(SKKN HAY NHẤT) sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải bài toán chứa tham số

Lời Nói đầu- Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinhchuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm

Trang 1

1 Lời Nói đầu

- Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinhchuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệmcủa phương trình, bất phương trình chứa tham số Khi giảm tải chương trình thì cácdạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng đượcnên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Vi -ét và một số cách giải khác nhưhàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đếncách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này Với việc sử dụngbảng biến thiên của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phươngtrình chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu

Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải bài

toán chứa tham số”.

- Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em họcsinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng bảng biếnthiên của hàm số để giải bài toán có tham số

- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về các bài toán chứa tham số

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trunghọc phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượnggiác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số Tuy nhiên khôngphải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán có thể cô lậpđược tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương trình

- Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để lập được một bảng biến thiên Thông quanhững ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấyđược những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên Các ví dụ minh họatrong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các nămgần đây và sắp xếp từ dễ đến khó Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinhgiải các ví dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt củaphương pháp trên

1LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Trang 2

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong đề tài này sử dụng bảng biến thiên sẽ liên quan trực tiếp kết quả sauđây

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D, và tồn tại ,

Khi đó ta có

3 Bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi m

5 Bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi M

Chứng minh

1 Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại sao cho

.Đảo lại, giả sử Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó nhậngiá trị từ đến Do đó khi f(x) nhận giá trị , tức là tồn tại

sao cho f( ) = Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệmtrên D

2 Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại sao cho

Đảo lại, giả sử

Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là , từ đósuy ra

Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đãcho có nghiệm

đúng với x

Trang 3

Đảo lại, giả sử f(x) , khi đó do m min f (x) nên theo định nghĩa

x D

tồn tại mà m = Từ Như vậy ta có đpcm

(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).

2.2 Thực trạng vấn đề trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh thường gặp khó khăn trong

việc giải các dạng toán tìm các giá trị của tham số để phương trình, bất phương

trình có nghiệm (hoặc có nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó) Do các em quen

áp dụng các cách làm trước đó như sử dụng định lí Vi - ét, điều kiện cần và đủ …

Khi học sinh được học đạo hàm, các em có một công cụ rất hiệu quả để giải quyết

các dạng toán đó Đó là “Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải phương trình

và bất phương trình có tham số”.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề.

1 Phương trình chứa tham số.

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Trang 4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Trang 5

Ta có g’(t) = , và ta có bẳng biến thiên sau

Phương trình (1) xác định trong miền Ta có

Nên ta có bảng biến thiên sau:

Trang 6

Trang 7

Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x),

Chú ý:

1 Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ là

2 Trong bài này cần lưu ý khi khi đó phương trình đã cho chỉ có một

nghiệm duy nhất Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để suy ra kết quả

Hướng dẫn

Trang 8

Trang 9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Chú ý:

1 Ở đây vì xét khi , nên không tồn tại nhưng tồn tại

Do đó điều kiện theo lý thuyết phải thay bằng (tức là đã

2 Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét

Do đó hệ vô nghiệm khi Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn

Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên

Ta có f’(x) = và bảng biến thiên

f(x)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.

6

Trang 10

Trang 11

Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm sao cho

Áp dụng định lý Viét ta có

Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai

Ví dụ 5 Cho phương trình Tìm m để phương trình có

ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

Trang 12

Trang 13

Ta có và có bảng biến thiên sau đây:

f(t)

; Vậy các giá trị m cần tìm là:

Trang 14

Trang 15

Ví dụ 8 Tìm m để hệ sau có nghiệm

Hướng dẫn

Đặt ; Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm:

Nếu hệ vô nghiệm

Vây các giá trị cần tìm của m là:

Trang 16

Trang 17

3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình đã cho đúng thì điều đó

với mọi

10

Trang 18

Trang 19

TH1) Nếu ( không thỏa mãn với mọi )

TH2) Nếu f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt Lúc này yêu cầu

bài toán tương đương với

Vậy bất phương trình có nghiệm khi

Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)

Vậy bất phương trình có nghiêm khi

Trang 20

Trang 21

.Vậy bất phương trình có nghiệm

Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm

Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình đúng với mọi t

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi

Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât!

Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x

Trang 22

Trang 23

f’(x) - 0 +f(x)

Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x thì m

Ví dụ 4 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm

Trang 24

Trang 25

Ví dụ 5 Tìm m để hệ sau đây có nghiệm.

(đây là bất phương trình chứa tham số và kèm theo điều kiện của x)

Hướng dẫn

Viết lại hệ dưới dạng

Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m

Trang 26

Trang 27

Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinhtiếp thu và vận dụng tốt.

Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được

Lớp Dùng điều kiện cần và đủ Dùng định lý Vi-ét Dùng bảng biến

20% học sinh hiểu bài 45% học sinh hiểu 80% học sinh hiểu

44 HS 16% học sinh vận dụng và vận dụng được và vận dụng được

Giúp các em học sinh tìm cho mình một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bàitoán liên quan đến phương trình và bất phương trình có tham số

- Kiến nghị

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi rất mong được các đồng nghiệp đóng góp ýkiến xây dựng và tiếp tục nghiên cứu, phát triển mở rộng hơn nữa đề hoàn thiệnhơn

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là sáng SKKN củamình viết, không sao cháp nội dung củangười khác

Lê Viết Tâm

Trang 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm 2000 đến 2020.

2 Báo Toán học và tuổi trẻ.

3 Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ( Nguyến Thái Hòe - XB 2006).

4 Hàm số ( Phan Huy Khải - XB 2001)

5 SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 11 - NC.

6 SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12

Tiêu đề	Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải bài toán chứa tham số
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,17 MB