(SKKN HAY NHẤT) phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán tìm tính chất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

Việc hoàn thiện các kỹ năng từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để giải quyết các bài toán khác đã đặt ra cho người học một nhu cầu phù hợp.. Muốn giải

2.3 Các giải pháp sử dụng của sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết

Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng 4

2.3.2.2 Lớp các bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số ,

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số

5

2.3.2.3 Lớp các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số ,

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số

11

2.3.2.4 Lớp các bài toán tìm số nghiệm của phương trình ,

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số

17

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG NHẬN

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Pháttriển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài

Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàndiện năng lực và phẩm chất người học” Trong đó, đổi mới về phương thức kiểmtra đánh giá là một yêu cầu bức thiết trong giai đoạn hiện nay Bộ GD&ĐT đãquyết định hình thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán trong kỳ thi THPT QuốcGia (nay là kỳ thi Tốt nghiệp THPT) bắt đầu từ năm 2017

Với phương thức kiểm tra đánh giá môn Toán từ hình thức tự luận sanghình thức trắc nghiệm là một bước ngoặt quan trọng Từ sự thay đổi đó dẫn đếncách dạy của thầy cô và cách học của học sinh phải thay đổi Hơn ai hết, các thầy

cô giảng dạy bộ môn Toán đều nhận ra một điều đó là: Lượng kiến thức, lượng bàitập trong hai, ba năm qua đã tăng lên một cách nhanh chóng Điều đó, khiếnchúng ta phải thay đổi về cách tiếp cận vấn đề, về cách dạy… Theo tôi để phù hợpvới xu thế hiện nay chúng ta phải chuyển từ cách dạy truyền thống sang cách dạynhằm phát triển tư duy, phát triển năng lực học sinh… từ đó các em có thể tự tin

xử lý các tình huống thực tiễn

Nhiệm vụ quan trọng của người thầy nói chung và nguời thầy giảng dạy bộmôn Toán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp vớinăng lực của từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác cáckiến thức mới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thôngthạo kĩ năng giải Toán

Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Toán phải tìm hiểu thật

kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận… của từng đối tượng học sinh Đặc biệt,trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài toán thì người giáo viênphải tự mình nghiên cứu, phân tích kỹ bài toán đó rồi mới hướng dẫn cho các em

Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên hệchặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyếtmột bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới Bởi tôi

nhận thấy không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học

sinh, thậm chí có những quá trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học

sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thông qua ứng dụng của đạo hàm

là một chủ đề lớn xuyên suốt không thể thiếu trong các kì thi Việc hoàn thiện các

kỹ năng từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để giải quyết các bài toán khác đã đặt ra cho người học một nhu cầu phù hợp Muốn giải được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các lý thuyết về đơn điệu, cực trị, đồ thị… của hàm số và phải “đọc” được các tính chất đó trên đồ thị

Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sángtạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng

Toán liên quan Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán tìm tính chất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi Tốt nghiệp THPT” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Người giáo viên dạy Toán cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu,phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tiếp cận nhanhnhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về xác định một số tính chất củahàm số Đồng thời, rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một

số năng lực cho các em như:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắcnghiệm về chủ đề “ Hàm số”

1.4 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôiđã:

- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phươngpháp truyền đạt nội dung kiến thức môn toán Giải tích

- Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập môn toán Giải tích ở học sinh trườngTHPT Triệu Sơn 3

- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập toán Giảitích

- Tổ chức thực hiện đề tài, áp dụng đề tài vào thực tế dạy ở một số lớp 12trường THPT Triệu Sơn 3

- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1.2.1 Giả thuyết của đề tài

Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:

- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tập

về hàm số không?

- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đềthi minh hoạ và các đề thi Toán THPTQG và Tốt nghiệp THPT qua các năm haykhông?

- Đề tài có rèn luyện, phát triển tư duy logic – khoa học và có nâng cao đượckết quả học tập bộ môn Giải tích cho học sinh hay không?

