(SKKN HAY NHẤT) PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT một số DẠNG TÍCH PHÂN hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Người thực hiện: Đào Anh Tuấn

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

MỤC LỤC 1.Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài 02

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 02

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 02

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 02

1.5 Những điểm mới của SKKN 02

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 03

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiêm 03

2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện 03

2.3.1 TÍCH PHÂN THEO ĐỊNH NGHĨA……… 04

2.3.2 TẠO BÌNH PHƯƠNG CHO HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH

PHÂN……… ………… ……….07

2.3.3 D Ạ NG DÙNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM …….……… ….10

2.3.4 DẠNG DÙNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……… …11

2.3.5 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ……… …13

2.4 Những kết quả đạt được 15

3 Kết luận 16

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

(*)Tài liệu tham khảo 17

1.Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài :

Tích phân là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… Chính vì lẽ đó các bài toán về tích phân

đã được đưa vào chương trình toán lớp 12, nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này để có thể áp dụng vào các bài toán thực tế, cùng với đó nâng cao được khả năng phát triển tư duy của học sinh THPT

Những năm gần đây, trong các đề thi PTTH Quốc Gia luôn xuất hiện các bài toán về tích phân hàm ẩn Qua thực tiễn giảng dạy tích phân cho học sinh lớp 12 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản của định nghĩa tích phân,các em chỉ biết giải bài toán tích phân trong một số kiểu bài tập tính toán quen thuộc Đa số học sinh chưa thể giải quyết các bài toán liên quan đến hàm ẩn, mà đây là những dạng bài tập để củng cố kiến thức cơ bản, cốt lõi của tích phân, để học sinh có thể hiểu sâu hơn được cái hồn của tích phân

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiến thức cơ bản về “Tích phân hàm ẩn’’ đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến

thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “ Phương

pháp giải quyết một số dạng Tích phân hàm ẩn’’.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh phần nào giải quyết được 1 số bài toán “‘Tích phân hàm ẩn’’, đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng mà tôi hướng đến là học sinh lớp 12 trong trường THPT Mai Anh Tuấn và học sinh luyện thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp chủ yếu mà tôi sử dụng là thử nghiệm ở học sinh, tìm hiểu những khó khăn của các em trong quá trình học tập, nắm bắt được những điểm yếu của học sinh Từ đó Tôi có thể điều chỉnh quá trình dạy học và đưa ra những phương pháp giúp các em tiếp cận phương pháp hay và khó

Kiến thức phải được hệ thống một cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua

“Tích phân hàm ẩn’’ là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh khá, giỏi của trường THPT Mai Anh Tuấn vẫn còn là điều mới mẻ

Chính vì thế, Sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi có thể giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với bài toán hàm ẩn trong tích phân Bên cạnh đó, qua các bài toán

có kèm theo những đánh giá, nhận xét, đó là tính mới trong sáng kiến của tôi

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến:

Trên quan điểm dạy học là làm thế nào để phát huy được năng lực trí tuệ,

phẩm chất của người học Để làm được điều này người thầy phải tạo được hứng thú học tập ở các em, đặc biệt là các em phải yêu thích môn của mình dạy từ đó mới tạo được sự hứng thú sự tìm tòi ở các em Đối với một giáo viên toán qua nhiều năm công tác giảng dạy, tôi thấy để tạo được niềm đam mê học toán ở các

em ngoài kỹ năng sư phạm, cái tâm của người thầy thì người thầy phải luôn vững chắc về chuyên môn, luôn tìm ra các phương hướng để cùng giải quyết vấn đề, tìm ra cách giải mới của bài toán phù hợp Từ đó mới ngây được sự hứng thú, đam mê học tập ở các em

Do vậy phương pháp“ Giải quyết một số dạng Tích phân hàm ẩn’’là một cách để giúp học sinh tìm hiểu sâu hơn về những dạng bài toán tích phân, giúp các em có được một mạch kiến thức liên thông và nắm rõ hơn được bản chất vấn đề của tích phân

