(SKKN HAY NHẤT) rèn kỹ năng tìm điểm rơi và kinh nghiệm áp dụng bđt cosi cho học sinh khá, giỏi lớp 9d, e trường THCS đông thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM ĐIỂM RƠI VÀ KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM ĐIỂM RƠI VÀ KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình toán trung học cơ sở, khối lượng kiến thức rất phongphú và đa dạng Trong đó, các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cựctrị là một việc khó khăn với nhiều em học sinh Theo chương trình sách giáokhoa, nội dung này lại không được đề cập tới trong khi các đề thi học sinh giỏi,thi tuyển sinh vào THPT hay khảo sát vẫn được lựa chọn để ra đề

Thêm nữa, các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị lạikhông giống các dạng bài khác bởi vì mỗi bài toán thường có cách giải khácnhau, ngoài việc áp dụng các bước cơ bản, đặc trưng cần thêm sự đánh giá riêng,đòi hỏi người làm toán cần sáng tạo, tư duy toán tốt và đặc biệt cần có kinhnghiệm Đặc biệt, những bài toán về chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị

là một đề tài lí thú của Đại số, khó nhưng rất cuốn hút sự tìm tòi của học sinh,mãi mãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học

Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó, tôi đã lựa chọn nghiên cứu và

viết sáng kiến với nội dung “Rèn luyện kĩ năng tìm điểm rơi và kinh nghiệm

áp dụng bất đẳng thức Côsi” nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu nhất để giúp

học sinh tiếp cận với bất đẳng thức và cực trị một cách chủ động, hệ thống, tạohứng thú trong quá trình học toán

Đề tài giúp tôi củng cố nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến thứccho bản thân và giúp các em cũng yêu thích môn Toán hơn Qua đây tôi xinđược trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp về phương pháp dạy học, mong rằng

đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển hơn

2 Mục đích nghiên cứu:

Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc củng cố các kiến thức cơ bản trongsách giáo khoa còn cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng và rèn luyện kỹ nănggiải các dạng phương trình cho học sinh Với mỗi phương trình học sinh pháthiện ra dạng và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát bàitoán và đặt đề toán tương tự Từ đó học sinh phát triển tư duy logic, hiểu sâukiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học và nâng cao hiệu quả giáo dục

3 Đối tượng nghiên cứu :

Đối tượng nghiên cứu là các học sinh khá, giỏi lớp 9D, 9E trường THCSĐông Thọ Thành phố Thanh Hóa

4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp,khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá

5 Tính mới của đề tài, tính khả thi của sáng kiến:

- Tính mới: Học sinh có kĩ thuật tìm điểm rơi bằng suy luận và máy tínhCasio, từ đó có thể tách biểu thức ban đầu thành các hạng tử để áp dụng bấtđẳng thức Côsi Thay bằng việc các em thụ động lĩnh hội lời giải do giáo viêntruyền thụ Học sinh sẽ tự trả lời được các câu hỏi: “Tại sao lại tách như vậy; tạisao không áp dụng ngay BĐT Côsi”; “Tại sao lời giải của mình sai, sai ở đâu”…

- Tính khả thi của sáng kiến: Khi áp dụng sáng kiến vào ôn tập, học sinh tựtin, hứng thú khi giải loại bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị bằng phương

pháp áp dụng bất đẳng thức Côsi Đặc biệt định hướng phát triển các năng lực:

Tư duy, suy luận, kiểm tra, đánh giá, tính toán, biến đổi…cho học sinh hiệu quả

Sáng kiến là tài liệu thiết thực để giáo viên, học sinh sử dụng khi ôn thi tuyểnsinh vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi,…để nâng cao điểm số trong các kỳ thi

Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 C ơ sở l ý luận:

Trong khi học về dạng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Côsi là một trongnhững bấtđẳng thức cơ bản nhất, được áp dụng thường xuyên và cũng dễ hiểu vàđơn giản Tuy nhiên khi giải bài tập, để dùng được bất đẳng thức này một cáchsáng tạo, tự nhiên không mang tính áp đặt thì ta phải dùng đến một phương phápgọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi Khi áp dụng bấtđẳng thức Côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đódấu = xảy ra là quan trọng và khó khăn nhất

Trong các bài toán mà các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thìviệc áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm Vì vậy trong sáng kiến này tôimuốn trình bày những phương pháp cụ thể khi áp dụng bất đẳng thức Côsi

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Thuận lợi

- Nhà trường xây dựng hệ thống cơ sở vật chất đầy đủ để phục vụ tốt quátrình học tập của học sinh và giảng dạy của giáo viên Nhà trường luôn đề cao,chú trọng về đổi mới phương pháp, tạo điều kiện tốt để giáo viên nghiên cứu,tìm tòi và thực nghiệm

- Có nhiều học sinh nỗ lực, ham học hỏi, tự giác và yêu thích môn Toán,thích khám phá những kiến thức mới

đến tính tự ti, nhút nhát của học sinh Nhiệm vụ của người dạy học không phảichỉ dạy chữ mà còn phải khơi lên cho các em niềm tin trong mỗi bài toán, mỗihoạt động và trong cuộc sống.

3 Khảo sát thực tiễn của đề tài:

*) Số liệu thống kê

Khi chưa áp dụng đề tài, tôi ra bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất qua khảo sát 40 học sinh khá, giỏi môm Toán lớp 9D, 9E trường THCS Đông Thọ tôi nhận được kết quả như sau:

Nếu a; b thì ta có BĐT: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4.1.2 Các dạng thường gặp của BĐT Côsi:

Dạng 1: với a; b

Dạng 2: với a; b

Dạng 3: với a > 0 ; b > 0

Dạng 4: với a; b > 0 (BĐT phụ)

4.1.3 Công thức mở rộng của BĐT Côsi:

4.1.3.1Cho a, b, c là các số không âm

Khi đó: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

4.1.3.2Cho là các số không âm

Ví dụ 1: Bất đẳng thức Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x -1 = 0 hay x = 1 Khi đó x =1 còn được gọi là điểm rơi của BĐT trên

Ví dụ 2: Cho a, b >0, a+b 1.Ta chứng minh được BĐT:

Điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi Khi đó còn đượcgọi là điểm rơi của BĐT trên.

4.2.2 Biểu thức có tính chất đối xứng:

4.2.2.1 Khái niệm về tính đối xứng:Là biểu thức mà trong đó nếu thay

ẩn này bởi ẩn kia trong đẳng thức hay BĐT thì đẳng thức, BĐT đó không thayđổi về giá trị

4.2.2.2 Ví dụ:

;…

4.2.2.3 Kinh nghiệm:

-Khi gặp các BĐT có tính đối xứng, thì giá trị của điểm rơi chính là các

giá trị bằng nhau của các biến

- Thông thường giá trị của điểm rơi đạt được tại biên của các điều kiện đềbài cho

4.2.2.4 Các bài toán minh họa:

Bài 1: Cho a> 0; b> 0 ta có:

Nhận xét: Đây là kết quả của việc áp dụng BĐT Côsi trực tiếp cho hai số dương

và Nếu tổng quát nên ta có bài toán 2:

Bài 2: Cho x > 0 Chứng minh rằng:

Bài này ta cũng chỉ áp dụngtrực tiếp BĐT Côsi cho hai số dương x và Nếuthay điều kiện x > 0 bởi điều kiện x thì lời giải bài toán thếnào???

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với

Tìm điểm rơi: Gọi k là một số thựctùy ý sao cho:

Thay x = vào ta có k = Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

nhất bằng khi x =

Nhận xét:

- Trong bài này, điểm rơi được chọn là x = Đây chính là giá trị biên

của điều kiện đã cho.

- Trong lời giải trên ta đã cố định x và tách Vậy tương tự ta cũng có

thể cố định và tìm k tương tự.

b)Dự đoán điểm rơi là x = 2 Thử:

Tìm điểm rơi: Gọi k là một số thực tùy ý sao cho:

Thay x =2 vào ta có k =Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

khi x =2

Nhận xét:

- Trong bài này, điểm rơi được chọn là x=2 Đây cũng là giá trị biên của

điều kiện đã cho.

-Trong lời giải trên ta đã cố định và tách x Vậy tương tự ta cũng có thể

cố định x và tìm k tương tự.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải:

Biến đổi

Đặt t = , t suy ra

Theo bài 3b ta có min A = khi t =2 suy ra x = 0

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải:

Biến đổi

Đặt t = , t suy ra

Theo bài 3b ta có min A = - 2 = khi t =2 suy ra x = 0

Nhận xét: Kinh nghiệm giải của Bài 4 và Bài 5chính là kinh nghiệm biến đổi để

đưa về tổng hai nghịch đảo của hai số dương

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

với và x;y >0

Giải:Biến đổi

Đặt , suy ra

Dự đoán điểm rơi là Thử:

Tìm điểm rơi: Gọi k là một số thực tùy ý sao cho:

Thay vào ta có k = 4Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

Vậy Min A = khi

Nhận xét: Bài toán trên cho ta một kinh nghiệm chính là kinh nghiệmtìm giá trị

biên của điều kiện

Bài 7: Cho a, b >0, a+b 1.Chứng minh rằng:

