(SKKN HAY NHẤT) phân dạng bài tập đạo hàm nhằm phát triển năng lực tư duy toán cho học sinh lớp 11

Trong chương trình Giải tích lớp 11 – THPT, nội dung đạo hàm mới chỉchiếm một khối lượng kiến thức và thời gian trong một chương, nhưng nó lại là tiền đề để học sinh học về “Ứng dụng của

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGA SƠN -***** -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN CHO

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 62.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 72.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 23

1 MỞ ĐẦU

“Trước đây Đạo hàm và Tích phân được học trọn vẹn trong Giải tích 12.

Ngày nay, phần lí thuyết đạo hàm được học trong chương trình Đại số và Giảitích 11 để phục vụ kịp thời cho việc học các bộ môn khoa học khác như, Vật

lí, Hóa học,

Ở đây, học sinh được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một, từ cácbài toán đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính vàcác công thức đạo hàm cơ bản quan trọng nhất

Đạo hàm cấp hai được đưa ra nhằm giúp cho việc hiểu bản chất và cáchtính toán một khái niệm quan trọng của Vật lí là gia tốc

Định nghĩa Vi phân được đưa ra nhằm chuẩn bị cho việc học Tích phân ởGiải tích 12 Vì không có thời gian học ở lớp 11, phần Ứng dụng đạo hàm

chuyển sang đầu chương của Giải tích 12 ”

(Trích Đại số và Giải tích 11trang 145-NXB Giáo dục Việt Nam)

Đoạn giới thiệu trên của SGK đã nói lên sự quan trọng của việc dạy vàhọc chương Đạo hàm của hàm số Một khái niệm toán học được xây dựngtrên nền tảng các kiến thức Giải tích trừu tượng, nhưng lại quay trở lại để giảiquyết các bài toán rất thực tế của Toán học, Vật lý, Hóa học

1.1 Lý do chọn đề tài

Môn Toán là môn học tạo nhiều cơ hội giúp học sinh (HS) phát triển nănglực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tư duy trừu tượng, chính xác, hợplogic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận, từ đó rèn cho HS tríthông minh, sáng tạo

Trong chương trình Giải tích lớp 11 – THPT, nội dung đạo hàm mới chỉchiếm một khối lượng kiến thức và thời gian trong một chương, nhưng nó lại

là tiền đề để học sinh học về “Ứng dụng của đạo hàm” trong Giải tích 12

Kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ trọng khá lớn trong các đề thi THPT quốc giatrước đây và đề thi tốt nghiệp THPT ngày nay Khi các trường Đại học còn tổchức thi tuyển sinh thì phần kiến thức này cũng chiếm tỷ lệ lớn (Sau này khi

đỗ vào các trường Đại học các em lại được học Đạo hàm ở mức độ cao hơn)

Bởi vậy, việc dạy và học Đạo hàm ngay từ lớp 11 phải được coi trọng, vì nó làbước đầu các em học sinh tiếp cận với nó, nhưng nó lại đi xuyên suốt trongquá trình học tập và thi cử phía trước

Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chương trình toán phổ thông, là mộttrong hai phép tính cơ bản của Giải tích Đạo hàm là công cụ giúp chúng tanghiên cứu các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến, tính lồilõm, cực trị, các điểm tới hạn của hàm số Vận dụng tính chất của đạo hàmcòn giúp HS giải được các bài toán Đại số như: giải phương trình, bất phươngtrình, bất đẳng thức…

Ngoài ra, đạo hàm còn ứng dụng trong lĩnh vực khác như: bài toán tínhvận tốc, gia tốc của một chuyển động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế,trong chuyển động…

