(SKKN HAY NHẤT) rèn kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Từ những tích lũychuyên môn, ôn luyện lớp chất lượng cao, luyện thi Tốt nghiệp THPT Quốc gianhiều năm và tiếp cận sự đổi mới về kì thi TN THPT năm 2020- 2021, tôi đúc rút thành đề tài “R

2.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu 22.1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức 2

2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc 3

2.3.3.1 Áp dụng 2 bài toán liên quan đến khoảng cách đến đường thăng

2.3.3.2 Các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn2.3.3.3 Các bài toán phương trình elip

336810

101316

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Về phía học sinh2.4.1 Về phía giáo viên

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

18181818

1 MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây cùng với sự đổi mới trong giáo dục là đổi mớitrong thi cử, môn Toán đóng một vai trò quan trọng khi chuyển từ hình thức thi tựluận sang hình thức thi trắc nghiệm Vì vậy đòi hỏi người dạy và học phải linh hoạtnắm bắt thông tin kiến thức nhanh, nhạy bén, chính xác để giải quyết vấn đề và đưa

ra đáp án một cách chính xác, nhanh, gọn Việc giảng dạy môn Toán đối với cácgiáo viên không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho họcsinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể mà cần tạo cho học sinhhứng thú, phương pháp tư duy tích cực, mạch lạc và tối ưu trong khi học Qua đóhọc sinh có thể áp dụng chúng trong các môn học khác cũng như trong thực tiễncuộc sống Vì vậy người dạy cần có sự tìm tòi và đổi mới phương pháp thườngxuyên cho phù hợp với nội dung kiến thức và nhu cầu của người học

Nghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy là những nhiệm vụ quantrọng của mỗi giáo viên luôn luôn được quan tâm và thực hiện Trong những nămqua ở các trường trung học phổ thông rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao nănglực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiềuhình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học,ứng dụng CNTT trong các các giờ dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sángkiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổchức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi thầy cô là tấm gương sáng tự học, tựsáng tạo”

Việc nâng cao phương pháp dạy học và nghiên cứu khoa học là cần thiết vàthường xuyên đối với giáo viên của tất cả các bộ môn Với môn toán có nhiều đơn

vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức vàphương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa,trong những năm gần đây đề thi Tốt nghiệp THPT hằng năm thường có các câu hỏivận dụng và vận dụng cao về số phức Đặc biệt là các câu hỏi liên quan đến giá trịlớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trong số phức thường là các câu hỏikhó Vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để họcsinh có thể giải quyết các bài toán khó này trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT hằngnăm

Do đó, nhằm giúp các em ôn tập dạng toán này, Tôi đã sưu tầm và tổng hợpcác bài tập về GTLN – GTNN liên quan đến số phức và phận thành dạng toán để

ôn luyện cho các em, giúp các em có vốn kiến thức chắc chắn, vững vàng, tự tinlàm bài tốt trong kì thi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Từ những tích lũychuyên môn, ôn luyện lớp chất lượng cao, luyện thi Tốt nghiệp THPT Quốc gianhiều năm và tiếp cận sự đổi mới về kì thi TN THPT năm 2020- 2021, tôi đúc rút

thành đề tài “Rèn kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng ứng dụng

bất đẳng thức, khảo sát hàm số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.

1.3 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tài liệu và các đề thi Tốt nghiệp hằng năm, các đề thi thử và tựnghiên cứu

1.4 Phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Nghiên cứu phương pháp bất đẳng thức, phương pháp toạ độ trong mặtphẳng và phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các bàitoán liên quan đến số phức

1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.

