là̀ hì̀nh chiế́u vuông góc củ̉a A, B lên (P)

Bước 2: Tí́nh cá́c độ̣ dà̀i AH, BK từ đó tì̀m đượ̣c điể̉m chia vé́c tơ theo tỷ số́ ( Gọ ̣i là̀ điể̉m chia theo tỷ số́ );

Bước 3: Lấy điểm M bất ky Chứ́ng minh (MA + MB) min khi và̀ chỉ khi M trùng

vớ́i NThậ̣t vậ̣y: Gọ ̣i A2 là̀ điể̉m thuộ̣c mặ̣t phẳ̉ng (B; (d)),A2, B khá́c phí́a đố́i vớ́i (P) và̀

Xét trường hợp A,B cung phía với mặt phẳng (P).

Chứng minh tương tự lớ́n nhấ́t M là giao điểm của đường thẳng AB với

Bai toan mở rông: Trong không gian vớ́i hệ̣ Oxyz cho hai điể̉m A, B và̀ đường

thẳng (d) Tì̀m điể̉m M trên (d) sao cho MA+MB lớn nhất ,

Cách làm hoàn toàn tương tự.

Ta thấ́y rằ̀ng điể̉m A và̀ B nằ̀m cùng phí́a so vớ́i mặ̣t phẳ̉ng nên ta sẽ lấ́y

Tọ ̣a độ̣ I là̀ giao điể̉m củ̉a đườ̀ng thẳ̉ng AA’ và̀ mặ̣t phẳ̉ng là̀

Dấ́u “=” xả̉y ra khi và̀ chỉ khi điể̉m

Ta có phương trì̀nh đườ̀ng thẳ̉ng

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Xé́t hệ̣ .

Bai tập tương tư:

Bai 2 Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ Oxyz cho hai điể̉m A 1; 0; 2 ; B 0; 1; 2 và̀

mặ̣t phẳ̉ng Tì̀m tọ ̣a độ̣ điể̉m thuộ̣c P sao cho MA MB

Bai toan gôc: Tì̀m điể̉m M thuộ̣c mặ̣t phẳ̉ng sao cho:

T = aMA2 + bMB2 + cMC2 lớ́n nhấ́t (nhỏ̉ nhấ́t)

Cách giả̉i: Gọ ̣i G là̀ điể̉m thỏ̉a mã̃n :

T đượ̣c biể̉u diễn:

+) Nế́u a + b + c > 0 ta có Tmin MGmin M là̀ hì̀nh chiế́u củ̉a G lên (P)+) Nế́u a + b + c < 0 ta có Tmax MGmin M là̀ hì̀nh chiế́u củ̉a G lên (P)

Khi đó là̀ đườ̀ng thẳ̉ng đi qua và̀ nhậ̣n vectơ phá́p tuyế́n củ̉a là̀m vectơ

Lời giả̉i Chọn B

nhỏ̉ nhấ́t khi và̀ chỉ khi nhỏ̉ nhấ́t khi và̀ chỉ khi là̀ hì̀nh

chiế́u vuông góc củ̉a trên mặ̣t phẳ̉ng Khi đó là̀ đườ̀ng thẳ̉ng đi qua và̀

nhậ̣n vectơ phá́p tuyế́n củ̉a là̀m vectơ chỉ phương

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Vi du 3 Trong không gian vớ́i hệ̣ trụ ̣c tọ ̣a độ̣ Oxyz , cho A 1;1;1 , B 0;1; 2 ,

C 2; 0;1 P : x y z 1 0 Tì̀m điể̉m N P sao cho S 2NA 2 NB 2 NC2 đạ ̣t

g

L

D

Gọ ̣i là̀ đườ̀ng thẳ̉ng đi qua 0;

3

;

5và̀

I

Tọ ̣a độ̣ điể̉m N là̀ nghiệ̣m củ̉a hệ̣ phương trì̀nh

Ta có AB 1; 1; 2 ; vé́ctơ phá́p tuyế́n củ̉a mặ̣t phẳ̉ng Q : n P 3;1; 1

và̀ hai điể̉m A, B nằ̀m về̀

Vì̀ AB.n P 0 suy ra AB song song vớ́i mặ̣t phẳ̉ng P

tí́ch nhỏ̉ nhấ́t, suy ra S ABC

Phương trì̀nh tổng quá́t củ̉a mặ̣t phẳ̉ng Q là̀:

1 x 1 7 y 4 z 2 0 x 7 y 4 z 7 0

Vậ̣y quỹ̃ tí́ch điể̉m

M x 7 y 4 z 7 0

Vi du 5: Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣

cắ́t mặ̣t phẳ̉ng tạ ̣i Điể̉m nằ̀m trongmặ̣t phẳ̉ng sao cho luôn nhì̀n dướ́igóc vuông và̀ độ̣ dà̀i lớ́n nhấ́t

Tí́nh độ̣ dà̀i

Lơi giả̉i.Chọn D

8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Khi đó

Bai tập tương tư.