Thực tế dạy học Toán ở trường THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặpkhó khăn khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong nhữngnguyên nhân chính là do các em không hiểu sâu sắc khái niệm và những ứngdụng của kiến thức này Chính vì những lý do nêu trên tôi đã chọn đề tài để

nghiên cứu: Phân dạng bài tập đạo hàm nhằm phát triển năng lực tư duy

toán cho học sinh lớp 11

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm

nhanh bài toán các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ thống bài tập phùhợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực trong họcToán Đây cũng là vấn đề gắn với việc dạy học theo hướng phát huy năng lực,phẩm chất người học

Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định

hướng để học sinh có thể đưa ra hướng giải tự nhiên và phù hợp với kiến thứcđược học của học sinh lớp 11 hiện nay đối với những bài toán có liên quanđến việc áp dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức về đạo hàm của hàm số

- Kiến thức về giới hạn của hàm số

- Học sinh lớp 11C năm học 2019-2020 trường THPT Nga sơn

- Học sinh lớp 11M năm học 2020 – 2021 trường THPT Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến

tại điểm Kí hiệu: hoặc Vậy

gọi là số gia của đối số tại điểm gọi là số gia của hàm số tương ứng.

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm bên phải, bên trái

- Đạo hàm bên trái.

trong đó được hiểu là và

- Đạo hàm bên phải.

trong đó được hiểu là và Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại điểm và tồn tại và

2.1.3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.

- Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

- Hàm số được gọi là có đạo hàm trên đoạn nếu có đạo hàm trên khoảng và có đạo hàm phải tại và đạo hàm trái tại

2.1.4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số.

- Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý: Hàm số liên tục tại điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Hàm số không liên tục tại thì không có đạo hàm tại điểm đó.

2.1.5 Các quy tắc tính đạo hàm

- Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định

Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ

là hằng số

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc “Phân dạng bài tập đạo hàm nhằm phát triển năng lực tư duy

toán cho học sinh lớp 11” là rất cần thiết vì các lí do sau:

Thứ nhất: Môn Toán đã có sự thay đổi lớn trong cách kiểm tra đánh giá.

Chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Sách giáokhoa chưa có nhiều dạng bài tập về phần này Trước đây đạo hàm là chươngđầu tiên của Giải tích lớp 12 nay chương Đạo hàm xếp vào cuối của lớp 11,

từ đó đòi hỏi học sinh lớp 11 phải có những tư duy ban đầu về giải tích

Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập thì học sinh cần nắm

vững kiến thức về đạo hàm, tích phân … và nhiều kiến thức có liên quan khác

để giải quyết các bài toán vật lý, hóa học, kinh tế

2.3 Các giải pháp được sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan

Đã được trình bày trong cơ sở lý luận

2.3.2 Một số ví dụ áp dụng Dạng 1 CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

2 Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.

Hàm số liên tục tại điểm

- Hàm số có đạo hàm tại điểm liên tục tại điểm

- Hàm số liên tục tại điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm

Ví dụ 1: Cho hàm số Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2

Ví dụ 2: Khi tính đạo hàm của hàm số tại điểm , một học sinh đã tính theo các bước sau:

Tính toán trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Tính toán đúng

Lời giải: Đáp án D Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các

bước đều đúng

Hs chú ý:

Ví dụ 3: Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số tại

(1) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm

đó

(3) Nếu hàm số gián đoạn tại điểm thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó

Trong ba mệnh trên:

A (1) và (3) đúng B (2) đúng C (1) và (2) đúng D (2) và (3) đúng

Lời giải: Đáp án A.

Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số có tập xác định nên hàm số

hàm số không có đạo hàm tại

Hs chú ý: Khi nên Khi nên

Ví dụ 7: Cho hàm số Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

Từ (1) và (2) hàm số không có đạo hàm tại điểm

Hs chú ý: Đây là dạng toán đặc trưng về hàm số xác định liên tục tại

nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.

Vì nên hàm số không tồn tại đạo hàm tại

Vídụ 10: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây sai

A Hàm số có đạo hàm tại B Hàm số có đạo hàm tại

C Hàm số có đạo hàm tại D Hàm số có đạo hàm tại

Lời giải: Đáp án B.