Nghiên cứu phương giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất liên quan số phức

Xây dựng hệ thống các bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụngcao về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu

 Số (đơn vị ảo):

 Số phức: Biểu thức ( ) gọi là số phức; được gọi là phầnthực, được gọi là phần ảo

 Với mỗi số phức , khi đó biểu thức gọi là môđun của

 Với mỗi số phức Số phức gọi là số phức liên hợp của

số phức Kí hiệu Như vậy nếu thì

 Với mỗi số phức Xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ Điểm gọi là biểu diễn hình học của số phức

Kí hiệu để chỉ là điểm biểu diễn cho số phức

 Với , tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức

là đường tròn tâm I bán kính

hợp các điểm là đường elip

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong quá trình dạy học cho thấy, đa học sinh tuy nắm rất vững kiến thức vềmặt lý thuyết nhưng khi gặp những dạng toán vận dụng cao về cực trị số phức các

em cũng rất lúng túng không biết vận dụng như thế nào

Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán về GTNN là những bài toán vận dụng cao Đặc biệt là các bài toán cực trị liên quanđến số phức lại là các bài toán khó nên đòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo cáccông thức mà còn phải hiểu và phải biết vận dụng kết hợp các phương pháp đã biết

GTLN-để giải quyết bài toán một cách đầy đủ và chính xác

Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào đểgiúp học sinh khi đứng trước những bài toán đó giải quyết một cách dễ dàng, nhanhgọn và chính xác

Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và phân loạithành 3 phương pháp cơ bản giải các bài toán cực trị liên quan đến môđun của sốphức, để học sinh dễ tiếp thu phân dạng, chủ động, tích cực trong học tập

2.3 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Kỹ năng sử dụng bất đẳng thức trong bài toán cực trị môđun số phức 2.3.1.1 Sử dụng tính chất của bất đẳng thức trong số phức

Với hai số phức ta luôn có

 dấu bằng xảy ra khi ;

 dấu bằng xảy ra khi ;

 dấu bằng xảy ra khi ;

 dấu bằng xảy ra khi ;

Ví dụ 1.2 Cho số phức thỏa mãn: Tìm GTNN của biểu thức:

Phương pháp

+ Ghép 2 đẳng thức (n nguyên dương)+ Áp dụng BĐT tri tuyệt đối

Giải

Ta có

Ta có

TH1: suy ra TH1: Đặt suy ra Khi đó

- Gọi số phức , suy ra mối liên hệ giữa

- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki theo 2 cách để tìm giá trị lớn nhất

- Biễu diễn từ điều kiện bài toán rút y theo x Tìm điều kiện biến x

- Biến đổi biểu thức cần tìm về dangju hàm số (có thể sử dụng đặt ẩn phụ)

- Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Từ đó rút ra kết luận

- Biễu diễn P theo biến x, xét hàm số để tìm GTLN

Xét hàm số với

Ta có Tính Suy ra GTLN

Ví dụ 2.2: Tìm GTLN của với z là số phức thỏa mãn

Phương pháp

- Gọi

- Tìm điều kiên của biến x

- Biễu diễn P theo biến x, xét hàm số để tìm GTLN của P

Do đó biến đổi ta được:

Khảo sát hàm trên đoạn ta được

Suy ra GTNN

1-2

0

-0-

f’(b)

+∞

11

f(b)

Ví dụ 2.4 Cho hai số phức thỏa mãn: Giá trị lớn nhất củabiểu thức bằng:

A B 2 C D

Phương pháp

- Rút w theo z

- Đánh giá mô đun w+i

- Đặt ẩn phụ t=|z| biễu diễn P theo biến t, xét hàm số để tìm GTLN

Giải Ta có

Suy ra

Đặt ta xét hàm số

Lập bảng biến thiên suy ra GTLN

Ví dụ 2.5: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính mô đun của số phức

Phương pháp

- Gọi

- Tìm điều kiên của biến y

- Biễu diễn P theo biến y, xét hàm số để tìm GTNN của P

TH1:

Xét hàm số: trên

Ta có

Ta có: , TH2:

+ Bước 2 ( hoặc ) với A,

B là hai điểm biểu diễn hai số phức Đến đây bài toán GTLN, GTNN củamôđun số phức được chuyển về bài toán GTLN, GTNN trong hình học phẳng

Ví dụ 3 1 Trong tất cả các số phức thỏa mãn Tìm giá trịnhỏ nhất của môđun của

A B C D

Phương pháp giải

- Gọi biểu diễn cho số phức z Tìm PT đường thẳng chứa M

- Tìm hình chiếu vuông góc của O lên suy ra GTNN của

- Gọi biểu diễn cho số phức z

- Tìm phương trình đường thẳng chứa M

- Gọi (-1; 1), tìm hình chiếu vuông góc của lên suy ra GTNN

Giải.

Đặt Từ hệ thức , ta được Gọi , thì

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với thì hay

Xét hệ phương trình Vậy hình chiếu vuông góc của lên là

Từ đó nhỏ nhất khi

Ví du 3 3: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Phương pháp

- Gọi biểu diễn Suy ra là thuộc đường thẳng d

- Gọi và

- Tính P, biện luận để P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên d

thẳng d: Với biểu diễn hai số phức và

là trung điểm của AB.

nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên đường

thuộc đường thẳng d: Với

biểu diễn hai số

mà nằm khác phía đối với d

2.3.3.2 Các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn

Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất củamôđun số phức (điều kiện bài toán có tập điểm biểu diễn số phức là mộtđường tròn)

Phương pháp tổng quát

+ Bước 1 Xác định được điều kiện bài toán suy ra được tập điểm biểu

diễn số phức là một đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R;

+ Bước 2 nhỏ nhất, lớn nhất khi MA nhỏ nhất, lớn nhất ( A là điểm biểu

Ví dụ 3.5: Cho số phức thỏa mãn Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của Tính giá trị của tổng

- Gọi biểu diễn Suy ra M là thuộc tròn

- Gọi , , là trung điểm của

- lớn nhất khi lớn nhất

Từ hệ thức , ta được Đặt , , là trung điểm của thì

Theo lí thuyết ở trên, ta thấy lớn nhất khi lớn nhất , khi Đường thẳng qua vuông góc với có phương trình

Xét hệ phương trình Ta được Tức là ,

Chọn điểm (như đã nói trên) Vậy

Ví dụ 3.7: Giả sử là hai trong số các số phức thỏa mãn là số thuần ảo Biết rằng , giá trị lớn nhất của bằng

(Đề thi KS lần 3 THPT Quảng Xường 1, 2020-2021)

Phương pháp

- Gọi

- A, B biễu diễn cho z1, z2 Tìm M thỏa mãn

- Suy ra P= 3OM suy ra GTLN của P

+ Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn của và Suy ra:

+ thuộc đường tròn có tâm , bán kính

+ thuộc trục và Từ suy ra:

.Vậy có giá trị nhỏ nhất bằng

Ví dụ 3.9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Giá trị lớnnhất của là

di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và J,

độ dài trục lớn là Tìm giá trị lớn nhất của tức là tìm độ dài lớn nhấtcủa đoạn AM khi M di chuyển trên elip Ta có: ,

điểm A nằm trên trục lớn của elip =>AM đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi Mtrùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I

Gọi S là trung điểm của IJ Độ dài đoạn

2.3.3.3 Các bài toán sử dụng phương trình elip

Bài toán Cho số phức z thoả mãn

(hoặc ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun số phức z.

Từ tập điểm biểu diễn là thuộc

với là đỉnh của Elíp

nhất của

Giải

ta có biểu diễn hai số phức,

điểm biểu diễn số phức là trung điểm của, khi đó:

nên tập hợp điểm biểu diễn số phức

là thuộc đường Elíp có tiêu cự ,

Ví dụ 3.14: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của

B C D

(Đề khảo sát lần 3 năm học 2020-2021-THPT Triệu Sơn 2)

Giải Gọi

hai số phức , , gọi là trung điểm của

khi đó: nên tập điểm biểu diễn là thuộc đường Elíp có tiêu cự Mặt khác và suy ra A nằm trên

trục lớn và phía ngoài Elíp Khi đó

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Về phía học sinh

Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trongnăm học 2018 -2019 tại lớp 12C2, năm học 2020 -2021 tại lớp 12B1 đều là các lớpmũi nhọn của nhà trường Tôi đã thực hiện ôn tập và rèn luyện kĩ năng giải các bàitoán vận dụng cao về số phức cho học sinh và kết quả thu được rất khả quan Nănglực học sinh có sự chuyển biến tích cực qua những lần thi KSCL theo định hướngthi THPT Quốc gia 2019 và thi tốt nghiệp THPT năm 2021 của nhà trường Cụ thể:

