Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người giáo viên cần phải cóphương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa phầnkhai thác và phát triển các bài toán
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm Khi giải hoàn thành một bài toán nói chung hoặc một bài toán bất đẳng
thức nói riêng các em học sinh thường thoả mãn những gì đã làm được Rất ít
em còn suy nghĩ trăn trở tiếp như:
- Còn có thể giải bằng cách nào nữa không? Còn có thể trình bày ngắn gọnhơn nữa không?
- Cũng giả thiết ấy thì còn có thể kết luận được gì nữa không?
- Nếu thay đổi một vài điều kiện của giả thiết thì kết luận mới thu được có gìđặc biệt
Rõ ràng nếu tự giác làm được những công việc ấy sau khi giải một bàitoán bất đẳng thức thì vô cùng có ý nghĩa Nó tạo cho các em một thói quentốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá đúng mức những gì
đã làm, những gì chưa làm được từ đó rút ra bài học bổ ích cho chính mình
Tuy nhiên trong thực tế đa số học sinh chưa có thói quen như vậy, mà nếu
có cũng chỉ là hình thức thôi Do vậy người thầy giáo dạy toán cần phải hướngdẫn cho học sinh thường xuyên thực hiện công việc này, đặc biệt là các em cónăng lực bộ môn Toán
Từ suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đưa ra một hướng: “ Phát triển
tư duy học sinh lớp 9 trường THCS thị trấn Cành Nàng từ bài toán cực trị đơn giản ” nhằm giúp các em tạo ra một thói quen tốt sau khi giải một bài
toán đồng thời giúp các em yêu thích bộ môn toán có thêm điều kiện để pháttriển thêm về năng lực tư duy Ngoài ra việc khai thác có hiệu quả bài toán cònđem lại cho học sinh lòng say mê hứng thú môn học bởi tâm lí các em luônmuốn biết, muốn tìm tòi cái mới
1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và
vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập
- Nhằm nâng cao năng lực học toán, sự tìm tòi, sáng tạo, tư duy của học
sinh
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toánbất đẳng thức, tìm cực trị trong quá trình dạy học
- Bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong trường
- Phát huy niềm đam mê yêu thích toán của học sinh
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Trang 2giỏi lớp 9 trường THCS thị trấn Cành Nàng.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra khảo sát tâm líhọc sinh khi đứng trước bài toán bất đẳng thức
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thống kê, xử lý số liệu của họcsinh trước và sau khi áp dụng SKKN
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng,sách giáo khoa, sách tham khảo…
NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình toán học phổ thông có rất nhiều dạng toán Các bàitoán về bất đẳng thức chiếm vai trò quan trọng và có dung lượng tương đối lớn
Nó là niềm say mê cho những người học toán và dạy toán Trong bất kỳ đề thihọc sinh giỏi toán 8, 9 hay là các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông,thậm chí các kỳ thi tuyển chọn giáo viên giỏi các cấp nó luôn hiện hữu, tháchthức người dạy và người học Tuy nhiên các bài toán bất đẳng thức là những bàitoán khó và rộng Nhưng nhờ các bài toán về bất đẳng thức mà học sinh có thể
áp dụng để giải các dạng toán khác như giải phương trình, bất phương trình, tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu
tố trong tam giác Và trong quá trình đó tư duy người học được phát triển mạnhmẽ
Tuy nhiên để giải được các bài toán bất đẳng thức, cực trị không phải là
dễ dàng, bên cạnh việc nắm vững các khái niệm và các tính chất cơ bản của bấtđẳng thức còn phải nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Córất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nhưng việc lựa chọn phươngpháp để áp dụng cho từng bài để tìm ra kết quả lại là việc làm khác Và nhiềukhi để áp dụng được phương pháp nào đó chúng ta lại phải qua nhiều phươngpháp biến đổi và tạo ra bất đẳng thức mới để áp dụng Việc làm này đòi hỏingười dạy và người học cần có một thái độ nghiên cứu và học tập thực sựnghiêm túc
2.2 THỰC TRẠNG
Qua thực tế dạy học ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao đổi chuyênmôn qua một số giáo viên, việc dạy học nói chung và việc bồi dưỡng cho đốitượng học sinh khá và giỏi thông qua dạy học giải bài toán bất đẳng thức và cực
