SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN NHẰM NÂNG
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN DẠNG
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM
ẨN NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ THI TỐT NGHIỆP THPT
TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH
Người thực hiện: Lê Thị Tuyết
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HOÁ NĂM 2021
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 2MỤC LỤC
1 Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài1.2 Mục đích nghiên cứu1.3 Đối tượng nghiên cứu1.4 Phương pháp nghiên cứu
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của SKKN2.2 Thực trạng trước khi áp dụng SKKN2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề2.3.1 Sử dụng tích chất cơ bản của tích phân
2.3.2 Phương pháp đổi biến2.3.3 Dùng phương pháp tích phân từng phần2.3.4 Tính tích phân của hàm số khi biết đẳng thức giữa và2.4 Hiệu quả của SKKN
3 Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.
Nghị quyết số 29 NQ/TW của Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI
về đổi mới giáo dục toàn diện đã đặt ra nhiều yêu cầu mới trong sự nghiệp pháttriển giáo dục và đào tạo hiện nay Để đáp ứng những yêu cầu này, đòi hỏingười thầy phải luôn tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra những phương pháp dạy họcphù hợp với từng đối tượng học sinh
Ý thức được vai trò của người thầy trong sự nghiệp đổi mới giáo dục, tôi luôn họctập, nghiên cứu để nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp học dạy học, tạo ra hứng thútrong học tập cho các em
Toán học là một môn có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Những kiến thức
cà kĩ năng của toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trongcuộc sống một cách chính xác và hệ thống Vì vậy, toán học luôn nhận được sựquan tâm đặc biệt của học sinh, nhất là đối với các học sinh chuẩn bị bước vào
kì thi Tốt nghiệp trung học phổ thông Các dạng toán xuất hiện trong các đề thirất đa dạng từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao, đòi hỏi học sinh phải pháthuy phải phát huy tối đa tính sáng tạo và nắm bắt bản chất vấn đề để giải quyếtmột cách nhanh chóng
Một trong những dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Tốtnghiệp THPT là những bài toán liên quan đến tích phân hàm ẩn Đối với dạngtoán này, hệ thống bài tập sách giáo khoa chỉ đề cập đến những bài toán ở mức
độ dễ, trên lớp không có nhiều thời gian để học sinh rèn luyện, các tài liệu trêninternet cũng khá nhiều, nhưng hầu như cũng chỉ đưa ra bài giải mà ít giải thíchtại sao và làm thế nào để biến đổi được như vậy Do đó, học sinh thường lúngtúng trong việc tìm ra hướng giải, thậm chí không có định hướng trong việc tìm
ra lời giải, dẫn tới việc khoanh “lụi” đáp án
Nhằm giúp các em có hứng thú học tập phần tích phân hàm ẩn, trang bị tốt
kĩ năng giải toán và chuẩn bị thật tốt cho kì thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài
“Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các bài toán tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường THPT Lang Chánh” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của nghiên cứu là giúp học sinh làm rõ vấn đề còn lúng túng,thậm chí không tìm ra hướng giải quyết của dạng toán tích phân hàm ẩn Gópphần gây hứng thú học tập cho học sinh Hơn nữa, nghiên cứu còn là một tài liệutốt để phục vụ cho công tác dạy học và ôn thi cho học sinh của mình và chia sẻđến các đồng nghiệp
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu tổng hợp về các phương pháp giải tích phân hàm ẩn
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
2UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 4Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến đề tài củamình như sách giáo khoa, các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề minh họa, đề thi thử của các trường trên
