(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “ Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không

1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018, “năng lực là thuộc tính cánhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rènluyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và cácthuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành côngmột loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụthể”

Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triểnđược năng lực toán học Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:

năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lựcgiải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công

cụ, phương tiện học toán.Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt củatừng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độkhác nhau

Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc

“học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tìnhhuống và bối cảnh khác nhau Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực họcsinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúpcác em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp vớiđặc điểm cá nhân

“Phương pháp tọa độ trong không gian” là phần kiến thức trọng tâm củaHình học lớp 12 cũng là nội dung xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốcgia và thi tốt nghiệp Việc giải các toán bằng phương pháp tọa độ trong khônggian nói chung và giải bài toán viết phương trình đường thẳng nói riêng chứađựng tiềm năng rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện năng lực tư duy và lậpluận toán học cho học sinh

Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “ Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz” đê nghiên cưu, áp

dụng vào giảng dạy nhăm phần nao đap ưng yêu cầu đổi mới giáo dục va gopphân vao nâng cao chât lương dạy học cho nha trương

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua việc phânloại và tìm lời giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng trong

không gian với hệ tọa độ

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Cac bai tâp viết phương trình đường thẳng trong không gian năm trong chương trinh toan hoc phô thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình giáo khoa, nghiên cứutài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề viết phương trình đường thẳng trong không gian

1

- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân mônHình học ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học.

- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy, kiểm tra đánh giá khả năng tiếp thu kiến thức và năng lực tư duy toán học của học sinh

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Khái niệm năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán, năng lực tưduy và lập luận toán học của học sinh ở cấp trung học phổ thông được thể hiệnqua việc:

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được

sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việcquan sát

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

2.2.2 Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua bài toán viết phương trình đường thẳng

Khi giải bài toán viết phương trình đường thẳng, năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh được thể hiện ở việc:

- Trước hết học sinh cần nắm được quy tắc : muốn viết được phương trình đườngthẳng thì cần biết hai yếu tố đó là một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳngđó

- Biết phân tích, so sánh tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng toán vớiquy tắc trên; xác định yếu tố đã biết là gì, yếu tố cần tìm là gì và tìm như thế nào

- Căn cứ vào kiến thức hình học không gian, phương pháp tọa độ trong không gian

đã học, lập luận để giải quyết vấn đề, đưa bài toán từ lạ về quen

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Thường Xuân 2, tôi nhận thấy đa

số các em học sinh của nhà trường còn học yếu các môn tự nhiên, đặc biệt là mônToán Trong quá trình học, các em thường lúng túng khi phải giải các bài toán đòihỏi khả năng tư duy và lập luận toán học Chẳng hạn, ở bài toán viết phương trìnhđường thẳng các em viết được phương trình đường thẳng nếu giả thiết cho cụ thểđiểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương, nhưng sẽ gặp khó khăn nếu bài toányêu cầu viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một điều kiện nào đó, bởi các emkhông biết cách phân tích, lập luận để tìm ra hướng giải

Từ thực trạng như trên, tôi đã áp dụng đề tài “ Phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz” vào giảng dạy để giúp

các em khắc phục những điểm yếu khi học về mảng kiến thức này

2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Giải pháp:

- Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng; quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

- Phân loại và hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải cho bài toán

viết phương trình đường thẳng trong không gian

- Triển khai dạy trên lớp và kiểm tra đánh giá cuối chuyên đề

Nội dung giải pháp:

2.3.1 Kiến thức cơ bản

1) Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ khác vectơ-không được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của song song hoặc trùng với đường thẳng

2) Khái niệm vectơ chỉ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ khác vectơ-không được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) củamặt phẳng nếu giá của vuông góc với mặt phẳng

3) Quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng

+) Nếu thì +)

+) Nếu thì +) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng hoặc đườngthẳng là song song với hai mặt phẳng thì

+) Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng thì

4) Phương trình của đường thẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Khi đó:

a Phương trình tham số của đường thẳng

b Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nhận xét: Để viết được phương trình đường thẳng ở dạng tham số (hoặc chính

tắc ) cần biết hai yếu tố đó là biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

đi qua điểm có vectơ chỉ phương

Giải:

Phương trình tham số của đường thẳng :

Phương trình chính tắc của đường thẳng :

Bài tập tương tự: Cho đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉphương Phương trình tham số của là

A B C D.

(BT SGK Hình học 12 tr96).

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và

Ở dạng 2, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Vẽ hình minh họa

- So sánh dạng 2 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc đường thẳng điểm và điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho dựa vào hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưabiết, từ đó đưa dạng 2 về dạng 1: Từ định nghĩa VTCP của đường thẳng ta nhậnthấy đường thẳng đi qua hai điểm nên có VTCP

Cách giải:

- Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm hoặc điểm và có VTCP

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Giải:

Đường thẳng đi qua hai điểm thì có vectơ chỉphương là Khi đó phương trình tham số của là:

Bài tập tương tự: Trong không gian , đường thẳng đi qua hai điểm

và có phương trình tham số là:

(Đề minh họa thi tốt nghiệp 2021).