Bai 3: Trong không gian , cho mặ̣t phẳ̉ng

2.4.3 Bai toan cưc tri liên quan đên điêm thuôc đương thẳng thỏa mãn môt sô

tinh chất.

Lời giả̉i Chọn C Ta co

Do đó:

Vi du 2 Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ Oxyz cho đườ̀ng thẳ̉ng có phương trì̀nh

biể̉u thứ́c đạ ̣t giá́ trị ̣ nhỏ̉ nhấ́t

Lời giả̉i Chọn A.

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Ta có

Do đó

Gọ ̣i là̀ điể̉m thỏ̉a mã̃n và̀

suy ra , nằ̀m về̀ hai phí́a so vớ́i

Vi du 4: Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ cho bố́n điể̉m

.Gọ ̣i là̀ đườ̀ng thẳ̉ng đi qua và̀ thỏ̉a mã̃n tổng khoả̉ngcá́ch từ cá́c điể̉m đế́n là̀ lớ́n nhấ́t Hỏ̉i đi qua điể̉m nà̀o trong cá́cđiể̉m dướ́i đây?

Lơi giả̉i Chọn A.

Nhậ̣n thấ́y A, B, C, D đồ̀ng phẳ̉ng, cùng thuộ̣c mặ̣t phẳ̉ng .

đườ̀ng thẳ̉ng đi qua , vuông góc vớ́i đườ̀ngthẳ̉ng đồ̀ng thờ̀i cá́ch điể̉m mộ̣t khoả̉ng bé́

nhấ́t

Lơi giả̉i Chọn D

Gọ ̣i là̀ mp đi qua và̀ vuông góc vớ́i

Gọ ̣i lầ̀n lượ̣t là̀ hì̀nh chiế́u củ̉a lên và̀

toá́n thì̀ và̀ đi qua D.

Tứ́c là̀ đườ̀ng thẳ̉ng qua và̀ vuông

góc vớ́i DJ.Ta lầ̀n lượ̣t thử̉ cá́c trườ̀ng hợ̣p xem hay không thì̀ ta thấ́y

Lúc nà̀y thử̉ tổng khoả̉ng cá́ch từ A, B, C đế́n là̀ lớ́n nhấ́t.

Cách khác Dề̀ dà̀ng có phương trì̀nh mp là̀

đằ̀ng thứ́c đạ ̣t đượ̣c khi .Vậ̣y vtcp củ̉a là̀ vtpt củ̉a mp là̀

Bai tập tương tư.

Bai 1: Trong không gian tọ ̣a độ̣ cho cá́c điể̉m , và̀ đườ̀ng

trị ̣ nhỏ̉ nhấ́t Tí́nh tổng ?

Điể̉m và̀ sao cho đoạ ̣n thẳ̉ng

giá́ trị ̣ nhỏ̉ nhấ́t

2.4.4 Bai toan cưc tri liên quan đên phương trinh mặt phẳng theo đoan chắn.

Vi du 1 Trong không gian cho điể̉m M 1; 3; 2 Có bao nhiêu mặ̣t phẳ̉ng đi qua

M và̀ cắ́t cá́c trụ ̣c tọ ̣a độ̣ tạ ̣i A, B , C mà̀ OA OB OC 0

Do đó: không tồ̀n tạ ̣i mặ̣t phẳ̉ng P trong trườ̀ng nà̀y

Trường hợp 2: a cùng dấ́u b và̀ trá́i dấ́u vớ́i c

Từ a b c phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng P : a x a y a z 1 x y z a 0

M 1; 3; 2 P 1 3 2 a 0 a 4P : x y z 4 0

Trường hợp 3: a cùng dấ́u c và̀ trá́i dấ́u vớ́i b

Từ a c b phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng P : a x a y a z 1 x y z a 0

