(SKKN HAY NHẤT) phân dạng bài toán nguyên hàm liên quan đến phương trình vi phân tách biến giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn

Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán về tính nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa để học sinh nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn.. Nhân hai vế với ta

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Giải tích lớp 12 có một phần rất quan trọng của chương trình Toán phổ thông và luôn có mặt trong các đề thi THPTQG trong những năm gần đây đó là phần Nguyên Hàm Đây là nội dung quen thuộc đối với học sinh THPT tuy nhiên với những bài toán không có dạng cơ bản như trong SGK khiến các em vô cùng bỡ ngỡ và không biết cách giải, không biết khai thác từ đâu Do đó hiệu quả học tập và ôn thi của các em không cao Thực

tế yêu cầu trong việc giảng dạy và phương thức thi theo hình thức trắc nghiệm vài năm gần đây , kiến thức toán được mở rộng ra đói hỏi cả giáo viên và học sinh phải nỗ lực và có phương pháp rõ ràng với một số bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán Vì vậy với trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các em không còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này Qua quá trình tích lũy tôi viết sáng

kiến kinh nghiệm: “Phân dạng bài toán nguyên hàm liên quan đến phương

trình vi phân tách biến giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán về tính nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa để học sinh nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn

Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp kiến thức quan trọng cho học sinh bước vào các kỳ thi THPTQG và kỳ thi học sinh giỏi của tỉnh Thanh Hóa trong thời gian tới

Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốt hơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán

Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán về nguyên hàm có liên quan đến biểu thức chứa

- Một số đề thi thử THPTQG của các trường trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa cũng như các trường THPT trên cả nước

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 12

- Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi THPTQG môn Toán của học sinh lớp 12C1, 12C2 năm học 2019-2020 trường THPT Yên Định 3

- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán về nguyên hàm liên quan đến

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

a Một số kết quả thường dùng

1 Quy tắc tính đạo hàm [1].

2 Các định lý về nguyên hàm [1].

3 Tính chất về nguyên hàm [1].

4 Các phương pháp tính nguyên hàm [1].

Dạng 1: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức dạng

Dạng 2: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức dạng

Dạng 3: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức dạng

b Các ví dụ điển hình Dạng 1: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức Phương Pháp

Dề dàng tính được

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Thay ta được

Tính giá trị của

( Chuyên Bắc Ninh 2019) Lời giải

Ta có

Suy ra

Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm xác định trên Biết

dưới đây

A B C D ( Quảng Xương 1- lần 2 năm 2021) Lời giải

Nguyên hàm 2 vế, ta được:

Thay vào 2 vế, ta được:

Vì ta có:

Ví dụ 4: Cho hàm số thỏa mãn:

( Sở GD&ĐT Bến Tre 2019) Lời giải

Theo giả thiết

Thay vào , ta được: Khi đó trở thành: Vậy Ví dụ 5: Cho hàm số thỏa mãn và Giá trị của bằng A B C. D (Sở GD&ĐT Tỉnh Cần Thơ 2018) Lời giải Ta có Do đó theo giả thiết ta được Suy ra Hơn nữa suy ra Tương tự vì nên Suy ra Vì nên suy ra Dạng 2: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biếu thức

Phương pháp

Nhân hai vế với ta được.

Suy ra

Từ đây dễ dàng tính được

Bài toán 1: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biếu thức

Định hướng : Bài toán này ứng với trường hợp

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

A B C D

( Chuyên Lam Sơn –Thanh hóa năm 2020) Lời giải

Nhân cả 2 vế với ta được

Với ta có

nguyên hàm của là

C D

(Đại học Vinh năm 2019) Lời giải

Chọn đáp án D Bài toán 2: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biếu thức

Định hướng : Bài toán này ứng với Nên nhân cả 2 vế với

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết và

Tính giá trị của

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Với ta tìm được Vậy

Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết và

Tính giá trị của

A B C D

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Nhân cả 2 vế với ta được

Với thay vào ta tìm được

Bài toán 3: Bài toán nguyên hàm tổng quát liên quan đến biểu thức

Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn

Giá trị của biểu thức bằng

( Sở Bình Phước năm 2019) Lờigiải

Tính

Suy ra

Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn

( Chuyên Lê Hồng Phong -Nam Định Năm 2019) Lờigiải

Định hướng: Đưa biểu thức trên về dạng

Vậy

Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện

( Lý Nhân Tông-Bắc Ninh-2020) Lời giải

Suy ra

Ví dụ 4: Cho hàm số thỏa mãn và

với mọi Gía trị của .

