(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy thông qua giải quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện trong chương trình hình học 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 12

Người thực hiện: Lại Văn Dũng Chức vụ: Giáo viên

SKKN môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2021

2.3.2.2 Giải pháp 2: Phát triển năng lực tư duy bằng cách vận

công thức tỉ số thể tích trong khối chóp tamgiác…………

dựng

2.3.2.3 Giải pháp 3: Phát triển năng lực tư duy bằng cách xây

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

và vận dụng công thức tỉ số thể tích trong khối lăng trụgiác……… dựng

2.3.2.5 Giải pháp 5: Phát triển năng lực tư duy bằng cách xây

và vận dụng công thức tỉ số thể tích trong khốihộp………

2.3.2.6 Giải pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài toán

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng

GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C

trở

lên………

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

1 Mở đầu 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học đượcnhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học khônggian thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt làhình học không gian tổng hợp trong đó có nội dung về thể tích khối đa diện Họcsinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, khả năng tư duy trong quá trình giảitoán và năng lực giải bài toán còn hạn chế Trong nhiều năm dạy học học sinhlớp 12 và học sinh ôn thi Cao đẳng, Đại học, tôi nhận thấy rằng khi bắt gặp đềthi có nội dung về thể tích khối đa diện các em thường cảm thấy lúng túng khigiải quyết vấn đề, nhiều em còn cho rằng đây là câu khó nhất trong đề thi vàmong gì đạt được điểm ở câu hỏi này Một số em khá thì rất quyết tâm giảiquyết nhưng đôi khi cũng không biết bắt đầu từ đâu? Đôi khi trong một sốtrường hợp các em chưa linh hoạt sử dụng các công thức thể tích như Vkhối chóp =

S đáy.h hay Vkhối lăng trụ =Sđáy.h (với h là chiều cao của khối chóp hay khối lăngtrụ) và khai thác các bài toán tỉ số thể tích, vận dụng bài toán tỉ số thể tích trongmột số trường hợp còn rất hạn chế

Nội dung kiến thức về thể tích khối đa diện, trong đó có bài toán về tỉ sốthể tích có một vai trò quan trọng trong chương trình hình học 12 và là nội dungkhông thể thiếu của đề thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi tốt nghiệp THPTQuốc gia Mặt khác đây cũng là năm thứ hai liên tiếp mà toàn ngành giáo dụcgặp rất nhiều khó khăn khi dịch Covid 19 bùng phát vào dịp nghỉ lễ 30/4-1/5,nhiều nơi học sinh phải học online để phòng chống dịch Do đó cần xây dựngnội dung, phương pháp nhằm giúp các em có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo,phát triển tư duy, giải quyết tốt các bài toán về thể tích

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thácnhiều chuyên đề về thể tích khối đa diện Trong SKKN này tôi xin chia sẻ :

‘‘Một số giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy thông qua giải

quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện trong chương trình hình học 12 ”.

Nội dung tỉ số thể tích khối đa diện có tầm quan trọng và hay trong chươngtrình hình học lớp 12 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiềuthầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và học tập Tuy nhiên việc đưa rahướng tiếp cận, quy lạ về quen và phát triển năng lực giải bài toán, phát triểnnăng lực tư duy liên quan đến nội dung này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đápứng được cho người đọc Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này làcần thiết, làm các em hiểu sâu hơn về bài toán và yêu thích chủ đề thể tích khối

đa diện Qua đó giúp các em học sinh có định hướng và cách nhìn dễ dàng hơn,phát triển được năng lực tư duy

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắmđược cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, chuyển phức tạp thành đơn giảnđồng thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ

bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao về nội dung tỉ số thể tích của khối đadiện nhằm đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Từ đógiúp các em phát triển năng lực tư duy và năng lực giải quyết các bài toán.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chúng tôi tập trung nghiên cứu về công thức thể tích khối chóp, thể tíchkhối lăng trụ, tỉ số thể tích của các khối đa diện liên quan; nghiên cứu vềphương pháp tách khối đa diện thành nhiều khối đa diện và vận dụng tỉ số thểtích trong một số trường hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như:

phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá;

phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải; phương phápquy lạ về quen

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung của hình học 12[1] Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữacái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết dạy bài tập của một chương phải đượcthiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trìnhgiảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắtnhững kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đãhọc một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tậptốt, phát triển năng lực giải quyết các bài toán Tại trường THPT Quảng Xương II, trong quá trình giảngdạy nội dung về thể tích khối đa diện cho học sinh 12, tôi thấy kỹ năng giải bài toán của học sinh cònyếu, đặc biệt là bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa điện Mặt khác trong nhiều trườnghợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức lại gặp khó khăn do không xácđịnh được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tínhthể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối đa diện Do đó cần phải cho học sinhtiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăngiúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiếnthức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thểđược trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung về thể tích khối đa diện, trong đó đề cập đến tỉ số thể tích là nộidung không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Trong những năm gần đây,nội dung này được đề cập trong đề thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ khácnhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, với nhiều cách tiếp cận Học sinhthường gặp khó khăn khi phải tách khối đa diện, sử dụng các công thức tỉ số thểtích đã biết Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn và phát triểnnăng lực tư duy trong quá trình giải bài toán, người giáo viên cần tạo cho họcsinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu đặc trưng của bài toán để tìmlời giải, học sinh phải được quy lạ về quen

Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về tỉ sốthể tích của các khối đa diện cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp họcsinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo củabản thân, tự tin giải quyết được những câu khó trong đề thi, nắm vững các dạngtoán, có các giải pháp, hướng xử lý cho từng kiểu câu hỏi

Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càngvận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán tỉ

số thể tích của các khối đa diện một cách chính xác và nhanh nhất Đặc biệt là ápdụng những giải pháp để làm những câu hỏi dưới hình thức trắc nghiệm, nhữngcâu hỏi khó Từ đó tạo cho học sinh sự tự tin và trang bị cho học sinh

kiến thức và các giải pháp giải quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện để hoàn thành tốt kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

2.3 Các biện pháp thực hiện 2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ 2.3.1.1 Công thức tính thể tích khối đa diện [1]

● Thể tích khối lăng trụ:

Với S là diên tich măt đay ; h là chiêu cao cua cua khôi lăng trụ.

Đặc biệt:

- Thê tich khôi hộp chữ nhật:

- Thê tich khôi lập phương:

● Thê tich khôi chóp:

Với S là diên tich măt đay ; h là chiêu cao cua cua khôi chóp.

2.3.1.2 Một số công thức tính diện tích đa giác.

Đặc biệt: nếu ABC vuông tại A, nếu ABC

đều

2.3.2 Các giải pháp 2.3.2.1 Giải pháp 1: Phát triển năng lực tư duy thông qua giải bài toán tìm

tỉ số thể tích của các khối đa diện dựa vào công thức tính thể tích [1], [9].

Trong trường hợp này, học sinh phải biết so sánh đường cao, diện tích mặtđáy của các khối chóp, khối lăng trụ Qua đó không những học sinh biết sử dụnglinh hoạt các công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ mà còn biết đánhgiá các yếu tố liên quan, biết sử dụng các công thức tính diện tích

Ví dụ 1: Nếu một khối chóp có độ dài đường cao tăng lên 3 lần, diện tích đáy

tăng lên 4 lần thì thể tích khối chóp tăng lên bao nhiêu lần?

Hướng dẫn:

Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp ban đầu, khi đó 3h

và 4S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp mới.

Ta có:

Vậy thể tích khối chóp tăng lên 12 lần

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC và M là trung điểm của cạnh BC Tìm tỉ số thể

tích

Hướng dẫn:

Gọi F là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) Nhận thấy hai khối chóp đã cho cùng đường cao SF Vậy ta có:

S

M

F A

Chúng ta có thể điều chỉnh vị trí điểm M bất kỳ trên cạnh BC, hướng giải

quyết vẫn không thay đổi

Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABC và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM=3CM.

Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC; gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB,

BC sao cho AM=3BM và BN=2CN Tìm tỉ số thể tích

Chúng ta cũng làm tương tự với khối chóp tứ giác

Ví dụ 5: Cho khối chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm

thuộc đoạn thẳng BD sao cho BD=4BM Tìm tỉ số thể tích

Hướng dẫn:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) Nhận thấy hai khối chóp đã cho cùng đường cao SH Ta có:

Ví dụ 6: Nếu tăng độ dài cạnh của khối lập phương lên 3 lần thì thể tích khối

lập phương tăng lên bao nhiêu lần?

Hướng dẫn:

Gọi a là độ dài cạnh của khối lập phương ban đầu, khi đó 3a là độ dài cạnh của

khối lập phương sau khi tăng 3 lần

Ta có:

Vậy thể tích khối lập phương tăng lên 27 lần

Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ Gọi E, F lần lượt thuộc các cạnh BC

Nhiều trường hợp ta phải lập tỉ số thể tích giữa khối chóp và khối lăng trụ.

Trong trường hợp đó, học sinh cũng tiếp cận bài toán một cách tương tự

Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ Gọi N là trung điểm của

trên cạnh sao cho Tìm tỉ số thể tích

2.3.2.2 Giải pháp 2: Phát triển năng lực tư duy bằng cách vận dụng công thức tỉ số thể tích trong khối chó́p tam giác [1], [2], [3].

Trong trường hợp này, học sinh phải biết vận dụng công thức, phải biếtchuyển bài toán đã cho về bài toán mà vận dụng được công thức tỉ số thể tíchtrong khối chóp tam giác Ta xét bài toán sau:

Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác Trên ba cạnh lần lượtlấy ba điểm khác với S (Các điểm có thể trùng với các điểm

Ví dụ 9: Cho khối chóp tam giác S.ABC Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SA, SB

sao cho SM=2MA, SN=3NB Tìm tỉ số thể tích

Hướng dẫn:

Ví dụ 10: Cho khối chóp tam giác S.ABC Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SA, SB

sao cho SM=2MA, SN=3NB Tìm tỉ số thể tích

Trong giải pháp này, học sinh sử dụng Bài toán 1 để xây dựng công thức

tỉ số thể tích trong khối chóp tứ giác với đáy là hình bình hành, học sinh đượcrèn luyện, phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết bài toán, quy lạ vềquen

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các

cạnh bên SA, SB, SC, SD lấy các điểm không trùng với S sao cho

Ví dụ 11: Cho khối chóp tam giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi

M thuộc cạnh SA sao cho SM=3MA và N là giao điểm của SB và mặt phẳng (MCD) Tìm tỉ số thể tích

Hướng dẫn:

Trong giải pháp này, học sinh sử dụng các kỹ năng đã có, các công thức tỉ

số thể tích đã biết để thiết lập công thức tỉ số thể tích trong khối lăng trụ tamgiác, sau đây chúng ta xét bài toán 3

Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác Gọi M, N, P lần lượt thuộc các

Lưu ý: Điểm M có thể trùng với điểm A, điểm N có thể trùng điểm B, điểm P có thể trùng với điểm C.

Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ tam giác Gọi M, N lần lượt thuộc các

Trong giải pháp này, học sinh sử dụng các kỹ năng đã có, các công thức tỉ

số thể tích đã biết để thiết lập công thức tỉ số thể tích trong khối hộp, sau đâychúng ta xét bài toán 4

Bài toán 4: Cho khối hộp Gọi M, N, P, Q lần lượt thuộc các

cạnh và cùng thuộc một mặt phẳng Khi đó:

(5)

Ta có OI là đường trung bình của

(**) Từ (*) và (**) ta có kết quả:

Ví dụ 13: Cho khối hộp Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh

2.3.2.6 Giải pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài toán về tỉ số thể

tích khối đa diện thông qua buổi thảo luận.

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail13.com

tỉ số thể tích, vận dụng tỉ số thể tích cho các bài toán liên quan.

Nhóm 1: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ để lập tỉ số

Nhóm 5: Sử dụng công thức tỉ số thể tích trong khối hộp (5) để lập tỉ số thể tích.

Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:

- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm

khác

- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đưa

racách giải của nhóm

- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng và yêu cầu các em học sinh

ghi nhận

- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ, có

thểthưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh

- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cầu của các nhóm trao đổi vai trò cho nhau

2.3.3 Một số bài tập tham khảo

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy ABC , SA a

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC và cắt SB, SC lần lượt tại M, N Tìm tỉ số thể

tích và tính thể tích của khối chóp S.AMN.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB

và AC Tìm tỉ số thể tích và tính thể tích khối chóp S.MNBC.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Tìm tỉ số thể tích và tính

thể tích của khối chóp M.NCP theo a.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng cm, đường

của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả

sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tìm tỉ số thể tích và tính thể tích khối

chóp S.ABMN.

Câu 5: Cho khối lăng trụ Gọi E, F lần lượt là trọng tâm tam giác

ABC và Tìm tỉ số thể tích

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung

điểm của SC Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành 2

phần Tính tỉ số thể tích 2 phần này

Câu 7: Cho khối chóp S.ABC Gọi M trên cạnh BC sao cho CM=3BM và S’ là

trung điểm của đoạn thẳng SC Tìm tỉ số thể tích

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng (P ) qua A, B và

trung điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi

mặt phẳng đó

Câu 9: Cho khối lăng trụ Gọi điểm M là trung điểm của đoạn

thẳng Tìm tỉ số thể tích

Câu 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các cạnh

SA, SC lấy các điểm A’, C’ sao cho và Mặt phẳng (P) chứa A’C’ cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’ và đặt Tìm giá trị

nhỏ nhất của k?

Câu 11: Cho khối chóp S.ABC và M là trung điểm của cạnh BC Gọi F là hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) và N thuộc đoạn SF sao cho

SN=2NF Tìm tỉ số thể tích

Câu 12: Cho khối chóp tam giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi M,

N lần lượt thuộc cạnh SA, SB sao cho SM=4MA, SN=3NB Tìm tỉ số thể tích

Câu 13: Cho khối chóp S.ABC; gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB,

BC sao cho AM=3BM và BN=2CN Tìm tỉ số thể tích

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy

ABC là tam giác đều cạnh a Gọi M là trung điểm của BC, mặt phẳng qua A