Tại đồ thị hàm số bị “ngắt-không liền” nên hàm số không liên tục Vậy hàm số không có đạo hàm tại

Hs chú ý:

Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số không liên tục tại điểm thì không có đạo hàm tại

Ví dụ 11: Tìm để hàm số có đạo hàm tại điểm

Lời giải: Đáp án B.

Để hàm số có đạo hàm tại thì trước hết phải liên tục tại

Khi đó Vậy

Nhận xét: Qua 13 ví dụ trên học sinh được tiếp cận về đạo hàm từ dễ đến

khó, các ví dụ được lựa chọn rất điển hình cho từng dạng toán Từ cách viết, cách tính, từ tính đơn giản, đến tính phức tạp, từ sự không tồn tại dẫn đến sự tồn tại Mỗi ví dụ sau là sự nâng cao và phát triển của ví dụ trước Sau chuỗi

ví dụ được phân dạng như vậy, năng lực tư duy của học sinh cũng được nâng

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1 Bài 1: Số gia của hàm số ứng với và bằng bao nhiêu?

có đạo hàm tại thì liên tục tại

có liên tục tại thì đạo hàm tại

Mệnh đề nào đúng?

A.Chỉ B Chỉ C Cả hai đều sai D Cả hai đều đúng

Bài 7: Cho đồ thị hàm số nhưhình vẽ:

Hàm số không có đạo hàm tại các điểmnào sau đây?

Bài 8: Cho hàm số Giá trị bằng:

Hàm số không có đạo hàm tại Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ B. Chỉ C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều sai

Dạng 2: CÁC DẠNG TOÁN VỀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp

Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Ví dụ 14:Đạo hàm của hàm số y=−2 x5+4√x bằng biểu thức nào dưới đây?

Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng Khi

đó nhận giá trị nào sau đây:

Lời giải: Đáp án C.

Hs chú ý:

Ta có công thức tổng quát: với và

Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng Khi đó bằng:

Nhận xét: Khi tính đạo hàm của hàn phân thức nếu ta chia để viết phân thức

ấy về phần nguyên và phần dư thì chúng ta tính đạo hàm dễ dàng hơn khi áp

dụng công thức đạo hàm của một thương Đây cũng là cách chúng ta tính nguyên hàm ở lớp 12

Ví dụ 19: Đạo hàm của hàm số (với a là hằng số) tại

mọi là:

Lời giải: Đáp án D.

Hs chú ý:

Khi lấy đạo hàm của hàm số chứa tham số, ta coi tham số là hằng số

Ví dụ 19: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng

Với ta có nên không có đạo hàm tại

Vậy

Hs chú ý: Loại bài toán kết hợp giữa tính đạo hàm bằng công thức và tính

đạo hàm bằng định nghĩa tại 1 điểm

Với ta có Hàm số liên tục tại

Xét

Vậy

Hs chú ý: Trên các khoảng xác định ta tính đạo hàm bằng quy tắc

Tại điểm ta xét đạo hàm bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm chỉ ra

Ví dụ 24: Cho hàm số Đạo hàm của hàm số tại là:

Lời giải: Đáp án D.

Ta có: Không tồn tại vì xác định với

Hs chú ý: Với bài toán này nếu sử dụng MTCT thì kết quả là màn hình hiển

thị thông báo “Math ERROR” và không tính được.

Nhận xét: Việc sử dụng các tính chất để tính đạo hàm đã làm cho việc tính

đạo hàm trở nên đơn giản rất nhiều Nhưng cạnh đó cũng có những dạng bàibắt buộc ta phải tính bằng định nghĩa Đặc biệt khi tính đạo hàm tại một điểmbằng MTBT giúp cho ta kết quả nhanh chóng, nhưng cạnh đó cũng có dạngbài mà máy tính không tính được

- Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất với

sinx và cosx, phương trình tích số…để giải phương trình

Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn các hàm số, biểu thức lượng giác

Nhận xét: Nếu dùng cách 1 sử dụng công thức biến đổi từ tích sang tổng rút

gọn rồi sau đó việc tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp

Bài 11: Đạo hàm của hàm số là:

Bài 15: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng Khi

đó a nhận giá trị nào sau đây?