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Ta đã biết, “tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bảnchất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiệntượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [1] Hoàn cảnh (tìnhhuống) có vấn đề kích thích con người tư duy Vì thế trong dạy học cũng nhưtrong công tác giáo dục, phải đưa học sinh vào tình huống có vấn đề và hướngdẫn để các em tự giải quyết vấn đề
Việc định hướng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh ở trường THPT
là yếu tố cần thiết cho tất cả các môn học nói chung và môn toán nói riêng Bởi
lẽ lượng kiến thức và bài tập trong bộ môn này khá đa dạng, phức tạp Ở mỗichương, mỗi bài đều gây những khó khăn nhất định, điều này đặt học sinh vàonhững tình huống có vấn đề cần giải quyết Chương “Nguyên hàm - tích phân vàứng dụng” [2] cũng không ngoại lệ
Các bài tích phân học sinh tiếp cận trong sách giáo khoa chủ yếu là dạnghàm tường minh, tức là hàm đã cho dưới dạng một biểu thức chứa biến, còndạng hàm số bị ẩn đi (tích phân hàm ẩn) thì chỉ được đề cập đến ở mức độ thônghiểu, áp dụng tính chất của tích phân Còn những bài toán tích phân hàm ẩn ởmức độ vận dụng, vận dụng cao thì sách giáo khoa và sách bài tập chưa đề cậpđến Nếu tham khảo trên internet, trên các phần mềm giải toán thì hầu như chỉ
có bài giải mà không giải thích chi tiết tại sao lại làm được như vậy Để giúphọc sinh hiểu được bản chất, phương pháp định hướng trong việc tìm ra lời giải,tôi xin trình bày trong phần nội dung của đề tài
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi khảo sát hai lớp 12A3 và 12A4 của trườngTHPT Lang Chánh về mức độ nắm bắt phần kiến thức tích phân hàm ẩn của chương “Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng” thì nhận được kết quả sau
Trang 5Bảng 1: Kết quả trước khi tiến hành nghiên cứu
Từ kết quả khảo sát và thực tế giảng dạy tại hai lớp, tôi nhận thấy rằng: Đa
số các em chỉ làm được các bài tích phân dạng tường minh, còn các bài tíchphân hàm ẩn thì các em còn mơ hồ, còn lúng túng, thậm chí chưa có định hướngcho bài giải, việc nhận biết để phân dạng còn yếu,nhất là những bài ở mức độvận dụng, vận dụng cao gặp trong các đề thi Chính vì điều này, tôi xây dựng
“Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các bài toán tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường THPT Lang Chánh” để giúp các em có thể giải quyết bài toán này trong đề thi,tạo niềm tin và gây hứng thú trong học tập
2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
Từ việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc gia, đề thi minh họa và các đềthi của các Sở, các trường trên cả nước, tôi rút ra một số dạng thường gặp vàcách giải những dạng toán đó sẽ được trình bày trong sáng kiến kinh nghiệmnày Phần kiến thức cơ sở đã được trình bày rất hệ thống trong sách giáo khoa[2] nên tôi xin phép không nêu lại trong sáng kiến kinh nghiệm này Dưới đây là phương pháp giải của một số dạng tích phân hàm ẩn
2.3.1 Sử dụng tích chất cơ bản của tích phân.
Dạng toán này ở mức độ cơ bản, được khai triển từ sách giáo khoa Phươngpháp giải dạng toán này là áp dụng các tính chất của tích phân:
Cho các hàm số liên tục trên và là ba số bất kì thuộc Khi đó ta có
Trang 8Suy ra Vậy đáp án đúng là A.
Ví dụ 5 [5]
Định hướng lời giải:
Áp dụng tính chất 5 và định nghĩa tích phân ta được:
Vậy A là đáp án cần tìm
2.3.2 Phương pháp đổi biến.
Thông thường, nếu trong bài toán xuất hiện dạng thì ta
sẽ đặt Đối với dạng này cần lưu ý: và phải đổi cận
Ví dụ 1 [5]
Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính
Nhận xét: Hàm nên ta sẽ đặt Sau đó đưa về
Định hướng lời giải:
Đặt Đổi cận:
Suy ra
Trang 9Vậy C là đáp án của bài toán.
Ví dụ 2 [5]
Cho hàm số liên tục có đạo hàm trên thỏa mãn và
Tính
Nhận xét: Đối với những dạng này, thông thường ta hay lấy tích phân hai
vế rồi dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
Định hướng lời giải:
Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến 2 hai vế của biểu thức giả thiết, ta được:
ĐặtĐổi cận:
Khi đó
Thay vào ta được:
Chú ý: Theo góc nhìn khác, bài toán hoàn toàn có thể được giải quyết khi
áp dụng bài toán tổng quát sau :
Cho hàm số thỏa mãn
Nếu liên tục trên thì
Thật vậy, trong ví dụ này, nếu ta thay thì
Ngoài hai cách giải như ví dụ 2, tôi xin đưa ra hướng giải quyết theo mộtgóc nhìn khác nữa, đó là tìm một hàm thỏa mãn giả thiết, sau đó thay trựctiếp vào tích phân cần tính Sau đây là một ví dụ minh họa
7UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 10Kết hợp với giả thiết, ta suy ra hệKhử ta được
Suy ra Đối với một số bài, việc đổi biến số hay tìm hàm thỏa mãn đề bài lại gặpkhó khăn Khi này, ta lại cần biến đổi chính biểu thức tích phân cần tính để tìm
ra hướng giải Sau đây là một ví dụ minh họa
Ta đượcSuy ra Vậy
2.3.3 Dùng phương pháp tích phân từng phần.
Trang 11Thông thường, nếu bài toán xuất hiện ta sẽ đặt
Từ giả thiết , bằng phép đổi biến ta suy ra
Trang 12dấu tích phân có dạng tích của các biểu thức chứa hoặc bằng từ
đó rút ra Sau đây là một ví dụ minh họa
Vì thế Kết hợp điều kiện ta được
Vậy
2.3.4 Tính tích phân của hàm số khi biết đẳng thức giữa và
Phương pháp: Đối với dạng toán này, ta có thể biến đổi theo hai hướng:
Hướng 1: Cô lập và sau đó lấy nguyên hàm hoặc tích phânhai vế Lưu ý khi làm theo hướng này, phải để trên tử
Hướng 2: Tìm mối liên hệ giữa và để đưa về biểu thức đạo hàm của tích hoặc thương, sau đó lấy nguyên hàm để tìm
Ví dụ 1 [5]
Trang 13Cho hàm số với và với Mệnh đề nào đúng?
Định hướng lời giải:
Lấy tích phân hai vế của với cận từ đến ta được
Tương tự, lấy tích phân với cận từ 0 đến 6, ta tính được Vậy ta chọn đáp án D
Định hướng lời giải:
Từ giả thiết suy ra
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
11UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 14Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
(với cho trước).
Gọi là một nguyên hàm của hàm của Khi đó, nhân cả hai vế của với ta được
Lấy nguyên hàm hai vế, ta chọn được
Nhận xét: Ta có thể quy lạ về quen bằng cách chia cả hai vế cho
rồi áp dụng bài toán tổng quát ở trên để tìm biểu thức để nhân
Định hướng lời giải:
Ta cóChọn và ta được Khi đó, nhân cả hai vếcủa với ta được:
Hay Lấy tích phân từ đến hai vế ta được:
Trang 15Từ đó rút raSuy ra Vậy Đối với các bài toán có đẳng thức liên quan đến và ta làm tương tự như trên.
Ví dụ 4 [5]
Cho hàm số liên tục trên có đạo hàm cấp hai và thỏa mãn
với mọi và Tính
Định hướng lời giải:
Từ giả thiết suy ra
Suy raLấy nguyên hàm hai vế ta được
Vậy Thay vào biểu thức ta được Đôi khi, mối liên hệ giữa và bị ẩn đi, từ giả thiết lại không thểtìm chính xác hàm Chính vì thế, ta phải tìm cách tạo ra mối liên hệ giữa
và rồi lấy nguyên hàm hoặc tích phân hai vế Sau đây là một ví dụ minh họa
13UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 16Ví dụ 5 [5]
Tính tích phân
Nhận xét: Từ giả thiết khó suy ra vì thế ta sẽ tạo ra mội liên hệ giữa
và bằng cách nhân cả hai vế của giả thiết với Từ đó bài toánđược giải quyết dễ dàng hơn
Định hướng lời giải:
Từ giả thiết suy ra
Và Nhân cả hai vế của với ta đượcLấy tích phân với cận từ đến hai vế ta được
Trang 17Câu 3. Cho hàm số liên tục trên thỏa
Câu 7 [3] Cho hàm số thỏa mãn và
với mọi Giá trị của bằng
Trang 19A B C D
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong phạm vi bài viết, tôi đã tập trung đề cập đến phương pháp giải các
bài tích phân hàm ẩn, với cách thức triển khai ý tưởng về mặt phương pháp
thông qua một số ví dụ và hướng dẫn học sinh giải Sau đó lấy các bài tập trong
các đề thi tốt nghiệp THPT, đề minh họa và các đề thi của một số tỉnh thành trên
cả nước để học sinh luyện tập
Để kiểm chứng tính khả thi của SKKN, tôi đã chọn lớp thực nghiệm là
12A3 và lớp đối chứng là 12A4 Sau một tháng áp dụng SKKN vào lớp thực
nghiệm, tôi khảo sát học sinh và thu được kết quả sau
Bảng 2: Kết quả sau thực nghiệm
So sánh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước thực nghiệm (bảng 1), ta
thấy rằng mức độ nắm bắt kiến thức của các em ở hai lớp là tương đương nhau
Đa phần, học sinh làm bài ở mức 5 đến 6 điểm, không xuất hiện điểm ở mức 9
đến 10 và vẫn còn nhiều học sinh ở mức dưới 5 Sau khi áp dụng giảng dạy theo
SKKN cho học sinh lớp thực nghiệm, điểm số được cải thiện rõ rệt Cụ thể, số
học sinh đạt điểm dưới 5 không có, điểm từ 9 đến 10 đã xuất hiện 4 bài, và số
bài đạt điểm cao nhiều hơn so với trước khi tiến hành thực nghiệm
Từ bảng số liệu trên cho thấy việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán
tích phân hàm ẩn và ứng dụng tích phân đã đem lại kết quả tốt lên rất nhiều Học
sinh đã không còn lúng túng, bỡ ngỡ trước một số dạng bài toán tích phân hàm
ẩn đó nữa Các em đã biết phân dạng và nắm được phương pháp giải của một số
dạng, từ đó tích cực, chủ động hơn trong việc làm bài tập và có ý thức tự học ở
nhà
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận.
Trên đây là những kinh nghiệm đúc rút từ quá trình giảng dạy của bản thân
Hy vọng với nội dung và cách thực hiện nêu trên học sinh có thể giải quyết tốt
những bài toán tích phân hàm ẩn và tư duy để làm được những bài toán tích
phân phức tạp hơn
3.2 Kiến nghị.
16
Trang 21Với nội dung có hạn của đề tài tôi đã nghiên cứu, tôi mong Sở giáo dục,nhà trường và đồng nghiệp góp ý kiến mở rộng nội dung, để sáng kiến của tôitrở thành tài liệu hữu ích cho các em học sinh trong quá trình học tập, và mongrằng sáng kiến sẽ trở thành tài liệu tham khảo tốt cho đồng nghiệp.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2021 Tôi
xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
TÁC GIẢ
Lê Thị Tuyết
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Tâm lý học đại cương, Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), NXB đại học sư
phạm
2 Sách giáo khoa giải tích 12, Trần Văn Hạo (chủ biên), NXB giáo dục
3 Đề thi tốt nghiệp THPT các năm từ 2017 đến 2020 của Bộ giáo dục
4 Các đề minh họa các năm từ 2017 đến 2020 của Bộ giáo dục
17UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 225 Đề thi thử THPT Quốc gia của một số tỉnh thành.
