(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán cực trị hình học trong hệ tọa độ OXYZ

Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia thường xuất hiện cácbài toán về phương pháp tọa độ trong không gian.. Các sang kiến kinh nghiệm hoặc các giải p

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỤC LỤC

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 12.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 12.3 Sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề

2

2.4.2 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn một

số tính chất

4

2.4.3 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc đường thảng thỏa mãn

một số tính chất

của bản thân và đồng nghiệp

19

I MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Mục đích của việc dạy toán là hình thành và phát triển tư duy toán học họcsinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậyviệc xây dựng cho học sinh phương pháp học tập và tự nghiên cứu từng dạng toánlà hết sức cần thiết

Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia thường xuất hiện cácbài toán về phương pháp tọa độ trong không gian Các bài toán về tọa độ trongkhông gian rất đa dạng phong phú Cực trị hình học trong tọa độ trong khônggian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải nắm vũng kiến thức SGK và kỹ

năng tư duy sáng tạo

Khi dạy chương phương pháp tọa độ trong không gian bản thân tôi luôn trăntrở :làm thế nào để học sinh đọc đề thi thấy có câu cực trị hình học trong khônggian thì học sinh có đủ tự tin để giải được Chính vì vậy tôi đã chuẩn bị một đề

tài: “ Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán cực trị hình học trong hệ tọa độ Oxyz “

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia 2020-2021

- Làm tài liệu học tập cho những em học sinh

- Phát triển ý tưởng sáng tạo các bài toán mới dựa trên các kiến thức đã học

- Giúp học sinh hình thành nhân cách con người mới đáp ứng với yêu cầu đòihỏi của xã hội

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Hệ thống kiến thức về hệ tọa độ trong không gian cho học sinh lớp 12

- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết các bài toán liênquan đến hệ tọa độ trong không gian ,…

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin

- Phương pháp thông kê,sử lý số liệu

- Phương pháp điều tra và khảo sát thực tế

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Có sức hấp dẫn với học sinh và các bạn yêu môn toán

- Từ các kiến thức đã học Học sinh có thể phát triển được các ý tưởng sángtạo xây dựng được các bài toán mới

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Sử dụng kiến thức học sinh đã học ở Chương 3.Phương pháp tọa độ trong

không gian

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm.

- Đối với học sinh đây là dạng toán mới dựa trên các kiến thức tổng hợp đã học

- Hệ thống bài tập vận dụng sách giáo khoa chưa đề cập đến và sách bồi dưỡngthì không có

- Một số đề thi thử THPT Quốc gia trên mạng Internet có đề cập một số bàitoán song không có lời giải chi tiết và học sinh cũng không có điều kiện,phươngtiện để tiếp cận được.

- Trong qua trình dạy học trên lớp hệ thống bài tập và phương pháp giải các bàitoán liên quan đến gắn tọa độ các Thầy,Cô cũng chưa chú ý đến vì có nhiều lý do

2.3 Các sang kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Để làm sáng kiến kinh nghiệm này Tôi đã sử dụng một số bài toán trên mạngvà chủ yếu phải tự làm.Sau đó sắp xếp các bài tập theo trình tự hệ thống kiến thứcHình học 12 chương 3 hiện hành

- Trong quá trình làm đề tài Tôi có cho học sinh làm để điều chỉnh bài toán saocho phù hợp với mức độ yêu cầu của học sinh và đề thi THPT Quốc gia

2.4 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm . 2.4.1 Bài toán cơ bản: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B và mặt

phẳng (P).Tìm điểm M trên (P) sao cho MA+MB lớn nhất , lớn nhất

Cách giải:Tìm điểm M trên (P) sao cho MA+MB lớn nhất , lớn nhấtXét trường hợp A,B nằm khác phía với mặt phẳng (P)

Bước 1:

Tìm toạ độ các điểm H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên (P)

Bước 2: Tính các độ dài AH, BK từ đó tìm được điểm chia véc tơ theo tỷ số ( Gọi là điểm chia theo tỷ số );

Bước 3: Lấy điểm M bất kỳ Chứng minh (MA + MB) min khi và chỉ khi M trùng

với NThật vậy: Gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng (B; (d)),A2, B khác phía đối với (P) và

thoả mãn:

, , B thẳng hàng

Dấu “=” xảy ra

Xét trường hợp A,B cùng phía với mặt phẳng (P)

Chứng minh tương tự lớn nhất M là giao điểm của đường thẳng AB với

mp

Bài toán mở rộng: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B và đường

thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho MA+MB lớn nhất , lớn nhất