Bài 16: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng Khi đó bằng:

Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác

Bài 17 : Hàm số có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

Phương trình tiếp tuyến

- Tiếp tuyến tại một điểmPhương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

x

M

( C ) f(x 0 )+

f(

x 0 )

M

0

x 0 +

x 0

- Nếu cho thì thế vào giải phương trình tìm

- Tiếp tuyến biết hệ số góc

- Hệ số góc của tiếp tuyến:

Giải phương trình ta tìm được hoành độ của tiếp điểm thế và phương trình tìm tung độ

- Khi đó phương trình tiếp tuyến:

Hs chú ý:

* Tiếp tuyến

* , với là góc giữa và tia

- Tiếp tuyến đi qua một điểmLập phương trình tiếp tuyến với biết đi qua điểm Phương pháp:

- Gọi là tiếp điểm

- Vì đường thẳng đi qua nên Giải phương trình

ta tìm được rồi suy ra

Hs chú ý : Điểm có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong

Ví dụ 28: Cho hàm số có đồ thị Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là:

Lời giải: Đáp án A.

Phương trình tiếp tuyến tại là:

Chú ý: Hs có thể dùng MTBT để tính đạo hàm tại x=-1 một cách nhanh

chóng hơn

Ví dụ 29: Cho hàm số có đồ thị Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là:

Tập xác định:

Phương trình tiếp tuyến tại là:

Ví dụ 30: Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ là:

Ví dụ 32: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc có phương trình là:

Lời giải: Đáp án A.

Phương trình tiếp tuyến tại

Ví dụ 33: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đi quađiểm

C D

Lời giải: Đáp án D.

Gọi là tiếp điểm Do tiếp tuyến qua nên:

Ta tìm được hai phương trình tiếp tuyến là: và

Hs chú ý:

Học sinh cần phân biệt loại bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

và viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm Dấu hiệu ban đầu là điểm có thể thuộc đường cong hay có thể không thuộc đường cong

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Bài 21: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

B và

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế khi giảng dạy phần Đạo hàm của hàm số với lớp 11C khi không

áp dụng cách phân dạng bài tập và giảng dạy lớp 11M bằng cách phân dạngbài tập tôi nhận thấy

Học sinh lớp 11C tiếp thu và làm bài tập kém hơn, các em không biếtbắt đầu từ đâu khi làm toán đạo hàm, học sinh lớp 11M thì khác rõ rệt Cácdạng bài tập được các em so dạng và ra được hướng làm rất tốt Các tiết họccác em tham gia học bài rất chăm Một số bạn học sinh trung bình yếu cũngbiết cách làm những dạng toán đơn giản, lớp học không còn tình trạng “họcsinh bị bỏ rơi” Ít nhất các em cũng biết sử dụng MTBT để tính đạo hàm tạimột điểm Cách làm trên đã tạo ra sự học tập tích cực từ học sinh, các dạngtoán được phân chia và sắp xếp từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng đã làm chocác em có sự tư duy theo hướng tích cực, năng lực tư duy của các em cũngđược phát triển tốt Đây cũng là tiền đề để các em học tốt phần ứng dụng đạohàm của hàm số được dạy trong chương I của Giải tích 12 Đây là một trongnhững đơn vị kiến thức chiếm phần lớp trong các đề thi tốt nghiệp THPTcũng như các kỳ thi học sinh giỏi

Để kiểm tra hiệu quả chi tiết của SKKN tôi đã cho hai nhóm lớp làmcác dạng bài và thu được kết quả cụ thể như sau

Lớp/số hs Số học sinh có lời giải Số học sinh có lời giải đúng

Sau khi dạy xong chương Đạo hàm tôi nhận thấy: