(SKKN HAY NHẤT) phương pháp kẻ hình lăng trụ là hình vuông trong giải toán hình học

- Đề tài “ Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hiện hình vuông trong giải toán hình học” giúp cho học sinh hình thành nên một phương pháp để chứng minh các đặc tính hình học.. Việc xây dựn

MỤC LỤC

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trang 2Trang 2Trang 2Trang 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối Trang 17

3 Kết luận, kiến nghị Trang 18

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Để giúp cho học sinh hình thành, phát triển các năng lực và phẩm chất trítuệ thì người giáo viên cần phải sử dụng các phương pháp và kĩ thuật dạy họctích cực, trong đó kĩ thuật động não là một trong những kĩ thuật có thể giúp họcsinh tìm kiếm, chứng minh một định lý, tìm những lời giải hay cho một bài toán,

có tác dụng rèn luyện cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ,trong suy luận… qua đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sángtạo, linh hoạt, nhạy bén,

Trong toán học phần hình học là một môn học rất khó với lứa tuổi họcsinh trung học cơ sở, vì tính trừu tượng của môn học khá cao Có thể nói rằng,hầu hết các học sinh hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập mônhình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên đề,… đếnviệc hoàn thiện chứng minh các dạng toán, các lập luận, suy luận để dẫn đếnđiều phải chứng minh Hầu hết học sinh chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp ởhình học, rất ngại khi học môn này vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kếtquả học tập chưa cao

Một trong những điều kiện có thể phát triển tư duy tích cực - độc lập - sáng tạo của học sinh là giáo viên phải sử dụng kĩ thuật động não một cách phù hợp với từng đơn vị kiến thức và với từng đối tượng học sinh nhằm kích thích họcsinh tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề Trước yêu cầu đó, tôi xin trình bày đề

tài: “ Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hiện hình vuông trong giải toán

hình học”

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

- Đề tài “ Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hiện hình vuông trong giải

toán hình học” giúp cho học sinh hình thành nên một phương pháp để chứng

minh các đặc tính hình học Qua đó rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn nhận

tư duy chính xác, hợp lôgic Việc xây dựng nên “Phương pháp kẻ đường phụ

làm xuất hiện hình vuông trong giải toán hình học” có tác dụng rõ rệt trong

việc rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học trong suy luận, biến các kiếnthức thu nhận được thành công cụ để nhận thức và học tập

- Học sinh hiểu được phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hiện hình vuông, từ đó

hệ thống hóa và bổ sung những kiến thức liên quan của chương trình hình học cáclớp 7, 8, 9

- Trong đề tài đã đưa ra một hệ thống các bài toán có sự phân tích để tìm rađươc cách kẻ đường phụ làm xuất hiện hình vuông trực tiếp hay gián tiếp và

từ đó tìm ra cách giải cho mỗi bài toán

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

+ Đề tài tập trung vào việc giải bài tập hình học đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ,hình phụ

+ Đề tài phải để học sinh thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ, hình phụ

1LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

+ Học sinh phải vẽ được đường phụ, hình phụ, tìm tòi được lời giải của bài toán

và phải hiểu xem tại sao lại kẻ thêm đường phụ, hình phụ như vậy

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

- Nghiên cứu kĩ lí luận dạy học làm tiền đề xây dưng cơ sở lí thuyết cho sáng kiến kinh nghiệm

- Quan sát việc giải bài toán có sử dụng việc vẽ đường phụ, hình phụ của học sinh để thấy được ưu nhược điểm của học sinh

- Điều tra khảo sát thực tế việc giải toán hình học bằng cách vẽ đường phụ của học sinh đồng thời tìm tòi những bài toán có sử dụng vẽ đường phụ là hình vuông để giải

- Từ đó sắp xếp các bài toán một cách hợp lí để trình bày vào sáng kiến kinh nghiệm của mình

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

- Khi thực hành giải Toán phải có những thao tác, phương pháp nhất định để đưabài toán từ phức tạp đến đơn giản chứ không rườm rà, cầu kì sẽ làm cho bài toánthêm phức tạp Do đó giáo viên cần hướng dẫn, có những phương pháp phù hợp,

dễ hiểu đề đi đến kết quả nhanh và chính xác

- Học sinh học tập một cách thụ động, máy móc, hay dựa vào bài mẫu trong sách giáo khoa, sách tham khảo chứ chưa hình thành cho mình một phương pháp riêng để giải một bài toán

- Giáo viên tránh những đơn điệu nhàm chán trong khi học toán, giải toán mà phải tạo được những hứng thú khi học toán, giải toán