Cách làm hoàn toàn tương tự.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng Tìm điểm sao cho nhỏ nhất,biết ,

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm

Ta có phương trình đường thẳng

Tìm điểm sao cho lớn nhất,biết

'

A

M I

 P

Xét hệ

Bài tập tương tự:

nhất,biết ,

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;0; 2 ; B 0; 1;2   và

mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc  P sao cho MA MB

Bài toán gốc: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng sao cho:

T = aMA2 + bMB2 + cMC2 lớn nhất (nhỏ nhất)

Cách giải: Gọi G là điểm thỏa mãn :

T được biểu diễn:

+) Nếu a + b + c > 0 ta có Tmin MGmin M là hình chiếu của G lên (P)+) Nếu a + b + c < 0 ta có Tmax MGmin M là hình chiếu của G lên (P)

Ví dụ 1 Cho mặt phẳng Tìm điểm sao cho

nhỏ nhất, biết ,

Khi đó là đường thẳng đi qua và nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ

chỉ phương.Suy ra có phương trình

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng Tìm điểm sao cho

nhỏ nhất, biết , ,

nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương

Suy ra có phương trình

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;1;1, B0;1;2 ,

x y

Do I A B C, , , cố định nên S  4NI2 IA2 IB2 IC2 nhỏ nhất khi NI nhỏ nhất hay N

là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P Gọi  là đường thẳng đi qua 0; ;3 5

4 5

5 4

Ta có AB1; 1; 2  ; véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  Q : nP 3;1; 1   Vì  AB n. P  0 suy ra AB song song với mặt phẳng  P và hai điểm A B, nằm về

cùng một phía với mặt phẳng  P Điểm M P sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất, suy ra 1 .  ; 

2

ABC

S  AB d M AB là nhỏ nhất hay d M AB ,  là nhỏ nhất

Suy ra M     P  Q , với  Q là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với  P Véctơ pháp tuyến của  Q là: n Q AB n,  P   1;7;4

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ

cho điểm và mặt phẳng :

Đường thẳng đi qua và

vuông góc với mặt phẳngcắt mặt phẳng tại Điểm nằm trongmặt phẳng sao cho luôn nhìn dướigóc vuông và độ dài lớn nhất

Tính độ dài

A C D

Lời giải.Chọn D

+ Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là

+ Gọi là hình chiếu của lên Ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó và qua nhận làm vectơ chỉphương

.+ Đường thẳng qua , nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình là

Khi đó

Bài tập tương tự.

Tìm điểm sao cho nhỏ nhất, biết ,

Bài 2: Cho mặt phẳng Tìm điểm sao cho

nhỏ nhất, biết , ,

A B C D.

Bài 3: Trong không gian , cho mặt phẳng và ba điểm

nhỏ nhất.Giá trị bằng

A B C D Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , ,

cho đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng

A B C D 2.4.3 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn một số tính chất.

điểm thuộc d sao cho nhỏ nhất Khi đó bằng:

A B C D Lời giải Chọn C Ta có

Do đó:

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình

và ba điểm ; ; là điểm thuộc sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Khi đó tổng các tọa độ của là: A. B C D.

Lời giải Chọn A.

suy ra , nằm về hai phía so với

nhỏ nhất bằng khi Phương trình đường thẳng : ,

do đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm

.Gọi là đường thẳng đi qua và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm đến là lớn nhất Hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

Lời giải Chọn A.

Nhận thấy A, B, C, D đồng phẳng, cùng thuộc mặt phẳng

Trường hợp 1: A, B, C cùng phía với đường thẳng qua d: là trung điểm

xứng của D qua I; J là trung điểm của EC

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm

và đường thẳng Tìm một vectơ chỉ phương của

đường thẳng đi qua , vuông góc với đườngthẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé

nhất

A B

C D Lời giải Chọn D

Gọi là mp đi qua và vuông góc với , khi đó chứa .Mp qua và có vectơ pháp tuyến

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và

và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: .

Vậy .Để thỏa mãn yêu cầu bàitoán thì và đi qua D.

Tức là đường thẳng qua và vuông

góc với DJ.Ta lần lượt thử các trường hợp xem hay không thì ta thấy

, thỏa mãn

Lúc này thử tổng khoảng cách từ A, B, C đến là lớn nhất

Vậy ta chọn

Cách khác Dề dàng có phương trình mp là

đằng thức đạt được khi Vậy vtcp của là vtpt của mp là

Bài tập tương tự.