Qua điều tra tất cả các em học sinh đã biết cách giải các bài toán vận dụngcao về cực trị số phức Các em cũng tự tin khi thực hành làm đề trên lớp và ở nhà

Tất cả điều đó góp phần chuẩn bị tốt cả về kiến thức, kĩ năng, tâm lí cho học sinhbước vào kì thi Tốt nghiệp THPT với kết quả cao nhất

2.4.2 Về phía giáo viên

Với các toán cự trị về số môđun số phức này Tôi đã áp dụng và giảng dạy,

ôn thi Tốt nghiệp THPT cho học sinh khá giỏi tại trường THPT Triệu Sơn 2, kếtquả đạt được khá là hiệu quả và được giáo viên Toán nhà trường đánh giá cao vềtính khoa học, thiết thực, hiệu quả của đề tài

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Khi giảng dạy chương IV- Giải tích 12 "Số phức " cùng với việc dạy cho học

sinh kiến thức cơ bản về số phức, các phép toán quen thuộc trên tập hợp số phức

Giáo viên cũng cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các bài toán vận dụng cao

về cực trị môđun số phức Kĩ năng này sẽ giúp cho các em làm nhanh, làm tốt bàithi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan

và thời gian thi rút ngắn chỉ còn lại 90 phút của môn Toán hiện nay thì việc pháthiện phương pháp và cách giải các bài toán vận dụng cao một cách nhanh chóng làrất cần thiết Đề tài của tôi đã giải quyết được một phần điều đó và cũng chính làmột kinh nghiệm để các thầy cô giáo dạy Toán tham khảo nhằm nâng cao chấtlượng, hiệu quả các giờ dạy Toán nói chung và dạy học phần số phức nói riêng đặcbiệt là các bài toán có tính chất vận dụng cao

Trong bài viết, tôi mới chỉ giới thiệu được một số phương pháp giải các bàitoán vận dụng cao về cực trị môđun của số phức Mong các bạn đồng nghiệp góp ý

để bài viết được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

Đề nghị Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức các hội thảo khoa học, hội thảo báocáo các Sáng kiến kinh nghiệm tiểu biểu theo cụm để các giáo viên có điều kiệntrao đổi và học hỏi kinh nghiệm áp dụng trong dạy học

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Tác giả

Thi Văn Chung

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC

VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GDcấp huyện/tỉnh)

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Phương pháp đặt ẩn phụ giảiphương trình chứa ẩn dấu căn Ngành GD tỉnh B 2007

2 Chứng minh bất đẳng thứcbằng phương pháp hàm số Ngành GD tỉnh C 2011

3 Hướng dẫn học sinh giải một

số phương trình, hệ phươngtrình bằng PP hàm số

Ngành GD tỉnh C 2014

4 Giải toán hình học không gianbằng PP tọa độ” Ngành GD tỉnh C 2017

5 Giúp học sinh lớp 10 khắcphục một số sai lầm khi giảibài toán bất phương trình”

Ngành GD tỉnh C 2019

6 Biện pháp xây dựng môitrường sư phạm đảm bảo anninh trật tự, an toàn trường học

ở trường THPT Triệu Sơn 2

+ Loại C năm 2020 - Quyết định số: 2088/QĐ-SGDĐT ngày 22 tháng 12 năm 2020của Giám đốc Sở GD&ĐT với đề tài “Biện pháp xây dựng môi trường sư phạmđảm bảo an ninh trật tự, an toàn trường học ở trường THPT Triệu Sơn 2 “trườngTHPT Triệu Sơn 2”

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giải tích 12-Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), nhà xuất bản Giáo dục

[2] Đề tham khảo và đề thi THPT Quốc gia môn toán năm 2018; 2019, 2020, 2021của bộ GDĐT

[3] Đề thi thử môn toán năm 2018; 2019, 2020, 2021 của các trường THPT trong

cả nước

[4] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

[5] Khai thác Internet