1.2.2 Mục tiêu của đề tài

Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giảicác bài tập về hàm số

- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Giải tích; đồng thời giúpcác em nâng cao kết quả học tập bộ môn này

- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được tư duy logic – khoa học cho học sinh

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

- Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy khả năng đọc bảng biến thiên, đọc đồthị, khả năng biến đổi đồ thị là các nội dung quan trọng mà nếu học sinh hiểu vàvận dụng được thì chắc chắn sẽ rất thuận lợi khi tiếp cận các bài toán về hàm số

Tuy nhiên, trong thực tế những nội dung trên là những vấn đề mà đa số học sinhthường gặp rất nhiều khó khăn, ngay cả những em học sinh có học lực khá, giỏi

- Khi ôn tập, đặc biệt là khi các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy: Một số emmặc dù nắm được kiến thức, biết cách làm bài nhưng kỹ năng tính toán còn chậm,việc toán học hóa các tình huống thực tiễn thường lúng túng hoặc vận dụng khônglinh hoạt

- Đối với người dạy thì phần lớn mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết vàgiao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán

ở nhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạy học phù hợp với từngnội dung và năng lực của học sinh

- Vẫn có không ít giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sửdụng phương tiện, công cụ, thiết bị và đồ dùng dạy học bộ môn…

- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt họcsinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sáthình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câuhỏi Kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năngvận dụng vào thực tế chưa cao Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên

ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh không cònnắm vững được các kiến thức đã học trước đó

Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh cảm thấy học các bài toán về hàm

số rất khó Dẫn đến kết quả học tập chưa cao

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Một số giải pháp

* Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi giải một bài toán về hàm

số để dễ dàng giải quyết các bài tập

* Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữacác tính chất của hàm số tương ứng với đồ thị hoặc bảng biến thiên của nó

* Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như phần mềm giảng dạy nhưCabir, GSPS, Geogebra…

* Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từkhối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu cáckiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất

* Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh

2.3.2 Biện pháp thực hiện:

2.3.2.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng:

* Đồ thị hàm số: Đồ thị của hàm số xác định trên tập là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ với mọi

* Giao điểm của đồ thị và trục hoành (Sự tương giao giữa đồ thị hàm số

và trục hoành): Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

* Điểm thuộc đồ thị và nằm trên trục hoành thì ;

thuộc đồ thị và nằm dưới trục hoành thì

* Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp:

Công thức đạo hàm của hàm hợp

a) Nếu hàm số có đạo hàm tại và hàm số có đạo hàm tại thì hàm số hợp có đạo hàm tại và

b) Nếu giả thiết trong a) thoả mãn với thì có đạo hàm trên

*) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng a) Nếu mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng

b) Nếu mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng c) Nếu mọi thì hàm số không đổi trên khoảng

Nhận xét Điều kiện trên có thể mở rộng như sau: Giả sử hàm số có đạo

hàm trên khoảng Nếu mọi (hoặc mọi ) và

chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng [4]

*) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàmtrên các khoảng và Khi đó

số đạt cực tiểu tại điểm

hàm số đạt cực tiểu tại điểm [4]

Ví dụ 1 Chohàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A B C D [1]

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đồng trên khoảng Vậy tachọn đáp án C

Ví dụ 2 Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

dưới đây Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng [1]

Lời giải

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng Vậy tachọn đáp án B

Phân tích và hướng dẫn cách giải:

Từ 2 ví dụ trên học sinh có thể nhận ngay ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số từ BBT hoặc đồ thị hàm số trên cơ sở:

1 Xác định tính đơn điệu của hàm số từ BBT của hàm số ta dựa theo nguyên tắc sau:

Trên khoảng đạo hàm thì hàm số nghịch biến trên Trên khoảng đạo hàm thì hàm số đồng biến trên

2 Xác định tính đơn điệu của hàm số từ đồ thị của hàm số ta dựa theo nguyên tắc sau:

Trên khoảng đồ thị hàm số có hướng “đi lên” thì trên khoảng đó hàm số đồng biến (tức là đạo hàm nhận giá trị dương ) và trên khoảng đồ thị hàm số có hướng “đi xuống” thì trên khoảng đó hàm số nghịch biến (tức là đạo hàm nhận giá trị âm)

Câu hỏi đặt ra như sau:Vậy từ BBTcủa hàm số hoặc từ đồ thị của hàm

số , muốn xét tính đơn điệu của hàm số ta làm như thế nào?

Vấn đề cần giải quyết trong trường hợp này là phải dựa vào BBT hoặc đồ thị của hàm số ta phải xác định dấu của

Các ví dụ sau sẽ thể hiện rõ hơn về vấn đề này

Ví dụ 3 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

A B C D

Lời giải

+) ; ; +) Bảng xét dấu của

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng Vậy ta chọn đáp án A

Ví dụ 4 Cho đồ thị hàm số

như hình vẽ Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Ta có

.Bảng xét dấu

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng Vậy ta chọn đáp án D

Ví dụ 5 Cho hàm số có đạo hàm trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Nhận xét nào

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng [3]

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta có:

Phương trình có hai nghiệm trong đó là nghiệm kép

(dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực trị tại 2 điểm nên phương trình có 2 nghiệm .)

Xét hàm số có ;

Ta có bảng xét dấu

biến trên khoảng Vậy ta chọn đáp án C

Ví dụ 6 Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Lời giải

Đặt

Ta có Lập bảng xét dấu:

g'(x) - + ko xácđịnh -

-

-

+ +

-1 0

-1

-∞

-x(x-1) f'(x+2) x

Từ bảng ta chọn đáp án B

Phân tích để sáng tạo:

có thể chọn hàm sao cho có chung các nghiệm với

Giả sử nó có nghiệm chung là khi đó

và luôn âm hay dương trên đoạn cầntìm Như vậy, ta có thể chọn trước

+) Ví dụ cụ thể:

có nghiệm chung là ; Xét hàm còn lại là

Do vậy ta chỉ cần chọn một hàm với Có vô số hàm như vậy Ví dụ chẳng hạn Khi đó ta có một bài toán khác như sau:

g'(x) - ko xácđịnh + -

-

-

+ +

-2 1

0

-∞

-x(x-1) f'(x+2) x

+) Như vậy ta có thể sáng tạo ra vô số bài toán dạng như trên [3]

Nhận xét: Với mỗi dạng toán ta cần xây dựng các thuật giải; Thực chất là các

quy trình, các bước thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau Thông qua việc hình thành và xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi giải nhiều loại bài tập đặc biệt là bài tập về hàm

Dựa vào đồ thị, hàm số đã cho có 3 điểm cực trị Vậy ta chọn đáp án D

Ví dụ 8 Hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như

hình vẽ bên dưới Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng

C Hàm số có đúng hai cực trị.

D Hàm số đạt cực đại tại , và đạt cực tiểu tại

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có kết luận sau:

+ Hàm số đạt cực đại tại , nên D sai

+ Hàm số đạt cực tiểu tại , nên A sai

+Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1 và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nên B sai Vậy ta chọn đáp án C [2]

Ví dụ 9 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị

như hình bên Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Phân tích và hướng dẫn cách giải:

Từ 3 ví dụ trên học sinh có thể nhận ngay ra điểm cực trị của hàm số từ BBT hoặc đồ thị hàm số trên cơ sở:

1 Xác định điểm cực trị của hàm số từ BBT (đồ thị ) của hàm số

Qua đạo hàm đổi dấu từ sang ta nói hàm số đạt cực đại tại

Qua đạo hàm đổi dấu từ sang ta nói hàm số đạt cực tiểu tại

2 Xác định số điểm cực trị của hàm số từ đồ thị hàm số ta dựa theo nguyên tắc sau:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi lên” và nhánh đồ thị có hướng “đi xuống” theo chiều từ trái qua phải

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi xuống” và nhánh đồ thị có hướng “đi lên” theo chiều từ trái qua phải (chiều dương của trục ).

Câu hỏi đặt ra: Số điểm cực trị của hàm số có phụ thuộc vào số điểm cực trị của hàm số không? Phụ thuộc như thế nào? Để hiểu rõ thì ta xét thêm các ví dụ, bài tập sau đây

Ví dụ 10 Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhưhình dưới đây Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số