- Một số bài toán có thể giải được bằng nhiều cách khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lí, ngắn gọn, độc đáo là một việc không dễ dàng Càng không

dễ khi định hướng cách giải, phương pháp giải gần gũi với các em Do đó “

Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hiện hình vuông trong giải toán hình học” góp phần làm cho các em có hứng thú và sáng tạo hơn trong học toán, giải

toán

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

- Phần lớn học sinh chưa cảm nhận được vẻ đẹp, tính Logic, tư duy của hìnhhọc, rất ngại học hình, vì tính trừu tượng cao, quá nhiều áp lực khi giải quyếthàng loạt các định lý, định nghĩa, tiên đề, hệ quả,… Song bên cạnh đó, hệ thốngbài tập thực hành còn ít, khó, không cụ thể, không đa dạng

- Số lượng học sinh trong lớp quá đông, dẫn đến việc chuẩn bị điều kiện học tậpcho học sinh của giáo viên quá nhiều, việc quản lí học sinh trong giờ học hoặctạo điều kiện cho học sinh phát biểu ý kiến của mình còn ít

- Một số học sinh chưa có thái độ đúng đắn, chưa tự giác trong học tập, chưa tậptrung chú ý, khám phá kiến thức, thực hiện các yêu cầu của giáo viên và sáchgiáo khoa đề ra, mà chỉ ỷ lại ở bạn bè, phụ thuộc vào bạn bè trong các hoạt độnghọc tập điều đó dẫn đến hiệu quả, chất lượng học tập không cao

- Một số học sinh xem nhẹ việc học lý thuyết, việc vận dụng lý thuyết vào thực

tế giải toán

- Phần lớn học sinh hiểu được vấn đề, song không diễn đạt được, hoặc không thểtrình bày được hoàn chỉnh, hoặc không định hướng được phương pháp giải toántrên hướng phân tích tổng hợp.

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

2.3.1 Kiến thức cơ bản về hình vuông.

a) Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnhbằng nhau

+ Hai đường chéo là tia phân giác của các góc của hình vuôngc) Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

Dấu hiệu 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

Dấu hiệu 2: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hìnhvuông

Dấu hiệu 3: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc

là hình vuông

Dấu hiệu 4: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

Dấu hiệu 5: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

2.3.2 Phương pháp dựng trực tiếp:

Ngoài các cách vẽ đường phụ như: đường vuông góc, đường song song,tia phân giác, đường kính của đường tròn,… cũng như các cách vẽ hình phụnhư: tam giác đều, hình bình hành, đường tròn,… Khi vẽ hình phụ là hình vuônglàm xuất hiện trung điểm của đoạn thẳng, các đoạn thẳng bằng nhau, các gócbằng nhau, các tam giác bằng nhau, các đường thẳng song song, ba điểm thẳnghàng, góc có số đo bằng 450,…giúp dễ dàng đến được với lời giải của bài toán

Dưới đây là một số ví dụ cụ thể

Bài toán 1: Cho DABC vuông tại A (AC > AB) có đường cao AH Trên

tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Vẽ tia Dx vuông góc với BC cắt AC tại

E Chứng minh rằng: AB = AE

3LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

H N

M

K B

x

E F

Þ DHAB = DFAE ( g.c.g ) Þ AB = AE (đpcm)

Từ bài toán 1khi tam giác ABC vuông cân và có đường trung tuyến CM ta

có bài toán 2 sau đây

Bài toán 2: Cho DABC vuông cân tại A, có đường trung tuyến CM.

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với CM cắt BC tại H Tính tỉ số ?

Hướng dẫn : Do DABC vuông cân tại A là một nửa của hình vuông nên

ta nghĩ tới việc dựng một hình vuông nhận ba điểm A, B, C làm ba đỉnh Trongtrường hợp này hãy làm xuất hiện trung điểm của đoạn thẳng để từ đó tính được

tỉ số

E K

F

B A

Chứng minh: Dựng hình vuông ABKC.

Gọi giao điểm của AH và BK là N

Xét DACM và DBAN có:

= = 900

AC = AB ( do ABKC là hình vuông ) = (cùng phụ với )

Bài toán 3: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH ^ AC ( H Î AC ) Trên

Hướng dẫn: Dựng một hình vuông có cạnh là AB Lúc đó ta sẽ có được

ba điểm thẳng hàng Dẫn tới là góc của một tam giác vuông cân nên sẽ tínhđược số đo của

Chứng minh:

5LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Þ Ba điểm E, K, F thẳng hàng

Ta có: BC = KE ( do DABC = DBKE )

Mà BC = AD ( do ABCD là hình chữ nhật ) Þ KE = ADMặt khác: KF = AF ( do ABKF là hình vuông )

Þ KE + KF = AD + AF

Þ EF = DFXét DFDE có: = 900 và EF = DF Þ DFDE vuông cân tại F

Þ = 450 hay = 450

Nếu từ một tam giác vuông mà có điều kiện đặc biệt về hai cạnh góc vuông thì ta có bài toán 4 sau đây.

Bài toán 4: Cho DABC vuông tại A có AB = AC Trên cạnh AC lấy các

Hướng dẫn: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng một hình vuông, lúc đó xuất hiện một góc có số đo bằng : + và bài toán sẽ

được giải

Þ =

Ta có: + = 900

Þ + = 900

Þ = 900Xét DBNC có: = 900 và NB = NC ( do DMBN = DDCN )

Þ DBNC vuông cân tại N

Þ = 450Xét DAEB và DDCN có: AE = DC; = = 900; AB = DN

Bài toán 5: Cho DABC vuông cân tại A Gọi M, N lần lượt là trung

Hướng dẫn: Ta dự đoán DABH cân tại B Vì vậy ta chứng minh AB =

BH và bằng một đoạn thẳng thứ ba nào đó Do đó ta sẽ dựng một hình vuông để

có các đoạn thẳng bằng nhau và sẽ có được lời giải của bài toán

7LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Chứng minh:

Dựng hình vuông ABKC

Xét DAMC và DCKN có:

AM = CN ( do AM = AB, CN = AC và AB = AC ) = ( = 900 )

MB = MA ( do M là trung điểm của AB ) = ( đối đỉnh )

B A

E F

Vì tam giác vuông cân là một nửa của hình vuông nên khi thay tam giác vuông cân thành hình vuông ta có bài toán 6 sau đây.

Bài toán 6: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M nằm trong hình vuông

Hướng dẫn: Ta thấy DAMB đã là tam giác cân tại M Để chứng minhDAMB đều ta chỉ cần chứng minh AM = AB Mà AB là cạnh của hình vuôngABCD Do đó ta dựng một hình vuông trên cạnh DM và bài toán sẽ được giải

Þ AM = AD

9LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

N M

D K

E

C

B

A

Þ DABM là tam giác đều ( đpcm )

Lại từ một tam giác vuông cân ta có thể dựng sẵn một hình vuông khi đó

ta có bài toán 7 sau đây

Bài toán 7: Cho DABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AC lấy

điểm D bất kì ( AD < AC ) Dựng hình vuông ADMN ( N Î AB ) Trên cạnh

định

Hướng dẫn: Dự đoán MK đi qua điểm cố định là E, mà E và các điểm

A, B, C là bốn đỉnh của một hình vuông Do đó ta dựng hình vuông ABEC thìbài toán sẽ được giải

Chứng minh:

Dựng hình vuông ABECTrên cạnh EC lấy điểm F sao cho EF = ADXét DEBF và DABD có:

EB = AB(do ABEC là hình vuông); = = 900; EF = AD(do ta lấy điểm F)

Þ DEBF = DABD ( c.g.c )

Þ = mà + = 900

Þ + = 900

Þ = 900Xét DBDF có: = 900 ( chứng minh trên ) và BF = BD (do DEBF = DABD)

P I

Þ MK đi qua điểm E là một điểm cố định

Cũng từ một tam giác vuông cân ta lấy một điểm bất kì trên cạnh huyền khi đó ta có bài toán 8 sau đây:

Bài toán 8: Cho DABC vuông cân tại A Gọi M là điểm bất kì trên cạnh

BC ( M ≠ B, C ) Hình chiếu của M trên các cạnh AB, AC lần lượt là H và K Gọi

I là giao điểm của CH và BK Chứng minh rằng: MI luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn: Do DABC vuông cân tại A là một nửa của hình vuông nên

ta dựng hình vuông có ba đinh là A, B, C Lúc đó sẽ xuất hiện ba điểm thẳnghàng Từ đó tìm ra được điểm cố định mà MI đi qua

Chứng minh:

Dựng hình vuông ABDCXét DHBM có = 900 ( do H là hình chiếu của M trên AB )và = 450(do DABC vuông cân tại A)

Þ DHBM vuông cân tại H Þ HM = HB (1)Xét tứ giác AHMK có = = = 900

11LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Þ Tứ giác AHMK là hình chữ nhật

Þ HM = AK (2)

Từ (1) và (2) Þ HB = AKXét DABK và DBDH có:

AB = BK ( do ABKC là hình vuông ); Â = = 900 ; AK = HB (CM trên )