Trang 3trị đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo, tôi nhận thấy một số tồn tại nhưsau:
Do số tiết học ở trên lớp còn rất ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiềuđồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mởrộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâusắc Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chếđến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập,nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi
Học sinh ít khi được phát hiện vấn đề mới mà thường lặp lại hoặc phát hiệnvấn đề được giáo viên đã đưa ra, học sinh thường bị động khi tiếp nhận kiếnthức từ phía giáo viên Cách dạy và học như vậy sẽ làm hạn chế khả năng tìmkiếm, tự phát hiện vấn đề của học sinh, điều này trái với quan điểm về việc họctheo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm Chính vìđiều đó mà trong dạy học, người giáo viên phải biết chú trọng công tác bồidưỡng học sinh năng lực nhận biết tìm tòi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rènluyện các kỹ năng tư duy vào thói quen phát triển tìm tòi, thông qua một số thaotác trí tuệ Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh năng lực này tạo cho họcsinh thói quen luôn luôn tích cực khám phá kiến thức ở mọi lúc, mọi nơi Muốnlàm tốt điều đó đòi hỏi học sinh phải trải qua một quá trình tìm tòi, mò mẫm, dựđoán, suy xét ở nhiều góc độ để rồi thử nghiệm
Trong chương trình toán trung học cơ sở, hệ thống bài tập trong sách là rất
đa dạng và phong phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trongtừng chủ đề Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách
là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ramột số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng vớicách dạy như vậy giáo viên cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, học sinhcũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc,làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìmtòi cái mới
Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người giáo viên cần phải cóphương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa phầnkhai thác và phát triển các bài toán bất đẳng thức cơ bản, đồng thời phải phốihợp nhiều định lý, bài toán đã học vào việc giải toán, từ bài toán dễ đến bài toánkhó mà sự huy động kiến thức đó là cần thiết, cần phải làm cho học sinh luônthấy được sự cần thiết thiếu hụt tri thức của bản thân Bởi vì khi học sinh nhận
ra sự thiếu hụt tri thức của bản thân thì chính sự thiếu hụt đó là một yếu tố kíchthích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại sự cân bằng Học sinh khi đó trởthành người mong muốn bù lấy sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức của
Trang 4khối 9 và sau một số bài kiểm tra với nội dung tương tự như trong SKKN tôi
đã trình bày, kết quả thu được như sau:
Bảng 1: Mức độ hứng thú của học sinh trước khi áp dụng SKKN
Tổng HS
2.3 CÁC GIẢI PHÁP
Tôi bắt đầu đưa cho các em học sinh một bài toán quen thuộc sau:
Phân tích hướng dẫn: Với bài toán này, đối với học sinh khá giỏi thì
không khó, với học sinh trung bình và yếu hơn tôi chỉ cần hướng dẫn các embiến đổi
Nhận thấy: thì ngay lập tức các em cũng sẽ tìmđược lời giải:
với mọi Dấu xảy ra khi
Trang 5Nhận xét: Rõ ràng nếu chỉ dừng lại ở đây thì bài toán không có gì là hấp dẫn
và khó phát triển tư duy của các em học sinh Tôi đặt ra vấn đề: Nếu ta tăng số
mũ của các biến lên gấp đôi thì bất đẳng thức còn đúng không? Từ đó tôi đưa
ra cho các em bài toán sau:
Bằng tư duy tương tự bài toán đầu, các em đã biết biến đổi hằng đẳng thức và
có ngay kết quả:
với mọi Dấu xảy ra khi
Qua bài toán 1, tôi đã nhận thấy sự hào hứng của các em khi đã biết vận dụngcách tư duy từ bài toán ban đầu Tiếp tục tôi yêu cầu các em thử thay đổi số
mũ trong các biến và trong bài toán ban đầu xem kết quả thế nào? Và rấtnhiều em đã tìm ra bài toán mới như sau:
Bài toán 2: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Bài toán này với cách suy nghĩ tương tự như bài
toán 1, các em dễ dàng nhận thấy:
Từ đó các em tìm ngay được lời giải:
với mọi Dấu xảy ra khi
Nhận xét : Vậy liệu rằng có bài toán tổng quát của bài toán ban đầu không?