M 1; 3; 2 P 1 3 2 a 0 a 7P : x y z 7 0

Trường hợp 4: b cùng dấ́u c và̀ trá́i dấ́u vớ́i a

Từ b c a phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng P : a x a y a z 1 x y z a 0 12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

M 1; 3; 2 P1 3 2 a 0 a 2P : x y z 2 0

Vậ̣y từ cá́c trườ̀ng hợ̣p trên có 3 mặ̣t phẳ̉ng thỏ̉a mã̃n

Vi du 2 Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ Oxyz cho điể̉m E(8;1;1) Viế́t phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng ( ) qua E và̀ cắ́t nử̉a trụ ̣c dương Ox , Oy , Oz lầ̀nlượ̣t tạ ̣i A, B , C sao cho OG nhỏ̉ nhấ́t vớ́i G là̀ trọ ̣ng tâm tam giá́c ABC

Lời giả̉i Chọn D.Giả̉ sử̉ A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c , a, b, c 0

Vậ̣y phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng là̀ x 2 y 2z 12 0

Vi du 3 Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ Oxyz , cho điể̉m M 1; 2;1 Mặ̣t phẳ̉ng

P thay đổi đi qua M lầ̀n lượ̣t cắ́t cá́c tia Ox , Oy , Oz tạ ̣i A, B , C khá́c O Tí́nh giá́

trị ̣ nhỏ̉ nhấ́t củ̉a thể̉ tí́ch khố́i tứ́ diệ̣n OABC

Lời giả̉i Chọn C.Giả̉ sử̉ A a; 0; 0 ; B 0; b; 0 ; C 0; 0;c Do cắ́t cá́c tia nên: a ; b

1 P đi qua M 1; 2;1

nên: 1a b2 1c 1 Áp dụ ̣ng bấ́t đẳ̉ng thứ́c Cauchy ta có:

Vi du 4.Trong không gian vớ́i hệ̣ toạ ̣ độ̣ Oxyz , cho P : x 4 y 2 z 6 0 ,

Q và̀ cắ́t cá́c trụ ̣c tọ ̣a độ̣ tạ ̣i cá́c điể̉m A, B , C sao cho hì̀nh chóp O ABC là̀ hì̀nhchóp đề̀u

Lời giả̉i.Chọn B.

độ̣ củ̉a A m; 0; 0 hoặ̣c A m; 0; 0 ; củ̉a B 0; m; 0 hoặ̣c B 0; m; 0 và̀

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

C 0;0; m vớ́i m 0 Giả̉ sử̉ A m; 0; 0 ; B 0; m; 0 ; C 0;0; m theo phương trì̀nhđoạ ̣n chắ́n ta

n 1;1;1

tương tự̣ ta có cá́c vectơ phá́p tuyế́n khá́c là̀ n2 1;1;1 , n3 1; 1;1 , n4

.Tì̀m mộ̣t điể̉m giao củ̉a

Phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng : 1 x 0 1 y 3 1 z 3 0 x y z 6 0

Vi du 5 Trong không gian vớ́i hệ̣ toạ ̣ độ̣ Oxyz, cho mặ̣t phẳ̉ng (a) đi qua điể̉m

M (1;2;3) và̀ cắ́t cá́c trụ ̣c Ox, Oy, Oz lầ̀n lượ̣t tạ ̣i A , B ,C ( khá́c gố́c toạ ̣ độ̣ O ) sao

cho M là̀ trự̣c tâm tam giá́c ABC Mặ̣t phẳ̉ng (a) có phương trì̀nh là̀:

ABC có phương trì̀nh: 1 x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2 y 3 z 14 0.

Vi du 6 Trong không gian vớ́i hệ̣ toạ ̣ độ̣ Oxyz , cho điể̉m N 1;1;1 Viế́t phương trì̀nh

mặ̣t phẳ̉ng P cắ́t cá́c trụ ̣c Ox , Oy , Oz lầ̀n lượ̣t tạ ̣i A, B , C (không trùng vớ́i gố́c

tọ ̣a độ̣O ) sao cho N là̀ tâm đườ̀ng tròn ngoạ ̣i tiế́p tam giá́c ABC

(do ABC có 3 góc nhọ ̣n và̀ có tâm đườ̀ng tròn ngoạ ̣i tiế́p N 1;1;1 nên ta có

a , b , c 1)

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Từ (1) và̀ (2) ta có: a b c 3.Vậ̣y phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng P : x y z 3 0

Vi du 7: Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ , cho

Khi mặ̣t phẳ̉ng thay đổi thì̀ diệ̣n tí́ch tam giá́c đạ ̣t giá́ trị ̣ nhỏ̉ nhấ́t bằ̀ngbao nhiêu?