Bài 1: Trong không gian tọa độ cho các điểm , và đường thẳng Gọi sao cho chu vi tam giác đạt giá

trị nhỏ nhất Tính tổng ?

A B C D

Bài 2: Trong không gian , cho hai đường thẳng và

Điểm và sao cho đoạn thẳng ngắn nhất:

Bài 3: Trong không gian , cho điểm , và đường thẳng

Tìm tọa độ điểm trên đường thẳng để đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Trong không gian , cho hai điểm , và đường thẳng Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua , vuông góc với đường thẳng , đồng thời cách điểm một khoảng lớn nhất

A B C D

2.4.4 Bài toán cực trị liên quan đến phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Ví dụ 1 Trong không gian cho điểm M1; 3; 2   Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua

M và cắt các trục tọa độ tại A B C, , mà OA OB OC   0

Do đó: không tồn tại mặt phẳng  P trong trường này

Trường hợp 2: a cùng dấu b và trái dấu với c

Từ       a b c phương trình mặt phẳng  P : x y z 1 x y z a 0

a       a a

M   P        a a  P x y z:     4 0

Trường hợp 3: a cùng dấu c và trái dấu với b

Từ    a c   b phương trình mặt phẳng  P :x y z 1 x y z a 0

a a       a

M   P       a a  P x y z:     7 0

Trường hợp 4: b cùng dấu c và trái dấu với a

Từ       b c a phương trình mặt phẳng  P : x y z 1 x y z a 0

         

1; 3;2   1 3 2 0 2

M   P         a a  P :     x y z 2 0.Vậy từ các trường hợp trên có 3 mặt phẳng thỏa mãn

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).Viết phương trình mặt phẳng ( )  qua E và cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC

a b c

Vậy phương trình mặt phẳng   là x 2y 2z 12 0 

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;2;1 Mặt phẳng

 P thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox Oy Oz, , tại A B C, , khác O Tính giá

trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC

Ví dụ 4.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho  P x:  4y 2z  6 0,

 Q x:  2y 4z  6 0 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của P ,

 Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC. là hình chóp đều

Do     ABC là mặt phẳng xác định nên chỉ được nhận 1 trong 4 vectơ trên,

  chứa d ta có n u   . d  0 suy ra n  n1 1;1;1.Tìm một điểm giao của  P và

x y z

được tọa độ điểm M0;3;3

Phương trình mặt phẳng   : 1x  0 1 y  3 1 z  3 0     x y z 6 0

Ví dụ 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )a đi qua điểm(1;2;3)

M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C ( khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( )a có phương trình là:

Từ (1) và (2) ta có: a b c   3.Vậy phương trình mặt phẳng  P x y z:     3 0

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho Mặt phẳng thay đổi qua cắt các tia lần lượt tại Khi mặt phẳng thay đổi thì diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất bằngbao nhiêu?

Bài tập tương tự:

Bài 1.Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M1;9; 4 và cắt các trục tọa độ tại các điểmA,B,C khác gốc tọa độ sao choOA OB OC 

Bài 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H1;2;3 Mặt phẳng  P

đi qua điểm H , cắt Ox Oy Oz, , tại A B C, , sao cho H là trực tâm của tam giác ABC

Phương trình của mặt phẳng  P là

A. P : 3x y  2z  11 0 B. P : 3x 2y z  10 0  .

C. P x:  3y 2z 13 0  D. P x:  2y 3z 14 0  Bài 4.Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Mặt phẳng qua cắt các tia lần lượt tại sao cho thể tích khối tứ diện nhỏ nhất có phương trình là:

A B.

C D

2.4.5 Bài toán cực trị liên quan đến mặt cầu

Ví dụ1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;0;2 ,B1;2;4 và mặt cầu (S):

x  y  z  Phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm A, B và cắt

mặt cầu  S theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là

A x 4y 5z 17 0  B 3x2y z  7 0.

C x 4y 5z 13 0  D. 3x2y z –11 0.Lời giải Chọn D.

(S) có tâm I(0; 2;1)  và bán kính R 5.AB  ( 2;2;2); IA (3;2;1).

r R IH với H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên lên đường thẳng AB

( )

qua (3;0;2) ( )

đường tròn.Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên  P Tia IH cắt mặt cầu  S

tại Q và tia đối của tia IHcắt mặt cầu  S tại K Khi ấy, KQ là đường kính của mặt cầu  S Gọi N J, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên  P và của M

trên KQ MQK tại M nên J nằm trên cạnh KQ

Ta có MJHN là hình chữ nhật (N H   J 90 )MN HJ và 0 HJ HK (Vì