(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

TÊN ĐỀ TÀI:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.. Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã đưa hình thức thitrắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán v

Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: TTCM

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

MỤC LỤC Trang

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.3 Các giải pháp tổ chức thực hiện 5 2.3.1 Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng với 5

2.3.2 Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối 142.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 26

TÊN ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán về cực trị của hàm sốchiếm một vị trí hết sức quan trọng và nó được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tếnhư: Các bài toán về lợi ích kính tế trong sản xuất, kinh doanh…

Cực trị của hàm số được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 10 vàxuyên suốt trong chương trình toán học phổ thông, đến nay nó thường xuyên cómặt trong các kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã đưa hình thức thitrắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần cực trị của hàm số đã đượcyêu cầu rộng hơn khó hơn trước, đặc biết là các bài toán về tìm cực trị cuả hàmhợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyêt đố, nó đòi hỏi học sinh phải có hệ thốngkiến thức về cực trị thật vững chắc và tư duy linh hoạt mới giải được các bài toándạng này

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiếnthức vững chắc về cực trị đặc biệt là cực trị của hàm hợp,hàm ẩn, hàm chứa dấu giátrị tuyệt đối và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy vàhọc, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm

“Một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị

tuyệt đối”.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thànhthạo trong việc giải các bài toán về cực trị nói chung và giải được các bài toán vềcực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí làkhông có định hướng về lời giải trong việc tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàmchứa dấu giá trị tuyệt đối

- Góp phần gây hứng thú học tập phần cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứadấu giá trị tuyệt đối cho học sinh, giúp các em có thể giải được một trong các phầnđược coi là khó của đề thi, đòi hỏi phải có tư duy cao

- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề thenchốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phầnnâng cao chất lượng dạy học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chương I Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số và

chủ yếu là phương pháp tìm cực trị của một số hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấugiá trị tuyệt đối

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm

và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệthống theo từng mức độ từ dễ đến khó

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Các kiến thức cơ bản

Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa:

Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm

nói hàm số đạt cực đại tại điểm

nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Chú ý:

1 Nếu hàm số đạt cực đại( cực tiểu) tại điểm thì được gọi là điểm cực đại( điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu) của hàm số, còn điểm được gọi là điểm cực đại( cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2 Nếu hàm số có đạo hàm trênkhoảng và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm thì

2.1.2 Tính chất

Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên hoặc , với

một điểm cực đại của hàm số

một điểm cực tiểu của hàm số

Định lí 2:

Giả sử hàm số có đạo hàm cấp 2 trong khoảng , với Khi đó:

a) Nếu và thì là điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu và thì là điểm cực đại của hàm số.

2.2 Thực trạng của đề tài

Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia củamôn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử củacác trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tìm cực trị củahàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài toán có liên quan, đây làcác bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này

sẽ tạo được cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tìm cực trịcủa hàm số và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bàithi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập củahọc sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2019-2020 (thông qua các lớp trực tiếpgiảng dạy) về các bài toán tìm cực trị của hàm hơp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trịtuyệt đối, đã thu được kết quả như sau:

Thực hiện đề tài này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm cực trị của hàm số

đã được học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thôngqua các phương pháp cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó Cuối cùng làbài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết Dokhuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra hai phương pháp tìm cực trị đó là: Phươngpháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng với và phương pháp tìm cực trịcủa hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc là và

2.3 Các giải pháp tổ chức thực hiện

Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành hai phần

Phần 1 Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng với Phần 2 Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

Lời giải:

Từ đồ thị của hàm số ta thấy đổi dấu từ âm sang dương qua nên hàm số có một điểm cực trị là

Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.

Ví dụ 5 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số

là parabol như hình bên dưới

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

.Dựa vào đồ thị và đường thẳng , ta có bảng biến thiên sau

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Ví dụ 6 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số là ; ; ; ; với Tìm

Do đó và là nghiệm kép của Do vậy và là nghiệm bội bacủa Các nghiệm khác và của đều là nghiệm đơn

Vậy hàm số đã cho có 11 cực trị

Ví dụ 7 Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm

với mọi Tìm tất cả các giá trị của tham số để

Vậy thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 8 Cho hàm số có đạo hàm trên , hàm số có đồ thị nhưhình vẽ dưới đây

x y

3 2

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có điểm cực trị

Lời giải:

Do hàm số là hàm chẵn nên hàm số có cực trị khi và chỉ khi hàm

số này có đúng điểm cực trị dương

Đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ là nên cácnghiệm của phương trình (nếu có) không làm đổi dấu khi

đi qua, do đó các điểm cực trị của hàm số là các nghiệm của các

phương trình:

Các phương trình trên có duy nhất nghiệm dương Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

c Bài tập tương tự Bài 1 Cho hàm số có đạo hàm với Tìm tất

cả các giá trị của tham số để hàm số có điểm cực trị

Bài 2 Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất cảcác giá trị của tham số để hàm số có 6 điểm cực trị

Bài 3 Cho hàm số có đạo hàm và

Tìm tất cả các giá trị của tham

số để hàm số có đúng một điểm cực trị

Bài 4 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Bài 5 Cho hàm số có đạo hàm trên , hàm số có bảng biếnthiên của như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Bài 6 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số nhưhình vẽ bên

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng

Bài 7 Cho hàm số xác định trên , có đồ thị như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Bài 8 Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị của hàm số nhưhình vẽ bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số trên khoảng

Bài 9 Cho hàm số xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Bài 10 Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số

2.3.2 Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

a Bài toán 1.Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng

Phương pháp giải:

Ta có

Xét phương trình Giải phương trình (1); (2) tìm số nghiệm của chúng

Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình

(Số lần đổi dấu của đạo hàm )

b Bài toán 2.Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng

Phương pháp giải:

Hàm số đã cho là hàm số chẳn đồ thị của hàm số đối xứng với nhau qua trụctung

Gọi là só điểm cực trị dương của hàm số số điểm cực trị của hàm số

Ví dụ 2 Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số đểhàm số có 7 điểm cực trị

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Cho hàm số , với là tham số Tìm tất cả các giá tịcủa tham số để hàm số có bảy điểm cực trị

Lời giải:

Đặt Xét hàm số

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có điểm cực trị

Lời giải:

Từ BBT của hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số nhưsau

)Xét phương trình:

Số điểm cực trị của hàm số là số ngiệm bội lẻ của phương trình

Ta có

Ta có có hai nghiệm phân biệt và , để hàm số có 5 điểm cực trịthì phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt khác và

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác và

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có điểm cực trị

Lời giải:

TXĐ:

Từ đồ thị của hàm số ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị, tức làphương trình có 2 nghiệm phân biết mà khi qua , đổidấu

Ta có ( không xác định khi

)Xét phương trình

Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt

Từ đồ thị của hàm số để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 6 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có điểm cực trị

Lời giải:

- Ta có:

Xét phương trình

Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình phải có nghiệm phân biệt mà khi qua các nghiệm đó đạo hàm đổi dấu.

- Xét phương trình + Ta có phương trình có nghiệm phân biệt

Vậy với thì hai phương trình và có tất cả nghiệm bội lẻ phân biệt

và đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó, hay hàm số có điểm cựctrị

Ví dụ 7 Cho hàm số có đạo hàm trên Hình vẽ bên là đồ thị củahàm số trên

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Từ đồ thị hàm số của ta thấy hàm số có hai điểm cực trị dươngnên hàm số có 5 điểm cực trị hàm số có điểm cực trị.

Ví dụ 8 Cho hàm số là một hàm đa thức có bảng xét dấu như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Hàm số có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số có hai cực trị dương.

Ví dụ 10 Cho hàm số có đạo hàm

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hàm số có 5 điểm cực trị?

Lời giải:

Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số , số điểm cực trị của đồ thị hàm số

bằng số điểm cực trị dương của đồ thị hàm số cộng thêm 1

Để hàm số có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số có 2 cực trịdương

Ta có

Có là nghiệm bội 2, là nghiệm đơn

Vậy có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương ,

có một nghiệm Trường hợp 1: Có nghiệm khi đó Với ,ta có

Trường hợp 2: có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệmdương , có một nghiệm âm

Điều kiện tương đương Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

c Bài tập tương tự

Bài 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số

Bài 5 Cho hàm số đa thức có đạo hàm trên , và đồ thị hình bêndưới là đồ thị của hàm số Hỏi hàm số cóbao nhiêu cựctrị?

Bài 6 Cho hàm số có đạo hàm trên , đồ thị hàm số là đườngcong ở hình vẽ Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 7 Cho hàm số có Biết là hàm số bậc bốn và có đồthị là đường cong trong hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Bài 8 Cho là hàm đa thức bậc và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có điểm cựctrị

Bài 9 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số cóđúng điểm cực trị.

Bài 10 Cho hai hàm đa thức và có đồ thị là hai đường cong ởhình vẽ Biết rằng đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị là , đồ thịhàm số có đúng một điểm cực trị là và

Tìm tất cả các giá trị của tham số thuộc khoảng để hàm số

có đúng điểm cực trị

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Nông Cống I năm học 2019-2020, tôiđược nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B3 Sau khi thử nghiệm dạynội dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôithấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng họctoán được nâng lên rõ rệt

Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau:

Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận vàrút kinh nghiệm Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng cóhiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn

về vấn đề cực trị của hàm số hợp, hàm ẩn và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối,cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tựhình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạtđược mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương laicủa đất nước Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệutham khảo và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Như

vậy với đề tài "Một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm

chứa dấu giá trị tuyệt đối” đã giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt

hơn trong việc định hướng biến đổi và có kinh nghiệm trong việc tìm cực trị củahàm số nói chung và tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệtđối nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mớitrong dạy học

Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồngnghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý ,

bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

3.2.1 Đối với tổ chuyên môn :

Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tìm cựctrị của hàm số Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến nhữngdạng bài tập trong bài giảng

3.2.2 Đối với trường :

Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợnhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

3.2.3 Đối với sở giáo dục :

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thờisau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội

bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN dochính bản thân mình viết, không saochép nội dung của người khác

Trần Thanh Minh