(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách và góc trong không gian

Bài toán về góc và khoảng cách trong hình không gian nằm ở phần cuốicủa chương trình hình lớp 11 kết nối với nhiều mảng kiến thức của chương trìnhhình lớp 12, là một trong những bài toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lưu Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2021

MỤC LỤC Trang

1 Mở đầu… 1

1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… ……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… 2

2.1.1 Định nghĩa khoảng cách ……… 2

2.1.2 Định nghĩa góc……… ……… 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 4

2.2.1 Thuận lợi……….……… 4

2.2.2 Khó khăn……… ……… 4

2.3 Giải quyết vấn đề ……… 3

2.3.1 Các giải pháp tính nhanh khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……… 4

2.3.2 Một số ứng dụng quan trọng của bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……… 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 20

3 Kết luận, kiến nghị……… 20

3.1 Kết luận……… 20

3.2 Kiến nghị……….……… 20

Tài liệu tham khảo… 22

Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên 23

Phụ lục……… 24

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán học phổ thông môn hình học không gian giữ vaitrò, vị trí hết sức quan trọng Thông qua môn học này người học không chỉ đượcrèn luyện kỹ năng giải toán, trí tưởng tượng không gian giúp phát triển tư duy

mà còn giúp rèn luyện cho người học những đức tính và phẩm chất tốt như: tínhcẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ, tạo nềnmóng để theo học các ngành kiến trúc và nghệ thuật

Bài toán về góc và khoảng cách trong hình không gian nằm ở phần cuốicủa chương trình hình lớp 11 kết nối với nhiều mảng kiến thức của chương trìnhhình lớp 12, là một trong những bài toán quan trọng thường xuyên xuất hiệntrong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và các đề thi chọn học sinh giỏicác cấp Các dạng bài toán về góc và khoảng cách khá phong phú và đa dạng đòihỏi người học phải có tư duy tốt, có trí tưởng tượng không gian phong phú, và

có khả năng tính toán tốt Chính vì vậy giải quyết các yêu cầu của bài toán vềgóc và khoảng cách trước những đòi hỏi của các kỳ thi, nhất là thi trắc nghiệmcần nhanh và chính xác là một thử thách không hề nhỏ cho người học Với mongmuốn giúp học sinh dễ dàng giải quyết yêu cầu nội tại của bài toán tính khoảngcách trong hình không gian và ứng dụng để giải nhanh các bài toán liên quankhác, nhằm phát triển tư duy và nâng cao hứng thú học tập cho học sinh, tôi đã

lựa chọn đề tài: Một số giải pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách và góc trong không gian.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:

- Giúp học sinh nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng và biết ứng dụng thành thạo trong giải quyết các bài toán tính khoảngcách khác

- Giúp học sinh hiểu và vận dụng phương pháp tính khoảng cách để giải quyếtnhanh một số bài toán tính góc trong không gian

- Giúp học sinh phân dạng bài tập, tìm nhiều cách giải cho một bài tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài tập trung nghiên cứu bài toán tính khoảng cách và góc trong không gian

- Các phương pháp thường sử dụng trong giải toán hình không gian

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập: nghiên cứu các cáchgiải một bài toán và tìm phương án tối ưu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa khoảng cách.

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm và đường thẳng Trong mặt phẳng , gọi là hình chiếuvuông góc của trên Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi

là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm và mặt phẳng Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặtphẳng Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng Kí hiệu:

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng song song với mặt phẳng Khoảng cách giữa đườngthẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì của đến mặtphẳng , kí hiệu là

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳngsong song , là khoảng cách từ một điểmbất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu là

- Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau và cùng vuông góc vớimỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của và

+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau lần lượt tại thì độ dài đoạn thẳng gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau và

Nhận xét

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mộttrong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳngcòn lại.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặtphẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

2.1.2 Định nghĩa góc

- Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng và trong không

gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượtsong song với và

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng và mặt phẳng

.

φ d'

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi

Các bài toán về góc và khoảng cách trong không gian được đề cập đến khihọc sinh đã được tìm hiểu về quan hệ song song và quan hệ vuông góc trongkhông gian nên học sinh đã có những kiến thức nền tảng nhất định Theo đó cácbài toán này vừa giúp củng cố các kiến thức đã biết vừa giúp hiểu kỹ hơn về cácquan hệ trong không gian rất đa dạng do đó mà gây được hứng thú, và sự tò mòcho người học

2.2.2 Khó khăn

Đa số học sinh học yếu phần hình học đặc biệt là phần hình không gian

Một phần do khả năng tưởng tượng không gian hạn chế nên kỹ năng vẽ hìnhkhông gian không tốt, hơn nữa nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơbản và cách giải các dạng bài tập cơ bản nên chưa có khả năng vận dụng tổnghợp các kiến thức, chưa phân loại và tổng quát được phương pháp giải cho từngdạng toán kể cả các dạng bài đơn giản Nhiều học sinh e ngại học hình nên kỹnăng tính toán không được rèn luyện thường xuyên vì vậy gặp nhiều khó khănkhi giải quyết bài toán về góc và khoảng cách trong không gian

2.3 Giải quyết vấn đề 2.3.1 Các giải pháp tính nhanh khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

* Giải pháp thứ nhất: Để giải quyết nhanh các bài toán góc, khoảng cách trước

hết cần giúp học sinh nắm vững cách xác định đường cao của các hình khônggian (thường là hình chóp và hình lăng trụ) Sau đây là một số trường hợp tiêubiểu cần được khắc sâu cho học sinh:

+) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy: Đường cao của hình chóp

chính là đường thẳng chứa cạnh bên vuông với mặt đáy đã cho

+) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Đường cao của hình chóp

chính là đường cao của mặt bên đi qua đỉnh hình chóp đó hay chân đường caothuộc giao tuyến của mặt bên vuông góc với mặt đáy

A H

C

B

+) Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với mặt đáy: Đường cao của hình

chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy

A

D S

+) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau: đường cao của hình chóp là đường

đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+) Hình chóp đều: Đường cao của hình chóp là đường thẳng nối đỉnh và tâm

của đáy

O B

C A

+) Hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều: Đường cao của lăng trụ chứa cạnh bên

của lăng trụ

* Giải pháp thứ hai: Phần lớn các bài toán tính khoảng cách trong không gian

đều chuyển về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng vì vậycần cho học sinh rèn luyện thành thạo kỹ năng tính khoảng cách từ một điểmđến một mặt phẳng Muốn vậy trước hết cần giúp học sinh hiểu và luyện tậpthành thạo 2 bài toán tính khoảng cách cơ bản sau đây:

Bài toán 1: Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên Cho hình chóp có Dựng khoảng cách từ đến mặtphẳng

Phương pháp:

+) Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt đáy +) Từ điểm là hình chiếu vuông góc của đỉnh , dựng +) Dựng Khoảng cách cần tìm là

Nhận xét: Nếu hình chóp có và là tam giác vuông tại khi đó tứ diện là tứ diện vuông đỉnh , thì .

Vì tương ứng là đường cao trong các tam giác vuông nên

Vậy có thể áp dụng công thức để tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện vuông đến mặt đáy của tứ diện Do đó trong nhiều bài toán tính khoảng cách thì kỹ năng phát hiện và sử dụng công thức tính khoảng cách trong tứ diện vuông là rất cần thiết, vừa dễ áp dụng vừa nhanh xác định được kết quả

Như vậy khi đã xác định được bài toán cơ bản, để nhanh chóng có kết quả chúng ta chỉ việc tính rồi thay vào là có kết quả cần tìm

Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại , ;

cạnh bên vuông góc với đáy Tính khoảng cách từđến mặt phẳng

Lời giải

+ Gọi là trung điểm của đoạn

+ Ta có: là trung tuyến và nên vuông tại ;

Nhận xét: Có thể chuyển khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách từ đỉnh đến

mặt đáy của một tứ diện vuông theo cách 2 sau đây:

+ Trong mặt phẳng , gọi

+ là hình vuông cạnh nên vuông tại có

là đường cao nên:

Nhận xét: Dễ thấy tứ diện là tứ diện vuông đỉnh , do đó có thể áp

dụng công thức nhanh tính khoảng cách từ đỉnh của tứ diện vuông đến mặt đáy

để tính

Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy hình chóp đến mặt bên chứa đường cao của hình chóp Cho hình chóp có Dựngkhoảng cách từ đến mặt phẳng

, góc giữa và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách từđiểm đến mặt phẳng

+ Ta có + Gọi trung điểm của đoạn Vì vuông cân tại

Để tìm được số thực ta thường sử dụng các kết quả sau:

* Bài toán thường gặp:

Cho hình chóp có Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Ý tưởng giải bài toán:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

mặt phẳng với M là hình chiếu của A lên SD.

Nhận xét: Dễ dàng tính được khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh trên

mặt đáy đến mặt bên theo bài toán cơ bản thứ nhất Khi đó kết hợp với

kỹ thuật chuyển điểm về điểm ta có kết quả cần tìm.

Lời giải

Lời giải

H O'

a a

a) + Gọi là tâm của hình vuông Ta có :

+ Tứ diện là tứ diện vuông đỉnh , đặt

* Ứng dụng trong tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trừ trường hợp đặcbiệt hai đường thẳng đó vuông góc với nhau là có cách cách giải riêng, còn nóichung phần lớn các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauđều chuyển về tính khoảng cách từ một điểm thuộc đường này đến một mặtphẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại Do đó thành thạo kỹ năngtính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể giúp định hướng và giảiquyết nhanh bài toán tính khoảng cách giữa hai thẳng chéo nhau Chúng ta sẽthấy rõ điều này qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

, Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

+ Có thể chọn mặt phẳng chứa và song song với , bằng cách kẻ

+ Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo tính chất tứ diện vuông đỉnh .

Ví dụ 2 Cho hình lăng trụ đứng có độ dài cạnh bên bằng , đáy là tam giác vuông cân tại ; Gọi là trung điểm của cạnh Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Như vậy có thể tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua tínhkhoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng đó (khác giao điểm của đườngthẳng và mặt phẳng) đến mặt phẳng Dưới đây ví dụ áp dụng phương pháp này

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy là a và tâm đáy là O Gọi,

M N lần lượt là trung điểm SA BC, Biết MN ABCD, ( )  60 0 Đặt   MN SAC ,( ) Tính sin.

Lời giải

+ Do là hình chóp đều nên + Gọi là trung điểm thì là đường trung bình nên

+ Trong :

.+ Ta có:

+ Cho hai mặt phẳng phân biệt và không song song và Gọi

Ví dụ 1: Cho hình chóp có vuông góc với đáy và đáy là tam giácvuông tại Gọi là tia phân giác trong của góc , thuộc Tính của góc giữa hai mặt phẳng và

Kẻ đường cao của tam giác , ta có:

+ Do là tia phân giác của nên + Trong đáy, kẻ Kẻ đường cao của tam giác vuông

Nhận xét: Thông thường để tính của góc giữa hai mặt phẳng chúng ta đi xác

dịnh góc giữa hai mặt phẳng đó, rồi gắn vào các tam giác cụ thể để tính Tuy nhiên việc xác định góc giữa hai mặt phẳng nhiều khi còn khó hơn là tính góc giữa hai mặt phẳng đó, trong trường hợp này sử dụng khoảng cách như cách giải trên sẽ giúp ta nhanh chóng tìm được lời giải cho bài toán Chúng ta sẽ luyện tập thêm để thấy rõ điều này (xem các bài tập ở phần phụ lục).

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi được rèn luyện cácbài toán cơ bản về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, học sinh

đã biết vận dụng linh hoạt vào các bài toán tính khoảng cách tương tự Học sinhkhông còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa Hầu hết các em đã biếtnhận dạng nhanh bài toán và biết áp dụng để làm nhanh các bài trắc nghiệm

Một hiệu quả nữa mà tôi nhận thấy là những học sinh của mình sau khiđược rèn luyện các bài toán về ứng dụng của bài toán khoảng cách từ một điểmđến một mặt phẳng như trên đã hiểu kỹ hơn về các quan hệ trong hình khônggian, hứng thú hơn với việc giải toán hình không gian Học sinh nhận thấy đượctầm quan trọng của việc nắm vững lý thuyết và các bước giải bài toán cơ bản

Biết tính góc trong không gian thông qua tính khoảng cách từ một điểm đến mặtphẳng mà không cần xác định cụ thể đó là góc nào

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận

Đề tài đã đưa ra các phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng, có chia dạng cho dễ tiếp cận Ứng với mỗi dạng bài có một hệ thốngcác ví dụ với những lưu ý và cách giải phù hợp, với mức độ khó tăng dần nên rấtphù hợp cho học sinh luyện tập Các ví dụ thường có nhiều cách tiếp cận khácnhau để học sinh biết cách so sánh và lựa chọn cách làm tối ưu cho các bài cụthể nhờ đó mà rèn luyện tư duy linh hoạt và tính sáng tạo trong giải toán

Trên cơ sở tìm hiểu các phương pháp tính khoảng cách và tính góc trongkhông gian, đề tài đã làm rõ một phương pháp tính góc hiệu quả là sử dụngkhoảng cách Qua đó học sinh thấy rõ mối liên hệ của các dạng bài toán khácnhau tạo động lực để học sinh tìm tòi và sáng tạo các phương pháp giải toán mớitrong quá trình học tập

Đề tài cho thấy sử dụng công thức khoảng cách trong tính góc trong hìnhkhông gian là một phương pháp mạnh, giúp giải quyết nhanh chóng, hiệu quảnhiều bài tập khác nhau kể cả những bài tập ở mức vận dụng và vận dụng cao

mà việc xác định góc gặp khó khăn Đề tài còn có thể mở rộng theo hướng giảiquyết các bài tập tổng hợp liên quan đến góc khoảng cách , thể tích của các hìnhkhông gian Các vấn đề về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của góc , khoảng cách…

3.2 Kiến nghị

Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm đểcác giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung và cách khơidạy đam mê tìm tòi sáng tạo trong học tập

Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình dạy học phương pháptính góc và khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 cho học sinh THPTtrong các chuyên đề dạy học Toán, vì vậy không tránh khỏi còn có những thiếusót Tôi rất mong nhận được sự đánh giá góp ý của Hội đồng khoa học củangành và các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có tính ứng dụng thực tiễnhiệu quả

XÁC NHẬN CỦATHỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2021Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôiviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

Tác giả

Lưu Thị Thủy