C©u 1 Së GD & §T NghÖ An Trêng THPT Phan §¨ng Lu o0o §Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 N¨m häc 2007 2008 ( M«n To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót ) C©u 1 a Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = x3 3x + 1 b T×m c¸c[.]
Trang 1Sở GD & ĐT Nghệ An
Trờng THPT Phan Đăng Lu
-o0o -Đề thi thử đại học lần 1
Năm học 2007 - 2008
( Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút )
Trang 2Câu 1
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1
b Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình: mx3 - 3mx + m = 1 có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2 Giải các phơng trình sau:
a x2 1 2x 2x28x 6 2 .
b (1 + tgx) cos3x + (1 + cotgx) sin3x = cos2x
Câu 3.
a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 0), diện tích bằng 1(đvdt) và C nằm trên đờng thẳng d: x - y + 1 = 0 Lập phơng trình đờng cao
CH của tam giác đó
b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0; 3) và Parabol (P): y2 = x Điểm
M thay đổi trên (P) Tìm M để đoạn AM ngắn nhất
c Trong không gian cho hình hộp chử nhật ABCD.A1B1C1D1 có thể tích bằng 1 (đvtt) Gọi I là trung điểm của đoạn A1D1 Tính độ dài các cạnh của hình hộp Biết rằng
BI (A1C1D)
Câu 4
a Tính I = 2
0
cosx sin2x
dx 3(4sinx 1) 3sinx 1
b Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) x 4 x 2 x 3 2 32
Câu 5 Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 0, y 0
x y 6
Chứng minh rằng: x2y(4 - x - y) - 64
- Hết
-(Lu ý: Học sinh thi khối B, D không làm câu 4b)
Hớng dẫn chấm
(Môn Toán- Thi thử ĐH lần 1-Năm học 2007-2008 - Trờng THPT Phan Đăng Lu)
(KB,KD: 1,5)
TXĐ: D = ; y’ = 3x2 - 3; y’ = 0 x = 1 ; y(1) = -1; y(-1) = 3
y’ > 0, x (-; -1) (1; +) do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -1) và
(1; +) y’ < 0, x (-1; 1) do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) Vì vậy điểm
(-1; 3) là điểm CĐ; điểm (1; -1) là điểm CT của đồ thị hàm số
0.25
(KB,KD: 0,5)
y’’ = 6x; y’’ < 0, x (-; 0); y’’> 0,x (0; +) do đó đồ thị hàm số lồi trên
khoảng (-; 0), lõm trên khoảng (0; +) Điểm uốn U(0; 1) Limyx ; Limyx
0.25
Trang 3Bảng biến thiên
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ + 0 - 0 + y’’ - 0 +
đồ thị Lồi U Lõm
0.25
KB,KD: 0.5
Hình 2
Đồ thị hàm số
Hình 1
0.25
Nếu m = 0 thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu m 0 thì phơng trình trở thành x3 - 3x + 1 = 1
m (1)
0.25
Vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1, và đờng thẳng y = 1
Số nghiệm PT (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 - 3x + 1 và đờng thẳng y = 1
m. 0.25 Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi -1 < 1
m < 1 m < -1 hoặc m
> 1 Vậy m > 1, m < -1 là kết quả cần tìm
0.25
x 1 2x 2x 8x 6 2 (x 1)(x 1) 2(x 1)(x 3) 2(x 1) .
TXĐ: D = (-; -3] -1 [1; +) Nếu x = -1 thì PT thỏa mãn 0.25
Nếu x [1; +) thì PT tơng đơng với PT x 1 2(x 3) 2 x 1 Bình phơng
ta có x = 1 hoặc x = -25/7(loại) Vậy phơng trình có nghiệm là x = 1 0.5
ĐK: x k/2 (k Z) Khi đó PT (sin x + cos x) cos 2 x + (sin x + cos x) sin 2 x = cos 2 x - sin 2 x 0.25
(sin x + cos x )(cos2x + sin2x - cos x + sin x) = 0 sinx cosx 0
cosx sinx 1
0.25
3
+
Trang 4
4
x k2
2
Đối chiếu ĐK ta có nghiệm PT là x = -/4 + k (k Z ) 0.25
d(C, AB) = t + 1, suy ra dt(ABC) = t + 1 Theo gt dt(ABC) = 1 suy ra t = 0 hoặc t = -2 0.5
Điểm M (P): y2 = x nên M(t2; t), với t R Ta có MA = t4 t2 6t 9 0.5
xét hàm số f(t) = t4 + t2 - 6t + 9, trên R Ta có f’(t) = (t-1)(4t2+4t+6)
Lập bảng BT đợc Minf(t) = 5 khi t = 1.Vậy M(1; 1) là điểm cần tìm 0.5
Đặt hệ trục Oxyz sao cho Ox AB, Oy AD, Oz AA1 Đặt AB = a, AD = b, AA1 =
c ( a, b, c dơng)
Suy ra A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A1(0; 0; c), I (0; b/2; c), C1(a; b; c), do đó
BI( a;b/2;c);DA (0; b;c);DC (a;0;c); DA ,DC ( bc;ac;ab)
BI (DA1C1) BI, DA ,DC 1 1
cùng phơng BI, DA ,DC 1 1 O
0.25
a(b 2c ) 0
b
2 c(b 2a ) 0
0.25
Mặt khác V = abc = 1 a = c = 3
(KB,KD:1.5)
(KB,KD:1.5)
2
0
(1 2sinx)dsinx
I
(12sinx 3) 3sinx 1
Đặt t =
2 2
2 1
2 1 2t
=
2
Cách làm 1 TXĐ: D = [-2; 2]; Đặt x = 2sint, với t[-/2; /2] 0.25 Khi đó tập giá trị của hàm sốf(x) x 4 x 2 x 3 2 32 trên D bằng tập giá trị
của hàm số g(t) sint 4 4sin t 4sin t 3 2 3 2 2 = 4sin(2t - /3) trên [-/2; /2].
0.5
;
2 2
Maxg(t) 4
, khi 5 t 12
VậyMaxf(x) 4 2;2
Cách làm 2 TXĐ: D = [-2; 2];
2 2
2
x
4 x
0.25
Trang 5
2
4 x
Chia trờng hợp, rồi bình phơng 2 vế, ta có các nghiệm là x 2 3, x 2 3
0.5
f(-2) = f(2) =2 3, f( 2 3) 4, f( 2 3)4, Do đó Maxf(x) 4 2;2
, khi
0.25
Đặt A = x2y(4 - x - y), Nếu x + y 4 thì A 0 nên BĐT đúng 0.25 Nếu x + y > 4 thì -A = x2y(x + y - 4) = =
3
3
x x
y
(vì x + y - 4 > 0) 0.5
Vì 4 < x + y 6 nên 0 <
và 0 < x + y - 4 2 Do đó -A 64, dấu “=”
khi
y
2
y 2
x y 6
Vậy A - 64, dấu “=” khi x = 4, y = 2
0.25
(Lu ý: Học sinh giải bằng cách giải khác cách giải nêu trên , nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)