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước.

Ở dạng 3, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Vẽ hình minh họa

- So sánh dạng 3 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc

đường thẳngđiểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường thẳng)

- Dựa vào hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưadạng 3 về dạng 1: Đường thẳng song song với đường thẳng

nên ta có VTCP của cũng là VTCP của đường thẳng , tức là ta

- Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

và song song với đường thẳng có phương trình

Giải:

Do đường thẳng song song với nên ta có:

Phương trình tham số :

Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm và

Đường thẳng đi qua và song song với BC có phương trình là

- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ

đó đưa dạng 4 về dạng 1: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên ta

có VTPT của cũng là VTCP của đường thẳng , tức là ta có thể

- Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP

Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

Giải:

Do

Phương trình tham số

Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình nào dướiđây là phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặtphẳng

( Mã đề 101 THPT.QG - 2017).

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng không song song cho trước.

Ở dạng 5, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS thông

qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Vẽ hình minh họa

- So sánh dạng 5 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc

đường thẳngđiểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa

dạng 5 về dạng 1: Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nên ta

có tích có hướng của hai VTCP cũng là VTCP của đường thẳng, tức là ta có thể chọn

Cách giải:

- Xác định VTCP của đường thẳng là

- Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP

Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

và vuông góc với hai đường thẳng:

và

Giải:

Đường thẳng có VTCP ; có VTCP

Do vuông góc với và

Vậy phương trình tham số của đường thẳng

Bài tập tương tự: Trong không gian , cho điểm và hai đường

phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với và

- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa

dạng 6 về dạng 2: Giả sử đường thẳng cắt tại điểm Do nên

Từ đó, tìm được tọa độ điểm và viết phương trình đường thẳng như dạng 2

Cách giải:

suy ra tọa độ điểm

- Viết phương trình đường thẳng đi qua như dạng 2

Ví dụ 6: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm , cắt và

vuông góc với đường thẳng

Bài tập tương tự: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng

Đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt trục

có phương trình là

(Mã đề 102 THPT.QG - 2018).

D ạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với

Ở dạng 7, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS thông

qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Vẽ hình minh họa

- So sánh dạng 7 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc

đường thẳngđiểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa

dạng 7 về dạng 1: Đường thẳng song song với hai mặt phẳng nên ta

có tích có hướng của hai VTPT cũng là VTCP của đường thẳng, tức là ta có thể chọn

Cách giải:

- Xác định VTCP của đường thẳng là

- Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP

Ví dụ 7: Viết ptts của đường thẳng đi qua điểm và song song với

Giải:

phương trình tham số của

Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và

dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua , song song với và ?

( Mã đề 102 THPT.QG - 2017).

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Ở dạng 8, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho

HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- So sánh dạng 8 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết; yếu tố nào chưa

biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).

- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa

dạng 8 về dạng 1: Do đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

nên mọi điểm thuộc thì thuộc cả hai mặt phẳng và VTCP của

đường thẳng vuông góc với hai VTPT của hai mặt phẳng hay ta có thể chọn

Cách giải:

- Xác định VTCP của đường thẳng là

- Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP

Ví dụ 8: Viết phương trình của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng Giải:

Khi đó, VTCP của đường thẳng là Mặt khác, ta có điểm là điểm thuộc cả hai mặt phẳng nên thuộc Vậy, đi qua và có VTCP có ptts là:

Bài tập tương tự: Viết phương trình của đường thẳng là giao tuyến của hai

Dạng 9: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng ( trong đó không vuông góc với ).

Ở dạng 9, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Vẽ hình minh họa

- So sánh dạng 9 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết; yếu tố nào chưabiết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).

- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa dạng

9 về dạng 8: Do đường thẳng là hình chiếu vuông góc của lên

mặt phẳng nên là giao tuyến của hai mặt phẳng với là mặt phẳng chứa và vuông góc với

Cách giải:

- Lập phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với

- Do nên ta tìm VTCP và viết phương trình đường thẳng theo dạng8

Ví dụ 9: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng có

Do đường thẳng là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng nên

là giao tuyến của hai mặt phẳng Khi đó, VTCP của đường thẳng là Mặt khác, ta có điểm là điểm thuộc cả hai mặt phẳngnên thuộc Vậy đường thẳng có phương trình tham số là:

Bài tập tương tự: Trong không gian , cho mặt phẳng

và đường thẳng Hình chiếu vuông góc của trên là

- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ

đó đưa dạng 10 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:

+) Hướng 1:

Do đường thẳng đi qua điểm và cắt hai đường thẳng nên

là giao tuyến của hai mặt phẳng với là mặt phẳng chứa , còn

là mặt phẳng chứa +) Hướng 2:

Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng lần lượt là Khi đó: cùng phương

+) Cách 2:

Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng lần lượt là Tìm tham số để cùng phương, suy ra tọa độ điểm Viếtphương trình đường thẳng đi qua hai điểm như dạng 2.

Ví dụ 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm

- So sánh dạng 11 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu

tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ

đó đưa dạng 11 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:

+) Hướng 1: