§Ò thi Trêng THPT Phan §¨ng Lu Tæ To¸n Tin o0o §Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 N¨m häc 2006 2007 ( M«n To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót) C©u 1 (2 ®iÓm) Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C) 1) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµ[.]
Trang 1Trờng THPT Phan Đăng Lu
Tổ: Toán-Tin
-o0o -Đề thi thử đại học lần 1
Năm học 2006 - 2007
( Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số
2 3 3
x y
x
, có đồ thị (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó với hai đờng tiệm cận của (C), tạo thành một tam giác đều.
Câu 2 (2 điểm) Giải các phơng trình sau:
1) 2cos sin 2
x tg
;
2) 2(log9x) 2 = log3x log3( 2x 1 1 ).
Câu 3 (3 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D Biết rằng
AB = AD = SD = a, CD = 2a (a là số dơng cho trớc) và SD(ABCD)
a) Chứng minh tam giác SBC là tam giác vuông;
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC (cân tại A) Cạnh BC, trung tuyến từ đỉnh B của tam giác đó có phơng trình lần lợt là (d1): y 1 = 0, (d2): 2x -3y + 3 = 0 Đờng trung tuyến từ đỉnh C đi qua điểm M( 1
2
; 4) Lập phơng trình các cạnh còn lại của tam giác.
Trang 2Câu 4 (1 điểm) Cho một tấm tôn hình vuông cạnh a Ngời ta cắt bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập tấm tôn lại để
đợc một cái hộp không nắp (hộp chữ
nhật) Tìm cạnh của các hình vuông bị
cắt sao cho thể tích của khối hộp lớn
nhất.
Trang 3Câu 5 (1 điểm) Tính tích phân I =
2 2 2
2 3 2 2
x dx x
Câu 6 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T
với x, y, z là ba số dơng thay đổi thoả mãn xyz = 1.
-Hết -(Lu ý: HS thi khối B không làm câu 3 phần 1b); HS thi khối D không làm câu 3 phần 1).) Hớng dẫn chấm (Môn Toán- Thi thử ĐH lần 1-Trờng THPT Phan Đăng Lu) Nội dung Điểm Câu 1 (KB:2.5)2 (KD:3.0) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 3 3 x y x 1 (KB: 1.5) (KD: 2) TXĐ: D =(-∞; 0) (0; +∞); y’ = 2 2 3 3 3 3 x x ; y’ = 0 x = 3 (KD:0.5)0.25 yCĐ = y(- 3) = -2; yCT = y( 3) = 2; đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng, đờng thẳng 1 3 y x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 0.25 (KD:0.5) Bảng biến thiên x -∞ - 3 0 3 +∞
y’ + 0 - - 0 +
y -2
-∞ -∞
+∞ +∞
2
0.25 (KB:0.5) (KD:0.5) Đồ thị ( Trờng THPT Phan Đăng Lu )
0.25
(KB:0.5) (KD:0.5)
Trang 4Vì hệ số góc của tiệm cận xiên là
k = 1/ 3 nên góc giữa tiệm cận xiên
và tiệm cận đứng bằng 600 Do đó tiếp tuyến t với hai tiệm cận tđ , tx tạo thành tam giác đều khi và chỉ khi t d ( d là phân giác góc
Hệ số góc của d là kd = 3 , nên hệ số góc của t là kt =-1/ 3 Suy ra
2 0 2 0
3
x x
= - 1/ 3 ( với x0 là hoành
độ tiếp điểm)
0.25
x0 = 3
2 suy ra y0 = 3/ 2 0.25
Do đó phơng trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là
Câu 2 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 2
(KD: 2)
ĐK:
2
x
g
Khi đó phơng trình tơng đơng với
2cos sin 1
2(cos sin ) (cos sin ) 0 (cos sin )(cos 3sin ) 0
(KB: 0.5) (KD: 0.5)
2
l voi l
Đối chiếu ĐK ta có nghiệm phơng trình là x = -/2 + 2l ( với l Z)
(HS có thể đặt t = tg(x/2); hoặc giải (*) bằng cách chia hai vế cho 5, nh
thế sẻ khó khăn trong việc loại nghiệm không thích hợp)
0.25
(KB: 0.5) (KD: 0.5)
ĐK: x > 0;
2(log9x)2 = log3x log3( 2x 1 1) 1
2(log3x)
2 - log3x log3( 2x 1 1) = 0 0.25
t d
t x
t
đ
O
Trang 5 log3x (1
2log3x - log3( 2x 1 1)) = 0.
• log3x = 0 x = 1;
0.25
• 1
2log3x - log3( 2x 1 1) = 0
4
x
0.25
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 1, x = 4 0.25
Câu 3 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 3 1) (Lu ý: HS thi khối B không làm câu 3 phần 1b);
HS thi khối D không làm câu 3 phần 1).) 2
a)
1đ
Gọi E = DA CB, F là
trung điểm của CD
(HS có thể chỉ ra CB BD
rồi suy ra CB SB)
Vì SD (ABCD) nên các tam giác SDC, SDB, là tam giác vuông Suy ra
0.25
ABCD là hình thang vuông tại A, D và AB
= AD = 1
2CD = a Suy ra
0.25
Do đó SB SD2 BD2 a 3 0.25
Tam giác SBC có SCa 5,SB a 3,
2
BC a suy ra SC2 = SB2 + BC2 do đó tam giác SBC vuông tại B
0.25
b)
1đ
d(A, (SBC)) = d(A, (SEC)) = 1
2d(D, (SEC)) (vì AB song song và bằng một nửa CD nên A là
trung điểm của ED)
0.25 Nếu gọi h = d(D, (SEC)) thì ta có
h DC DE DS a a a a
( vì DC, DE, DS đôi một vuông góc)
0.5
Vậy d(A, (SBC)) = 6
6
a .
(Học sinh có thể tính K/c(A, (SBC)) bằng cách tính thể tích khối SABC và dt(SBC))
0.25
2) ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1
B = d1d2 B: 1 0
y
M d2 nên M không là trọng tâm của tam giác Gọi d3
là đờng thẳng đi qua M và song song với BC (d1) Suy
ra (d3): y = 4 Gọi N =d2d3 suy ra N(9/2; 4) Do đó trung điểm của MN là I(2; 4) Vì tam giác ABC cân tại
A nên I AH ( AH là trung tuyến cũng là đờng cao của tam giác) Suy ra đờng thẳng AH có phơng trình là x = 2.
0.25
H = d1 AH H(2; 1) C(4; 1) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G = AH d2
Từ đó ta có AB: 2x - y + 1 = 0; AC: 2x + y - 9 = 0 0.25
S
B E
A
F
S
B E
A
F
A
I
G
H
d 2
M (-1/2;4 )
d 1
Trang 6Câu 4 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1 Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt (điều kiện: 0 < x < a/2) Khi đó thể tích khối
hộp tạo thành là V = x(a - 2x)2( nếu HS không đặt điều kiện thì không cho điểm phần này). 0.25
Cách 1 Xét hàm số V(x) = x(a - 2x)2 (trên (0; a/2)) Ta có V’ = 12x 2 - 8ax + a 2 ;
x 0 a/6 a/2
V’ + 0
27
a
Cách 2 Vì 0 < x < a/2 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dơng
4x, a - 2x, a - 2x ta có 4V = 4x(a - 2x)2 (2a/3)3, dấu bằng khi x = a/6
0.5
Suy ra MaxV =
3 2 27
a khi x = a/6 Vậy khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất
khi hình vuông bị cắt có cạnh x = a/6
0.25
Câu5 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1
I =
2 2 2
2 3 2 2
x dx x
; Đặt y = x - 1; khi đó I =
2 2
3 2
1 1
y dy y
Đặt y = cost (với t [0; ] ); ta có 2
2 2
2
t
6 6 2 sin
12
12
0.25
Câu6 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1
Ta có (x - y)2 0 x2 - xy + y2 xy x3 + y3 (x + y)xy (vì x > 0, y >
Cộng hai vế với xyz = 1 ta có x3 + y3 + 1 (x + y + z)xy > 0 (vì z > 0) Suy
ra 3 3
1
x y z xy x y z xy x y z
x y , dấu “ =” xẫy ra khi x = y 0.25 Lập luận tơng tự ta có 3 13
; 1
x
x y z
y z dấu “ =” xẫy ra khi y = z;
3 3
1 1
y
x y z
z x ; dấu “ =” xẫy ra khi z = x
0.25
Suy ra 3 13 3 13 3 13
1
x y z x y z x y z
x y y z z x ;
dấu “ =” xẫy ra khi x = y = z
Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 1 khi x = y = z = 1
( Trờng THPT Phan Đăng Lu )
0.25