Kết hợp với sự phân tích và hướng dẫn của tôi thì các em cũng tìm ra côngthức tổng quát sau:
Bài toán 3: Với và là những số tự nhiên thì:
Học sinh dễ dàng chứng minh được công thức trên Ta có:
Trang 6
với mọi Dấu xảy ra khi Vậy: (với và ) (*) Việc làm được bài toán tổng quát từ bài toán ban đầu thiết nghĩ đó đã là sựphát triển tư duy của các em đã tăng lên rất nhiều Không dừng lại ở đó, tôitiếp tục đưa ra bài toán sau cho các em:
Bài toán 4: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Với bài toán này, có thể tìm được nhiều cách giải
khác nhau nhưng tôi đã hướng dẫn cho học sinh chú ý đến công thức tổng quát(*) thì các em đã tìm ra cách giải dễ dàng
Theo công thức tổng quát (*) ta có:
Tương tự bài toán 4, tôi tiếp tục cho các em làm bài toán sau:
Bài toán 5: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
Theo (*) ta có:
Bằng những cách tư duy như trên, các em đã hoàn thành cách giải bàitoán 5 một cách khá dễ dàng Vậy với những bài toán chứa mẫu thì cách khaithác có như các ví dụ trên hay không ? Tôi tiếp tục đưa ra cho các em bài toánsau:
Bài toán 6: Cho Chứng minh rằng:
Trang 7
Phân tích hướng dẫn: Phần lớn học sinh khi gặp bài toán này thường bị
lúng túng trong việc tìm ra lời giải, kể cả những học sinh khá giỏi Nếu hướngdẫn cho học sinh chú ý mẫu của các phân thức và học sinh nhớ đến công thứctổng quát (*) thì các em sẽ tự tìm ra lời giải dễ dàng hơn
Ta có:
Hay là:
Tương tự:
Cộng vế theo vế ta có:
Chú ý rằng: Nếu ta thay thì có thể khai thác bài toán 6 như sau:
Cho Chứng minh rằng:
hoặc cho Chứng minh rằng:
Hoàn toàn tương tự, tôi cho các em tìm hiểu bài toán:
Bài toán 7: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Ngay từ đầu mà gặp bài toán này chắc chắn học
sinh sẽ rất khó khăn và rất hoang mang trong việc tìm ra cách giải bài toán,nhưng việc được làm quen với công thức tổng quát (*) và chỉ cần gợi ý chohọc sinh thì các em sẽ tự mình tìm ra lời giải cho bài toán
Ta có:
Trang 8Hay là:
Tương tự:
Cộng vế theo vế ta được:
Với việc học sinh tự tìm ra được lời giải cho bài toán trên sẽ làm chohọc sinh tự tin hơn về bản thân và kích thích hứng thú học toán cho các em, từ
đó phát huy tính sáng tạo cho các em Mạnh dạn hơn tôi tiếp tục đưa ra chocác em bài toán phức tạp hơn:
Bài toán 8: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Ta thấy mẫu của các phân thức có chứa hằng
đẳng thức, chỉ cần hướng dẫn các em phân tích ra và áp dụng công thức tổngquát (*) có thể thấy ngay hướng giải
Trang 9
Dấu xảy ra khi: Vậy:
Với các bài toán có luỹ thừa bậc lẻ của các hạng tử ở mẫu thì cách giải
có thể áp dụng trực tiếp công thức tổng quát (*) còn các bài toán có luỹ thừabậc chẵn của các hạng tử ở mẫu thì cách giải và khai thác như thế nào có khác
gì các bài toán trên không? Tôi tiếp tục đưa ra bài toán 9 để kích thích tư duycác em:
Bài toán 9: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Ta thấy rằng: Luỹ thừa của các hạng tử ở mẫu
chẵn có thể quy lạ về quen tức là đưa luỹ thừa chẵn về luỹ thừa lẻ bằng cáchđặt ẩn phụ rồi áp dụng công thức tổng quát (*) để thực hiện bài toán
Bài toán 10: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Rõ ràng mẫu thức của các phân thức gợi cho các
em công thức tổng quát (*) Sau một thời gian ngắn tìm tòi biến đổi, nhiều em
đã có hướng giải quyết
Trang 10Dấu bằng xảy ra Tương tự ta có:
Dấu bằng xảy ra Dấu bằng xảy ra Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :
= Vậy:
Từ bài toán này, ta thấy có thể phát triển rất nhiều bài khác mà học sinh
có thể tự suy nghĩ và tìm được lời giải Từ đó tạo được hứng thú cho các em,các em sẽ ham muốn học toán hơn, phát huy được tính tích cực sáng tạo chocác em
Bài toán 11: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Với dạng toán này, sau khi đã làm được những
bài toán trên, giờ đây bài này không khó để tìm ra cách giải kể cả những họcsinh trung bình khá Nhưng đối với những học sinh mới gặp, kể cả những họcsinh khá giỏi cũng rất lúng túng, khó tìm được hướng giải quyết
Theo công thức (*), ta có:
Nên:
Trang 11
Tương tự:
Cộng vế theo vế ta có:
=
Mặt khác ta thấy:
Từ (1) và (2) Vậy:
Tiếp tục kích thích tư duy của các em, tôi đưa tiếp một bài tập sau:
Bài toán 12: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Khi các em đã có tư duy nhất định thì việc nhìn
nhận bài toán này là không có gì khó khăn Để ý mẫu thức của các phân thức,các em có thể áp dụng công thức tổng quát (*) để biến đổi và bài toán trở nên
dễ dàng
Dựa vào công thức (*) ta có:
Trang 12Tương tự ta có:
Dấu bằng xảy ra Dấu bằng xảy ra Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :
Vậy:
Chú ý rằng: Nếu thì bài toán 11 có thể khai thác theo hướng khác là:
Cho Chứng minh rằng:
Khi các em đã quen với một chuỗi các bài toán như trên, tôi đưa cho các emmột bài toán dễ hơn để xem hướng tư duy của các em thế nào?
