(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

Trường hợp đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng... Cho tứ diện đều có cạnh đáy bằng , là trung điểm

Trang 1

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình ToánTHPT Nội dung phần hình học không gian được trình bày trong chương trìnhhình học 11 Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song hình học không gian lànội dung luôn xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay

là thi TN THPT Quốc gia

Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần hình học không gian tôi đã pháthiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào,phương pháp nào, không có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm “ngộ nhận”

trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lýthuyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải Bài toán về “góc”

trong hình học không gian là nội dung trọng tâm Học bài toán về “góc” giúphọc sinh phát triển tư duy logic, phát triển trí tuệ và tính sáng tạo, rèn luyện kĩnăng tính toán, ứng dụng trong thực tế

Từ kinh nghiệm giảng dạy các bài toán góc trong sách giáo khoa hình học

11 và các bài toán trong các đề thi tuyển sinh THPT quốc gia và tìm hiểu cáchgiải một số bài tập “góc” tôi đã rút ra các phương pháp phù hợp để giải các bàitoán “góc” trong hình học không gian

Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có

hệ thống bài toán về “góc” trong hình học không gian để có thể học tập tốt hơn

Vì vậy tôi chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian” với

mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đóđưa ra một số kỹ năng giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn, chặt chẽ hơn bằngkiến thức cơ bản đã học góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tincho học sinh trong các kỳ thi

Tài liệu cũng có thể giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn và nâng caokhả năng của bản thân Do đó trình bày mỗi bài toán, tôi đều theo trình tự: Ýtưởng – Lời giải – Kinh nghiệm, với mong muốn có một cái nhìn sâu sắc hơn vềcách tư duy và kinh nghiệm giải toán

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán, hạn chế sai lầm trong bài làm Từ

đó cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Sáng kiến được nghiên cứu đối với các bài toán về “góc” thuộc phần hìnhhọc không gian trong chương trình hình học lớp 11 và được áp dụng đối với họcsinh lớp 11A6, 11A7 năm học 2019 – 2020 và lớp 11B2, 11B9 năm học 2020-

1

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Trang 2

2021 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một sốbài toán về “góc” để phân tích, chỉ ra các hướng tiếp cận và giải toán.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11;

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2

Trang 3

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Các định nghĩa

*Góc giữa hai đường thẳng trong không gian:

Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng

và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với và

*Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng và mặt phẳng Trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Trường hợp đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa

và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3

Trang 4

“góc” trong không gian tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trongviệc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, không có kĩ năng trình vẽ hình,bày bài, rất hay sai lầm “ngộ nhận” trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyênnhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vộivàng đưa ra lời giải Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễuhọc sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải một

số bài toán về “góc” trong không gian là một yêu cầu cần thiết

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổihọc có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầukhả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán về “góc” trong không gian

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán về “góc” trong không gian đều yêu cầu học sinh thực hiệnphân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

2.3.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2.3.1.1 TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH.

Gọi là trung điểm của , suy ra:

Trang 5

Suy ra hay

Chú ý:

Trong ví dụ trên do chưa thể kết luận được luôn là góc nhọnnên ta không được phép viết luôn

(các bạn thấy rõ điều này qua ví dụ vừa rồi)

Ví dụ 2 Cho tứ diện đều có cạnh đáy bằng , là trung điểm của Tính góc giữa hai đường thẳng và

Trang 6

Gọi M là trung điểm CD, Gọi , suyra

Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD

Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K, suy

ra K là hình chiếu của G trên mp

Ví dụ 4 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng

, góc ABO bằng và Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM

= 2 BM Tính góc giữa hai đường thẳng CM và OA.

Trang 7

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với mặt phẳng , Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.

Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao

tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng

Dựng Ta có :

Vậy , từ đó suy ra

Tam giác SAB vuông tại A, đường cao AK nên ta có :

Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó:

7

Trang 8

Vậy

Ví dụ 7 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi lầnlượt là trung điểm của các cạnh Tính côsin của góc giữa hai đường

Ví dụ 8 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, là giaođiểm hai đường chéo và , có Hình chiếu vuông góccủa đỉnh lên là trung điểm của , Tính côsin của góc

Trang 9

Định lí côsin trong tam giác

Ví dụ 9 Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh bên , góc tạobởi và mặt đáy là Gọi là trung điểm .Tính cosin góc tạo bởi 2đường thẳng và

Giải:

Ta có

(Trung tuyến trong tam giác đều)

Gọi là trung điểm của , ta có nên

Trang 10

Với lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng và Khi đó:

Trang 11

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là tam giác cân có

, , Gọi là trung điểm của , là hình chiếu vuông góc của lên cạnh Tính cosin của góc tạo bởi hai đườngthẳng và

Giải

Phân tích: Nhận thấy ở đây và là hai đường thẳng không đồng phẳng và viẹc dựng góc trong bài toán này khó khăn do đó ta nghĩ đến việc tính góc giữa hai đường thẳng bằng phương pháp tích vô hướng.

Trang 12

Nhận thấy để tính tích vô hướng

do đó ta cần phân tích vec tơ

ta cần lưu ý đến chứng minhtheo những vecc tơ nằm trongmặt phẳng

Ví dụ 1 Cho tứ diện có đôi một vuông góc và

, là trung điểm của Tính góc giữa hai đường thẳng

và

Giải:

Đây là một mô hình cơ sở, nhận thấy đôi một vuông góc nên

ta gắn hệ trục tương ứng theo các cạnh này.

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

12

Trang 13

Trang 14

13

Trang 15

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó:

Ta có

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trungđiểm của cạnh Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng Gọi làgóc giữa hai đường thẳng và Khi đó tính

Trang 16

Vì

Ví dụ 6 Cho hình chóp có đáy là hình thang cân ,

2.3.2 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

2.3.2.1 TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH.

là góc giữa hai đường thẳng và

*Cách 2:Dựa vào quan hệ vuông góc.

Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

*Cách 3:Dựa vào quan hệ song song.

Trang 17

+) Giả sử Khi đó: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

+) Nếu thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữađường thẳng và mặt phẳng

Gọi lần lượt là trung điểm của

Vì hình chóp đều, là tâm của đáy nên Lại có là hình vuông nên

Trang 18

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh ,

Góc hợp bởi và đáy bằng Gọi lần lượt là hìnhchiếu vuông góc của lên đường thẳng Tính của góc giữa vàmặt phẳng

Giải:

Phân tích: Nhận thấy rằng ở đây ta có thể làm trực tiếp tuy nhiên cách làm

đó dài vì thế ta nghĩ đến cách làm gián tiếp cách 2.

Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ta chứng minh được

Ta có góc giữa và bằng góc Khi đó tam giác vuông cân tại có

vuông tại

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh ,

, Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác và Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

17

Trang 19

Tam giác vuông tại :

Vậy góc giữa và mặt phẳng bằng

2.3.2.2 TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA.

Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Góc giữa

đường thẳng AC và mp(OBC) bằng , , Gọi M là trung điểm của cạnh OB.Tính góc giữa đường thẳng OA với mặt phẳng

Trang 20

Suy ra,

và

Gọi là góc giữa OA với (ACM), Suy ra

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

Gọi là trung điểm của Tính côsin của góc giữavà

Trang 21

2 51

arctan 2 51

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trungđiểm của cạnh Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

giữa hai đường thẳng và

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho: ,

.Mặt phẳng có vtpt

Trang 22

Trang 23

*Cách 1: Dùng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng.

*Cách 2: Dùng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng dựng trực tiếp ra góc.

*Cách 3: Dùng công thức diện tích.