Lơi giả̉i Chọn A.

Bai tập tương tư:

Bai 1.Có bao nhiêu mặ̣t phẳ̉ng đi qua điể̉m M 1;9; 4 và̀ cắ́t cá́c trụ ̣c tọ ̣a độ̣ tạ ̣icá́c điể̉m A , B ,C khá́c gố́c tọ ̣a độ̣ sao cho OA OB OC

Bai 2.Phương trì̀nh mặ̣t phẳ̉ng nà̀o sau đây đi qua điể̉m M 1; 2;3 và̀ cắ́t ba tia

Ox , Oy , Oz lầ̀n lượ̣t tạ ̣i A, B , C sao cho thể̉ tí́ch tứ́ diệ̣n OABC là̀ nhỏ̉ nhấ́t

Bai 3.Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ Oxyz , cho điể̉m H 1; 2;3 Mặ̣t phẳ̉ng

đi qua điể̉m H , cắ́t Ox , Oy , Oz tạ ̣i A, B , C sao choH là̀ trự̣c tâm củ̉a tam giá́c Phương trì̀nh củ̉a mặ̣t phẳ̉ng P là̀

A. P : 3 x y 2 z 11 0 B. P : 3 x 2 y z 10 0

C. P : x 3 y 2 z 13 0 D. P : x 2 y 3 z 14 0 Bai 4.Trong không gian vớ́i hệ̣ tọ ̣a độ̣ , cho điể̉m Mặ̣t phẳ̉ng

nhỏ̉ nhấ́t có phương trì̀nh là̀:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

2.4.5 Bai toan cưc tri liên quan đên mặt cầu.

Vi du1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3; 0; 2 , B 1; 2; 4 và̀ mặ̣t cầ̀u (S):

x2 ( y 2)2 ( z 1)2 25 Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A , B và cắ́tmặ̣t cầ̀u S theo mộ̣t đườ̀ng tròn bá́n kí́nh nhỏ̉ nhất là̀

Lời giả̉i Chọn D.

(S) có tâm I (0; 2;1) và̀ bá́n kí́nh R 5. AB ( 2;2;2); IA (3;2;1).

r 2 R 2 IH 2 vớ́i H là̀ hì̀nh chiế́u vuông góc củ̉a I lên mặ̣t phẳ̉ng .

Gọ ̣i K là̀ hì̀nh chiế́u vuông góc củ̉a I lên lên đườ̀ng thẳ̉ng AB

Vi du 2 Trong không gian Oxyz ,cho mặ̣t

phẳ̉ng P : 2 x 2 y z 9 0 và̀ mặ̣t cầ̀u

(S) : (x 3)2 ( y 2)2 ( z 1)2 100 Tọ ̣a độ̣

điể̉m M nằ̀m trên mặ̣t cầ̀u (S) sao cho

khoả̉ng cá́ch từ điể̉m M đế́n mặ̣t phẳ̉ng (P)

đạ ̣t giá́ trị ̣ lớ́n nhấ́t là̀

đườ̀ng tròn.Gọ ̣i H là̀ hì̀nh chiế́u vuông góc củ̉a I trên P Tia IH cắ́t mặ̣t cầ̀u S tạ ̣i Q

và̀ tia đố́i củ̉a tia IH cắ́t mặ̣t cầ̀u S tạ ̣i K Khi ấ́y, KQ là̀ đườ̀ng kí́nh củ̉a

mặ̣t cầ̀u S Gọ ̣i N, J lầ̀n lượ̣t là̀ hì̀nh chiế́u vuông góc củ̉a M trên P và̀ củ̉a M trên

KQ MQK tạ ̣i M nên J nằ̀m trên cạ ̣nh KQ

Ta có MJHN là̀ hì̀nh chữ̃ nhậ̣t ( N H J 90 ) MN HJ và̀ 0 HJ HK (Vì̀ HK 16 HQ 4 ) max d

M ; P HK 16 Dấ́u " " xả̉y ra khi M K IH đi

qua I 3; 2;1 và̀ có vtcp u n P 2; 2; 1 K IH

K 3 2t ; 2 2t ;1 t