Giải:

Tìm điểm rơi: Gọi k là một số thực tùy ý sao cho:

Thay vào ta có k = 4

Gọi m là một số thực tùy ý sao cho:

Thay vào ta có m = 4Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

Vậy Điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi

Nhận xét: Nhìn lại lời giải các bài tập trên khẳng định cho ta một điều: Tiến

trình để giải gồm có các bước cơ bản sau:

-Dự đoán điểm rơi

- Thử

- Tìm điểm rơi

- Tách, áp dụng BĐT Côsi

- Kết luận, chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng

Bài 8: Cho x, y > 0, x+y 6.Chứng minh rằng:

- Với y = 3 ta có:

Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

Nhận xét: Như vậy có bài chúng ta cần phải biến đổi rồi mới tìm điểm rơi và áp

dụng BĐT Côsi Ngoài ra luôn cần kết hợp với giả thiết để có hướng biến đổi.

Ví dụ trong bài tập trên do có điều kiện x+y 6 nên chúng ta chọn cách thêm

9, áp dụng BĐT Côsi cho 2 cặp số

Bài 9: Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c =1.Chứng minh rằng:

Giải:

Dự đoán điểm rơi là Thử:

Biến đổi và áp dụng BĐT Côsi ngược ta được:

khi

Nhận xét: Trong bài toán trên căn cứ vào chiều của BĐT cần chứng minh ta

ra có giả thiết là a+b+c = 1 nên ta đưa về tổng của a+b+c mà không cần tách (thêm,bớt).

Bài 10: Cho a, b >1.Chứng minh rằng:

Giải:

Dự đoán điểm rơi là (Do biểu thức đã cho có tính đối xứng)Thử:

Do a > 1 Suy ra a = b =2

Áp dụng BĐT Cô si ngược ta được:

;Cộng theo vế hai BĐT trên ta được: Điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi

Nhận xét: Trong bài toán trên biểu thức có tính chất đối xứng, không có giá trị

biên, nên ta chỉ dự đoán được điểm rơi là a = b, sau đó mới tìm giá giá trị biên của điểm rơi và áp dụng BĐT Côsi.

Bài 11: Cho x, y, z >0; x+y+z=2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Nhận xét: Nhờ có kĩ thuật tìm điểm rơi mà chúng ta áp dụng BĐT Côsi cho ba

một cách rất tự nhiên và có lời giải dễ hiểu hơn.

Bài 12: Cho x, y, z >0; xyz= 1.Chứng minh rằng

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số x, y, z >0 ta có:

Suy ra Điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi

Bài 13: Cho x, y > 1.Chứng minh rằng:

Giải:

Dự đoán điểm rơi là Thử:

Vậy dự đoán điểm rơi là x= y = 2

Tìm điểm rơi: Gọi k là một số thực tùy ý sao cho:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y = 2

Bài 14: Cho a, b> 0; a+b Tìm GTNN của biểu thức:

Giải:

Dự đoán điểm rơi là Thử:

Sai lầm: Ta thấy biểu thức có dạng nên áp dụng ta được

Nguyên nhân: Nếu vậy điều kiện xảy ra dấu bằng là

(Điều này vô lí)-Tìm điểm rơi:Gọi k là một số thực tùy ý sao cho

Tách

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số a, b ta có: suy ra:

Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 15: Cho a, b> 0; a+b Tìm GTNN của biểu thức:

Đáp số: MinA = 7 khi và chỉ khi

4.2.3 Biểu thức không có tính chất đối xứng:

4.2.3.1 Khái niệm: Là biểu thức mà trong đó nếu thay ẩn này bởi ẩn kia

trong đẳng thức hay BĐT thì đẳng thức, BĐT đó thay đổi về giá trị

4.2.3.2 Ví dụ: A=

4.2.3.3 Kinh nghiệm:

Đối với một số BĐT không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy

ra khi các giá trị của các biến tương ứng không bằng nhau Vì vậy, cần lựa chọn

kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT dạng không đối xứng là rất cần thiết

Một trong những kỹ thuật cơ bản là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều (kỹthuật điểm rơi) Kỹ thuật chủ yếu ở đây thườn là các giá trị trung gian được xácđịnh theo cách chọn đặc biệt , hoặc máy tính để tất cả các dấu đẳng thức đồngthời xảy ra

4.2.3.4 Các bài toán minh họa:

Bài 1: Cho Tìm min A =

Sai lầm:

Nguyên nhân: Theo trên có Min A = là đáp số đúng Nhưng sai ở việc đánh

giá mẫu số: “Với suy ra

Giải:

-Dự đoán điểm rơi là x = 2 Thử:

- Tìm điểm rơi: Gọi m, n là 2 số thực tùy ý sao cho:

Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

Vậy minA = khi x =2

Bài 2: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện x +y Tìm GTNN của biểu thức:

Giải:

-Dự đoán điểm rơi là Thay vào P ta có:

Thử:

-Dùng máy tính dự đoán điểm rơi là x = 2; y =4

- Tìm điểm rơi: Gọi k là một số thực tùy ý sao cho:

Thay x = 2 vào đẳng thức

Gọi m là một số thực tùy ý sao cho:

Thay y = 4 vào đẳng thức

Tách

Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số: ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2; y= 4

Bài 3: Cho x > 0.Tìm GTNN của biểu thức:

Nhận xét: Đây là biểu thức không đối xứng, lại không có giá trị biên Ta sẽ

dùng máy tính để dự đoán và tìm điểm rơi như sau:

- Dùng Table: Ấn mode/7/nhập f(x)/=/start (do có đk x>0 nên ta ấn 0)/=/end (không nên chọn giá trị quá lớn, ở đây ta nhập 5)/=/step (ở đây ta nhập 0,5)/=/xuất hiện bảng có 2 cột x và f(x) (Ta dóng và phán đoán x = là điểm rơi)

Nếu kết quả bằng 0 thì x = đúng là điểm rơi.

Vậy GTNN của P = 2017 khi và chỉ khi

Bài 4: Cho các số x; y; z dương sao cho x + y + z =1 Tìm GTNN của các biểu

thức:

Giải:

a)Nhận xét: Biểu thức A là một biểu thức đối xứng Tuy nhiên từ biểu thức này

ta có thể dẫn tới lời giải cho các biểu thức B và C không có tính đối xứng Vì vậy trước tiên chúng ta tìm lời giải cho biểu thức A như sau:

- Dự đoán điểm rơi là Thử:

- Tìm điểm rơi: Gọi m là một số thực dương sao cho:

Thay vào ta có m = Tương tự ta có:

Thay vào ta có n = ; Thay vào ta có k =

-Áp dụng BĐT Côsi 3 lần ta được: Tương tự:

; Cộng theo vế 3 BĐT trên có:

Vậy minA = khi và chỉ khi b) Dự đoán điểm rơi là

- Tìm điểm rơi: Gọi m, n, k là 3 số thực dương sao cho: ;

; (Điều kiện để xảy ra dấu bằng)Cần lưu ý là sau khi áp dụng Côsi ta cần cộng theo vế để tạo ra tổng x +y +znênta có Kết hợp với điều kiện: x + y + z =1

-Áp dụng BĐT Côsi 3 lần ta được: Tương tự ta

Cộng theo vế 3 BĐT trên có:

Vậy min B = khi và chỉ khi

Nhận xét: Tổng quát từ hai phần bài tập trên ta thấy, việc tìm các số phụ m, n, k

* Khi biểu thức có tính đối xứng, ta cần ghi nhớ các kinh nghiệm:

- Nếu ta dự đoán áp dụng được BĐT Côsi thì cần kiểm tra ngay điều kiện xảy ra dấu bằng có thỏa mãn không Nhiều trường hợp vẫn áp dụng được BĐT Côsi nhưng lại không xảy ra dấu bằng, đây là sai lầm các em thường xuyên mắc phải.

-Giá trị của điểm rơi chính là các giá trị bằng nhau của các biến

- Thông thường giá trị của điểm rơi đạt được tại biên của các điều kiện đề bài cho.

* Khi biểu thức không có tính đối xứng, ta cần ghi nhớ các kinh nghiệm:

- Nhiều biểu thức không đối xứng, lại không có giá trị biên Ta sẽ dùng máy tính cầm tay Casio để dự đoán và tìm điểm rơi bằng chức năng Table.

- Đối với một số BĐT không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy

ra khi giá trị của các biến tương ứng không bằng nhau.

Ta cần ghi nhớ các bước cơ bản:

-Dự đoán điểm rơi (Có thể cần dùng máy tính Casio) -Thử

-Tìm điểm rơi -Tách, áp dụng BĐT Cô-Si -Kết luận, chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng.

4.2.5 Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: khi

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3: Cho ba số dương x, y, z và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn: Ta có

Tương tự ta có:

Cộng (1) ,(2) , (3) theo vế ta được:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A = khi x= y=z =

Bài 4:Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức

Dấu “=” xảy ra Vậy min P = 1

Bài 5: Cho a; b; c >0 và a + b + c =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Ta có :

Khi a = b = c = 1