Bài toán 13: Cho Chứng minh rằng:
Phân tích hướng dẫn: Lúc này bài toán này không hề làm khó các em
nữa Các em đã biết vận dụng công thức (*) khá thành thạo:
Trang 13
Ta có:
Từ đó:
Mặt khác:
Vậy:
Từ công thức (*) các em đã biết vận dụng để chứng minh một số bất đẳng thức
đại số Tôi tiếp tục đưa các em vào guồng tư duy cho các bài toán tìm cực trị
Bài toán 15: Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcsau:
Phân tích hướng dẫn: Đây là bài toán được khai thác từ bài toán 6 nên
hầu hết các em dễ dàng tìm được lời giải khi dựa vào công thức (*)
Ta có:
Trang 14Cộng vế theo vế ta có:
Hay Dấu “=” xảy ra khi Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng khi và chỉ khi Với những bài toán chưa có dạng để áp dụng công thức (*) thì phải làm thếnáo ta xét bài toán sau :
Bài toán 16: Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Phân tích hướng dẫn: Mẫu của các phân thức có chứa hằng đẳng thức,
chỉ cần hướng dẫn các em phân tích các mẫu ra có thể thấy ngay hướng giải
Trang 15Cộng vế theo vế ta được:
Bài toán 17: Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Phân tích hướng dẫn: Bài toán đã làm khó một số em trong những phút
đầu tiên Khi qua một số gợi ý thì các em đã tự tìm được lời giải cho bài toántrên và từ đó sẽ tạo ra cho các em lòng đam mê học toán
Ta thấy:
Khi đó:
Hay Tương tự:
Cộng vế theo vế ta được
Trang 16Tương tự:
Cộng theo vế ta được:
Dấu “=” xảy ra khi Vậy: Giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi và chỉ khi
Hoàn toàn tương tự, ta có thể tạo ra được rất nhiều bài toán khác màcách chứng minh dựa vào công thức (*)
Qua đó, có thể thấy xuất phát từ “bài toán đơn giản” rồi tìm ra công
Trang 17sinh khai thác được rất nhiều bài toán Và với cách làm này học sinh rất dễnhớ, dễ tiếp thu và từ đó các em lĩnh hội được và có cho mình cách giải toán.
Từ đó tạo được hứng thú cho các em, sẽ kích thích tính chủ động sáng tạo chocác em và các em sẽ đam mê học và nghiên cứu bộ môn toán
Sau khi hoàn thành chuỗi bài toán trên, tôi yêu cầu các em hãy sáng tác ra chotôi các bài tập tương tự Và kết quả còn nằm ngoài dự kiến của tôi Các em đãđem lại cho tôi niềm tin vào cách khai thác và phát triển bài toán Các em đãđưa ra một số bài tập tương tự :
Bài 1: Cho Chứng minh rằng:
Bài 2: Cho Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho Chứng minh rằng
Bài 4: Cho Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 7: Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Khi chưa thực hiện SKKN này, học sinh chỉ giải được một số bài tập vềbất đẳng thức, cực trị đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngạilàm bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị
Sau khi thực hiện đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bấtđẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức vàcực trị có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán về bấtđẳng thức và cực trị, học sinh có kỹ năng làm các bài toán về bất đẳng thức và