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:

Năm học 2016 – 2017, bộ GD – ĐT chuyển đổi hình thức thi THPTQG của môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Phép tính tích phân hàm ẩn được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG Hiện nay với

xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn , từ đó tích phân của một số hàm ẩn cũng đã được đưa vào để yêu cầu học sinh Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân , nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này

Chính vì vậy mà khi dạy học, giáo viên cần liên hệ nhiều đến những kiến thức thực tế để tăng tính tập trung và để các em vận dụng kiến thức tốt hơn

Người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tiễn

2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện:

2.3.1 TÍNH TÍCH PHÂN THEO ĐỊNH NGHĨA

1 Định nghĩa: Cho hàm số liên tục trên Giả sử là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân

từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn , kí hiệu là Người ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Như vậy nếu là

một nguyên hàm của trên thì

Nhận xét:

bớt vế trái để tạo ra

2 Kiến thức sử dụng

Như vậy từ đây ta sẽ chuyển biến x về biến

Chú ý:

Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi).

Đối với dạng này ta cần quan sát kĩ để phát hiện đạo hàm của f(x), có thể nhân hoặc chia một biểu thức hay 1 số nào đó để tạo ra

2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Cho liên tục trên và thỏa mãn Tính

Lời giải:

Ta có

Ví dụ 2: Cho Tính

Lời giải:

Vậy :

3 Một số dạng tích phân vận dụng cao Dạng 1 Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) (2)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: và (1) Biến đổi:

(2) Biến đổi:

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

Lời giải:

Ta có:

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

Do

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

Lời giải:

Ta có

(*) Mặt khác Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có:

Do Khi đó Chọn B

Dạng 2 Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) 2)

Phương pháp giải:

(1) Biến đổi:

(2) Biến đổi:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

Biết Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Ta có:

Đặt

Do đó

2.3.2 TẠO BÌNH PHƯƠNG CHO HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN

1 Kiến thức sử dụng

thì

nên hàm là hàm đơn điệu hoặc hàm hằng trên đoạn , lại có nên hàm không thể đơn điệu Do đó

Chú ý: Đối với dạng này ta có thể biến đổi đưa về dạng:

2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1[Đề minh họa 2018]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

bằng

A B C D

Nhận xét: Do hàm số xuất hiện có nghĩa là ta đã xuất hiện

Lời giải:

Ta có

Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn Biết

Nhận xét : giả thiết chứa và nên ta tạo bình phương dạng

Ta chọn sao cho

.Từ đó ta

có lời giải

Lời giải:

Ta có

Khi đó .

Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và

Tính tích phân ?

A B C D

Lời giải:

Ta có

như vậy đây là gợi ý để ta tạo ra biểu thức bình phương dưới tích phân, sao cho tích phân đó bằng 0.

Xét

Suy ra

Chọn B.

2.3.3 DẠNG DÙNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

1 Kiến thức sử dụng

Điều kiện hàm ẩn:

Phương pháp giải: Lần lượt đặt và để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn ) để suy ra hàm số (nếu thì chỉ cần đặt một lần )

Kết quả đặc biệt:

Cách làm: Khi đó đặt: Ta được:

+)Hệ quả 1 của (*):

hàm số chẵn

2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1[Sở Kiên Giang – 2018]Xét hàm số liên tục trên và thỏa

”

Ta có:

Suy ra:

Ví dụ 2[Cụm 1 HCM]: Cho hàm số liên tục trên  và thỏa mãn,

Khi đó, giá trị của tích phân

bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng hệ quả 2, do là hàm chẵn nên

Vậy:

2.3.4 DẠNG DÙNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Kiến thức sử dụng

g(x).dx là một hàm cụ thể có thể tìm được nghuyên hàm thì ta có thể nghĩ tới tích phân từng phần.

đó g(x) là một hàm mà ta có thể dễ dàng tìm được vi phân của nó.

2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Cho hàm số có và Giả sử rằng

(với là các số nguyên dương, tối giản) Khi đó bằng bao nhiêu?