A B C D.

( Đề Thi KHTN 2019) Lời giải

Nhân cả 2 vế với ta được

Vì theo giả thiết, nên thay vào hai vế của (1) ta thu được C=0 từ

Ví dụ 5: Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn

A B C D.

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Đưa hệ số của về 1 bằng cách chia cả 2 vế cho ta được

Suy ra

Dạng 3: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức

Phương pháp:

Chia 2 vế cho

Ví dụ 1: Cho hàm số thỏa mãn và .Giá trị của bằng

A B C D .

( Chuyên Thái Bình 2020) Lời giải

Ta có:

Ví dụ 2: Cho hàm số thỏa mãn và ,

Giá trị của bằng

( Đề Thi THPTQG Năm 2018) Lời giải

Ví dụ 3: Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

và Khi đó thuộc khoảng nào sau đây?

A B C D (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An -2020) Lời giải

Vì hàm số đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đồng thời

Kết hợp với , ta được

Từ đó, tính được

Ví dụ 4: Cho hàm số thỏa mãn và có đạo hàm

A B C D

(Hải Hậu -Nam Định -2020) Lời giải

Mà

Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên , và thỏa mãn

Khẳng định nào sau đây SAI?

( Sở Hà Nội Năm 2019) Lời giải

Theo bài ra

(Với là hằng số thực)

Suy ra:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A B

(Chuyên Thái Nguyên 2019)

Lời giải

Mà nên

Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và

của bằng

( Chuyên Lê Hồng Phong –Nam Định -2019)

Lờigiải

Suy ra:

2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu

Thực trạng đứng trước một bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức

lúng túng và đặt ra câu hỏi: Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ? học sinh không biết giải quyết như thế nào và thường bỏ qua những bài toán này

Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, đưa bài toán ban đầu về những dạng quen thuộc từ đó học sinh sẽ định hình được cách giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán

sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán

Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn

giản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ

ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán nguyên hàm biết phân dạng bài toán Vì vậy, song song với các lời giải, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả Qua đó giúp học sinh nhận thức, phân tích bản chất của bài toán để bổ trợ cho việc giải bài toán nguyên hàm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán

2.3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề

1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

2 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong

đó yêu cầu khả năng phân tích bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức

3 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

4 Trong mỗi bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa

đưa về các dạng toán điển hình đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất bài toán cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

5 Cung cấp hệ thống các bài tập để học sinh tự rèn luyện

Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về phần nguyên hàm có liên quan đến biểu thức chứa Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn

bị lời giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi: bản chất bài toán ấy là gì? Có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không? Bài toán nguyên hàm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong những đề thi THPTQG môn toán gần đây Vì vậy, để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan:

- Việc tiếp cận các bài nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa

của các em học sinh đã nhanh nhạy hơn, các em đã tự tin khi tiếp cận dạng toán này

- Không khí lớp học sôi nổi, các em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn đề mới

- Chất lượng ôn thi mũi nhọn môn Toán của nhà trường được nâng lên rõ rệt, làm tiền đề cho việc nâng cao chất lượng dạy và học

- Trong các đề thi thử cấp trường môn toán năm học 2019 - 2020 thì 70% học sinh lớp 12 giải được bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Trước một bài toán, giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh tự giải, biết tìm ra hướng đi đúng đắn Bởi một số bài toán đòi hỏi phải sáng tạo, phải có tư duy nhất định mới có thể giải được

Biết trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các nhà khoa học, giúp học sinh hứng thú học tập bộ môn nhằm nâng cao chất lượng bộ môn toán và chất lượng giáo dục hiện nay

Hiện nay, đa số các thầy cô giáo cũng biết phương pháp này Tuy nhiên ứng dụng của nó hiện nay chưa được nghiên cứu một cách tổng thể Do vậy tôi mong rằng những kinh nghiệm nhỏ mình có thể giúp ích phần nào cho công tác giảng dạy tại các trườngtrung học phổ thông

3.2 Kiến nghị

Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức cơ bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau:

Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm

Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp các đối tượng trong lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng trong từng tiết dạy

Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua các tiết bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúp học sinh dể hiểu bài học

Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cũng như các nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung mới

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân để phần nào giúp học sinh

có cái nhìn dễ dàng hơn về bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa

Tôi cũng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian hẹp nên sáng kiến này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được

sự đóng góp của các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn!

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Trịnh Ngọc Vĩ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.

Người viết

Trịnh Thị Lệ