Þ I là trực tâm của DDHK

Þ DI ^ HK (1)Gọi P là giao điểm của HM và CD

Þ MI đi qua điểm D là điểm cố định

2.3.3 Phương pháp dựng gián tiếp:

Bên cạnh đó, có những bài toán ta không thể vẽ đường phụ làm xuất hiệnmột hình vuông trực tiếp ngay được Mà bằng việc lấy điểm phụ, vẽ đường phụmột cách hợp lí, trong bài toán sẽ xuất hiện một tứ giác mà ta chứng minh được

tứ giác đó là hình vuông Từ đó kết nối được các giả thiết với nhau do đó sẽ tìm

ra được lời giải cho bài toán Dưới đây là một số ví dụ cụ thể

Bài toán 9: Cho DABC vuông tại A ( AB < AC ) Gọi M là trung điểm

của BC Trên đường trung trực của BC lấy điểm E sao cho ME = MB ( E và

Þ Tứ giác AHEK là hình chữ nhật (1)

Þ = 900Xét DMBE có MB = ME và = 900

Þ DMBE vuông cân tại M Þ = 450Tương tự: = 450

Ta có: = + = 450 + 450 = 900Xét DHBE và DKCE có:

= = 900 = ( cùng phụ với )

EB = EC ( do E thuộc đường trung trực của BC )

Þ DHBE = DKCE ( ch.gn ) Þ EH = EK (2)

Tù (1) và (2) Þ Tứ giác AHEK là hình vuông

13LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

N M

I

B

A

Þ AE là phân giác của (đpcm)

Từ một tam giác vuông nếu bài toán 9 lấy trung điểm của cạnh huyền thì giờ ta vẽ tia phân giác của góc vuông khi đó ta có bài toán 10 sau đây

Bài toán 10: Cho DABC vuông tại A Tia phân giác AD Đường thẳng

đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại I Chứng minh rằng: DB = DI

Hướng dẫn: Ta thấy = 900 có AD là tia phân giác nên ta dựng hìnhvuông AMDN với M Î AB, N Î AC Lúc đó sẽ xuất hiện hai tam giác lần lượtnhận DB, DI làm cạnh tương ứng bằng nhau Bài toán sẽ được giải

Chứng minh: Kẻ DM ^ AB ( M Î AB )

Kẻ DN ^ AC ( N Î AC )Xét tứ giác AMDN có = = = 900

Þ Tứ giác AMDN là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AMDN có AD là đường phân giác

Þ Tứ giác AMDN là hình vuông

Bài toán 11: Cho DABC vuông cân tai A Trên nủa mặt phẳng có bờ BC

H N

cạnh AB Đường thẳng đi qua D và vuông góc với CD cắt tia Bx tại E Chứng

Hướng dẫn: Gọi giao điểm của BE và CD là K Dựng một hình vuôngnhận BD làm đường chéo Vận dụng kết quả của bài toán 6 đã giải ở trên ta có

DK = DI Từ đó ta có lời giải cho bài toán này

Chứng minh:

Gọi giao điểm của BE và CD là K

Gọi giao điểm của BC và DE là I

Þ DDCE vuông cân tại D (đpcm )

Không xét tam giác vuông nữa mà xét một tam giác đều ta có bài toán 12 sau đây.

15LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

x E

N M

F

B

A

Bài toán 12: Cho DABC đều có AH là đường cao Trên tia HC lấy điềm

D sao cho HD = HA Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia

Hướng dẫn: Ta thấy = 450 Do đó khi ta kẻ DF ^ AB ( F Î AB ) thìDFDE vuông cân tại F Dựng một hình vuông có FH là đường chéo thì bài toán

sẽ đươc giải

Chứng minh:

Kẻ DF ^ AB ( F Î AB ), HM ^ AB ( M Î AB ), HN ^ DF ( N Î DF ) Xét tứ giác HMFN có = = = 900

Þ Tứ giác HMFN là hình chữ nhật (1)Xét DMAH và DNDH có:

I

K N

Þ DHDE cân tại H

Bài toán sau không xét các trường hợp đặc biệt của tam giác nữa mà là một tam giác nhọn ta có bài toán 13 sau đây

Bài toán 13: Cho DABC nhọn có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H

qua trung điểm của DE

Hướng dẫn: Để chứng minh GH đi qua trung điểm của DE ta dựng một

hình vuông có DE là đường chéo Gọi giao điểm hai đường chéo của hình vuông

là I Ta chứng minh cho ba điểm H, I, G thẳng hàng Lúc đó bài toán đượcchứng minh

Chứng minh:

Gọi M, K, N lần lượt là trung điểm của BC, AH, AG

Xét DDBC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Þ BC = 2.DMTương tự BC = 2 EM, AH = 2.DK, AH = 2.EK

Mà BC = AH

Þ DM = EM = DK = EK

17LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com