Đa giác nằm trong mặt phẳng có diện tích

Đa giác là hình chiếu của đa giác lên mặt phẳng có diện tích

là góc giữa và Khi đó ta có:

Cách 4: Quy về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ta có Khi đó với là góc tạo bởi hai mặt phẳng và

Gọi là trung điểm của

Ta có tam giác đều cạnh bằng nên

Trang 24

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là góc hợp bởi và bằng góc nhọn

Nhận thấy rằng tam giác là hình chiếu của tam giác lên mặt phẳng

.Tam giác đều cạnh bằng nên

Khi đó với là góc tạo bởi hai mặt phẳng

Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Góc giữa

đường thẳng AC và mp(OBC) bằng , , Gọi M là trung điểm của cạnh OB Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (ABC)

Trang 25

Kẻ OI vuông góc với AC tại I suy ra BI vuông góc với AC và

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy và Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH nên ta có

Áp dụng định lí cô sin vào tam giác BHD ta có

Cách 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa.

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng Tam giác và vuông cân tại có

23

Trang 26

Nên là trung điểm của

Do đó tam giác đều nên góc giữa hai mặt phẳng và bằnggóc giữa hai đường thẳng bằng góc

Ví dụ 4 Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,

và Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và

Giải:

Phân tích: Để tính góc giữa hai mặt phẳng và

ta nhận thấy có vì vậy ta đi tìm hoặc dựng một đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng Sau đó áp dụng định nghĩa để tính góc giữa hai đường thẳng.

Gọi là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

là góc

Lại có

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng và bằng

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng Tính gócgiữa hai mặt phẳng và

24

Trang 27

Xét tam giác vuông tại và ta có:

Xét tam giác vuông tại có:

b Các ví dụ.

Ví dụ 1 Cho tứ diện có đôi một vuông góc Góc giữađường thẳng và mp bằng , , Gọi là trungđiểm của cạnh Tính góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

Trang 28

Suy ra,

,

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy và Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Mặt phẳng có một VTPT là :

Vậy

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng Tính gócgiữa hai mặt phẳng và là:

Giải:

26

Trang 29

Chọn hệ trục tọa độ sao cho: ,

Mặt phẳng có vtpt:

Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh ,cạnh bên bằng và Tính giá trị với là góc giữa haimặt phẳng và mặt phẳng

Giải:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

Véctơ pháp tuyến của là:

27

Trang 30

Ta có:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoànthiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạynhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đãhứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học

lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bịđộng, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao đượcchất lượng giáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinhcũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhàtrường

Trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công dạy 3 lớp 11A6, 11A7,11A8, tôi đã áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy lớp 11A6, 11A7, năm học 2020– 2021 ttooi được phân công dạy 2 lớp 11B2, 11B9 tôi đã áp dụng vào giảng dạy

và nhận thấy đa số học sinh đều yêu thích dạng toán này, rất tích cực trong tìm tòilời giải và giải toán Khi tôi thực hiện tiết dạy này đa số học sinh rất hiểu bài vàkhông còn sự lúng túng trong việc chọn cách giải cho một bài toán Kết quả kiểmtra cuối chương, cuối kỳ 2 đã được nâng cao hơn Cụ thể như

sau:

Lớp áp dụng:

11A7 Cuối chương: 90% điểm trên TBCuối kỳ 2: 81% HS làm được BT phần

“góc” trong không gian

11B2 Cuối chương: 91% điểm trên TBCuối kỳ 2: 83% HS làm được BT phần

11B9 Cuối chương: 86% điểm trên TBCuối kỳ 2: 79% HS làm được BT phần

“góc” trong không gianLớp 11A8 dạy không áp dụng:

“góc” trong không gianCăn cứ kết quả nêu trên, bước đầu đã được như mong muốn góp phần nâng cao tỉ lệ của bộ môn và kết quả học tập, rèn luyện của học sinh Ðiều đó

28

Tiêu đề	Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian
Tác giả	Author
Trường học	THPT Nông Cống 3
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2021

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	2,79 MB

(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Kết luận – Kiến nghị 1 Kết luận