(SKKN HAY NHẤT) phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp

Lí do chọn đề tàiKhi gặp những bài toán về cực trị, tương giao của các đồ thị hàm số, củahàm đa thức, lượng giác thì học sinh đã vận dụng rất tốt phương pháp để giảiquyết các bài toán dạ

Người thực hiện: Trần Trung Tình Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài……… ……….1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… ……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….1

1.4 Phương pháp nghiên cứu………1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………2

2.3 Phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp……….…… 3

2.3.1 Nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp ……… ……3

2.3.2 Một số bài toán minh họa trong đề thi minh họa của bộ giáo dục………4

2.3.3 Một số bài toán phát triển ……… ………9

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… ……… 17

3 Kết luận và kiến nghị………18

3.1 Kết luận………18

3.2 Kiến nghị……… 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

Khi gặp những bài toán về cực trị, tương giao của các đồ thị hàm số, củahàm đa thức, lượng giác thì học sinh đã vận dụng rất tốt phương pháp để giảiquyết các bài toán dạng này từ cơ bản đến vận dụng cao Tuy nhiên khi gặpnhững bài toán cực trị, tương giao về hàm hợp của các hàm đa thức, lượng giác,thì học sinh gặp nhiều khó khăn trong cách phân tích và giải quyết bài toán này

Trong những năm gần đây, trong kì thi trung học phổ thông Quốc gia luônxuất hiện bài toán về cực trị, tương giao của hàm hợp ở mức độ vận dụng và vậndụng cao, khi gặp những bài toán này học sinh rất khó khăn trong việc tìm địnhhướng cũng như tính toán để ra được đáp số và không sử dụng được máy tínhcầm tay để giải quyết những bài toán này được

Tài liệu “Phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp” nhằm

giúp cho học sinh lớp 12 rèn kỹ năng định hướng và tìm số điểm cực trị, tươnggiao của hàm hợp, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán vềcực trị, tương giao của hàm hợp Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức vềcực trị của hàm số và tương giao giữa các đồ thị mà học sinh đã học, học sinh sẽcảm thấy hứng thú học khi gặp các dạng toán này Tài liệu này cũng giúp họcsinh học tập thuận tiện nhất Đây là một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinhcũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN Trung học phổ thông Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trườngTHPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khaithác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề các phương phápghép trục trong các bài toán hàm hợp

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinhphương pháp ghép trục để giải quyết các bài toán về cực trị và tương giao Hyvọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh cómột cái nhìn toàn diện phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Cực trị và tương giao giữa các đồ thị hàm số của hàm hợp Nội dung nằm

ở chương 1 sách giáo khoa giải tích 12 Xây dựng các bài toán về cực trị củahàm hợp và tương giao giữa các đồ thị hàm số của hàm hợp giải bằng phươngpháp ghép trục

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học

- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2020 – 2021.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo

nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiếnthức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đíchgiúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bàitoán về cực trị và tương giao giữa các đồ thị hàm số của hàm hợp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Chủ đề cực trị của hàm số và tương giao giữa các đồ thị hàm số là mộttrong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 Tuy nhiêncực trị của hàm hợp và các bài toán tương giao của hàm hợp là những dạng toánkhó Cực trị của hàm hợp và tương giao giữa các đồ thị hàm số của hàm hợp làmột nội dung thường gặp trong các đề thi TN THPT Quốc gia ở mức độ vậndụng và vận dụng cao Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả

học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Học sinh thường không định hướng được cách làm Do dó học sinh cócảm giác “xa lạ” hơn so với các bài toán về cực trị và tương giao giữa các đồ thịhàm số đã học trước đây Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũvới mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này

2.3 Phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp 2.3.1 Nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp Bước 1: Tìm tập xác định của hàm , giả sử ta được tập xác định

Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên như sau

Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm , sắp xếp các điểm này theothứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: (xem chú ý 1)

Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt

ra trong bài toán và kết luận

- Nếu xét hàm thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số (là hoành

độ giao điểm của với trục )

Chú ý 2:

- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của

- Điểm kỳ dị của gồm: Các điểm tại đó và không xácđịnh, các điểm cực trị hàm số

- Nếu xét hàm thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm củaphương trình (là hoành độ giao điểm của với trục )

- Nếu xét hàm thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số (làhoành độ giao điểm của với trục )

2.3.2 Một số bài toán minh họa trong đề thi minh họa của Bộ giáo dục Bài 1 (MH-BGD-L1-2020) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là

Lời giải Chọn B.

Ta có

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6

Bài 2 (MH-BGD-L1-2020) Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hìnhbên Số điểm cực trị của hàm số là

A 5 B 3 C 7 D 11.

Lời giải Chọn C

Ta có đồ thị của hàm số

Từ đồ thị ta thấy:

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm

Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Xét hàm số ta có

Gọi là các điểm cực trị của hàm số khi đó và tacũng có

Bài 3 (MH-BGD-L2-2020) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là

A 7 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn C

Cách 1: Tự luận truyền thống

Đặt

Khi đó phương trình trở thành Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và đường thẳng

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 2 nghiệm thỏamãn

Trường hợp 2:

Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn

Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trênđều khác nhau

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn

Cách 2: phương pháp ghép trục

Đặt Khi đó phương trình trở thành

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5

2.3.3 Một số bài toán phát triển Bài 4 Cho hàm số có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới Hỏiphương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A 8 B 6 C 9 D 11.

Lời giải Cách 1: Tự luận truyền thống

- Dựa vào đồ thị hàm số , ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số (hình vẽ dưới đây)

Ta suy ra: Phương trình mỗi phương trình có 1 nghiệm, phươngtrình có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Ta có BBT của hàm số :

Từ đồ thị hàm số và từ bảng biến thiên của hàm số

ta có bảng biến thiên của hàm hợp như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình có 5 nghiệm và phương trình

có 1 nghiệm Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm

Bài 5 Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên

Số giá trị nguyên của tham số để phương trình

có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc

Lời giải Chọn B

Cách 1: Tự luận truyền thống

Ta có

Đặt ta được phương trình

+) Với +) Với

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn thì phương

trình có đúng 1 nghiệm trên đoạn khác

Với

Nhận xét:

Nếu thì có 2 nghiệm

Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ phương trình thỏa mãn

Do phương trình có 3 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với

Vì nên

Bài 6 [CHUYÊN ĐH VINH LẦN 1-2020] Cho hàm số liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình bên

Xác định số nghiệm của phương trình , biết

Lời giải Chọn C.

Theo ra ta có bảng biến thiên tổng hợp:

Đồ thị là phần nét liền Từ bảng biến thiên thì phương trình

có 10 nghiệm phân biệt

Bài 7 Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số để phương trình có 8 nghiệm phânbiệt

Lời giải Chọn A

Phương pháp ghép trục

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có 8 nghiệm phân biệt

Bài 8 Cho hàm số Số điểm cực trị của hàm số

là

Lời giải Chọn B

Phương pháp ghép trục

Hàm số có bảng biến thiên:

Ta có

Bảng biến thiên của hàm số :

Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có hàm số có 3 điểm cực trị

Bài 9 [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG-2020] Cho là hàm đathức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số như hình vẽ

Chọn C Phương pháp ghép trục

BBT của hàm số

BBT của

BBT của

Từ bảng biến thiên hàm số có 3 điểm cực trị

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tìm cực trị vàtìm tương giao của các đồ thị hàm số của hàm hợp bằng phương pháp ghép trục

Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh vớimức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết ápdụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vàogiảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nóitrên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :

Năm

Tổng số

Điểm 8trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5Số

lượng

Tỷlệ

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ

2020-2021

Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảngdạy tại trường THPT Yên Định 1

Ứng dụng của phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp là mộtnội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPTnói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng làphần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khidạy phần phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp giáo viên cần chỉ

rõ từng bước và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót

và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung

và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

3.2 Kiến nghị

Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủsách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm đểlàm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dungcủa người khác

Trần Trung Tình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nhà xuất bản giáo dục.

[2] Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &

Đào tạo

[3] Các đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2018 đến năm 2020 của các trườngTHPT trên toàn quốc