Nhận xét: Ở bài toán trên ta thấy có và có

Vậy ta có thể dùng phương pháp tích phân từng phần để giải quyết bài trên.

Lời giải:

Vì

Ta có:

Ví dụ 2: Cho hàm số thỏa mãn Tính

Lời giải:

Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn

và

Tính tích phân

Khi đó

2.3.5 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

1 Kiến thức sử dụng

Đối với một số bài tập “‘Tích phân hàm ẩn’’ ta có thể sự dụng bất đẳng thức Holder

với thỏa mãn Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực không đồng thời bằng 0

Dấu bằng xảy ra khi :

2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1[Đề minh họa 2018]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

Lời giải:

Đặt:

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức tích phân, ta được:

Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi:

Mặt khác:

Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ,

Tính

Lời giải:

Áp dụng hệ quả BDT Holder:

Dấu “=” chỉ xảy ra khi Mà

Vậy

2.4 Những kết quả đạt được, những kinh nghiệm rút ra, những sản phẩm chính của đề tài:

- Qua thời gian thực nghiệm, học sinh đã nắm được những kĩ năng cơ bản nhất của việc nhìn nhận các bài toán “tích phân hàm ẩn”

- Kinh nghiệm cho thấy, những kiến thức cơ bản nhất phải được trang bị, bồi dưỡng cho các em ngay từ năm lớp 10 Không để đến gần thi cuối cấp mới dạy, lúc đó các em tiếp cận rất hạn chế

- Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm chính tôi thu được là niềm đam mê học toán của thầy và trò, những kĩ năng được trang bị làm cho tư duy người học ngày một phát triển

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộng rãi trong toàn bộ học sinh khối 12 Đặc biệt, có thể dùng để ôn thi học sinh giỏi và luyện thi THPT Quốc gia

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận.

Qua một thời gian giảng dạy, nghiên cứu về tổ hợp, những vướng mắt của

học sinh do thiếu kĩ năng cơ bản về các phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm của tôi thật sự cần thiết và hữu ích cho giáo viên

và học sinh Đặc biệt là giáo viên trẻ mới ra trường, còn non kinh nghiệm

Một lần nữa, tôi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả mà Tôi thu được sau một thời gian học tập, rèn luyện và nghiên cứu về tích phân Đồng thời, tích lũy những kinh nghiệm qua quá trình dạy học với đối tượng học sinh Đó là sự kết tinh kiến thức đã qua nhiều thế hệ và là sự giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp Một số bài toán có nêu lời giải đầy đủ, còn có một số bài chỉ vạch ra hướng giải.Hầu hết qua các bài tập đều có nhận xét để học sinh hoặc người đọc có thể cảm nhận sâu sắc hơn về bài toán Do yếu tố thời gian, cũng như kiến thức và cách trình bày còn nhiều hạn chế Rất mong được sự nhận xét, góp ý của quý đồng nghiệp và các em học sinh, để sáng kiến này được hoàn thiện hơn Hy vọng rằng, tài liệu này có thể giúp ích cho quý đồng nghiệp và các em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập

Trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hơn, nhằm từng bước hoàn thiện kĩ năng cho bản thân và tạo mũi nhọn cho nhà trường

Có thể dùng sáng kiến của tôi cho các em học sinh giỏi,các giáo viên có niềm đam mê về toán học một cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 06 năm

2021 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung

của người khác

Đào Anh Tuấn

(*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Giải tích 12- Ban cơ bản;

2 Bộ đề thi đại học, cao đẳng, đề minh họa của Bộ GD và ĐT từ năm

2016 đến nay;

3 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng của nhà sách Lovebook – GSTT Group;

4 Một số kiến thức về tích phân hàm ẩn trên mạng Internet, cùng hệ thống bài tập trên facebook của các nhóm Toán Vận Dụng Cao;

5 Tạp chí toán học và tuổi trẻ;

6 Website :toanmath.com

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN