Hướng dẫn giải Đề thi vào 10 chuyên Toán Bình Định 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Phan Hòa Đại Bài giải Đề thi chuyên toán Bình Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2020 2021 BÌNH ĐỊNH Môn thi chuyên TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Đề chính thức Ngà[.]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2020-2021

BÌNH ĐỊNH Môn thi chuyên: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)

Đề chính thức Ngày thi: 18/7/2020

Bài 1: ( 2 đ)

1.Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức: P 3x 4 x 7 x 1 x 3

+ − + − nhận giá trị nguyên

2 Cho phương trình 2x2−3x 2m 0+ = Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác

0 thỏa

x −x =

Bài 2: (2,5 đ)

1 Giải phương trình: x34 x 122 1

2

=

2.Giải hệ phương trình: ( )

( )

x y y x 2



 + = −



Bài 3: (1.5 đ) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho p2

+3pq+q2là một số chính phương

Bài 4: (3 đ)

1 Cho tam giác ABC cân tại A ( Với ∠BAC 60< 0) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC CMR: MA > MB+MC

2 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O, gọi D là trung điểm của BC và

E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC, AB Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và

BC theo thứ tự tại M và N

a) CMR: tứ giác AMDN nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và FD, H là trung điểm của KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF CMR: HI EF⊥

Bài 5: (1 đ) : Cho x, y là hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) (2 )2

A

xy

-* -

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1.Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức: P 3x 4 x 7 x 1 x 3

+ − + − nhận giá trị nguyên

2 Cho phương trình 2x2−3x 2m 0+ = Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác

0 thỏa

x −x =

Giải:

1.Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để: P 3x 4 x 7 x 1 x 3

ÑK : x 0;x 1≥ ≠ , ta có:

Phan Hòa Đại Bài giải Đề thi chuyên toán Bình Định

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ( )( )( ) )

P

Với x Z∈ ,x 0;x 1≥ ≠ ⇒ x 1− ≥ −1; x 1 0− ≠ ,

Ta có: P 1 2 Z 2 Z x 1 { 1;1;2} x {0;2;3} x {0;4;9}

2 Cho phương trình 2x2−3x 2m 0+ = (1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x 1 ;

x 2 khác 0 thỏa

x −x =

1 2

1 2

1 2

x x 0

x x 0

x x



và ∆ = = − 9 16m

Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2khác 0 thỏa

x −x =

1 2

1 2

1 2

1

2

9 16m 0 0

3

2

x x m

2 2

m

2





 − >

= −



( )

1

2

1

m

9 m

2



=



⇔ 

 = −



Bài 2:

1 Giải phương trình: x34 x 122 12

ĐK:x 3x3 2 x 0 x 0;x 3 13;x 3 13

( )

2

1

x 1

1

x

− +

+ − + − ( Chia cả tử và mẫu của VT cho x2 ≠0)

Đặt : 2 2

2

− = ⇒ + = + , ta được PT:

2

t 1 1

t 3 2

+

=



=



= −



2

1 17 x

x

2

=





=





(TM)

4

x

x

2

=





=





(TM)

Vậy PT có bốn nghiệm: ……

2 Giải hệ phương trình: ( )

( )

x y y x 2



 + = −

2 2

2

x y 1 2xy 2x 2y 3x 2y Bình phöông

Thay (3) vào (2), ta được PT:

1 x

y 3

x 9



≥



=





Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho p2+3pq+q2 là một số chính phương

Giải: Với p, q là số nguyên tố sao cho p2

+3pq+q2là một số chính phương

Mà p,q là số nguyên tố nên a-p-q <a+p+q ; a+p+q>2 , do đó chỉ có các khả năng sau:

a p q 1

 − =  =

(TM)

Trường hợp 2: a p q pa p q q a p q pa p 0 *( )

 − − =

 − − = ⇔

  Vì a+p>2 nên (*) sai => Loại trường hợp 2

Phan Hòa Đại Bài giải Đề thi chuyên toán Bình Định

3 2 1

E

D

C' B'

C O

A

B

M

3

3 1 2

2

1

I

H

L

K

M

J N

E F

D O A

Trường hợp3: a p q qa p q p a p q qa q 0 **( )

 − − =

 − − = ⇔

  Vì a+q>2 nên (**) sai => Loại trường hợp 3

Vậy hai số nguyên tố p, q cần tìm là 3 và 7

Bài 4:

1 Cho tam giác ABC cân tại A ( Với ∠BAC 60< 0) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC CMR: MA > MB+MC

Giải: Dựng tam giác đều AB’C’, lấy điểm D trên AM sao

cho MD=MB’=> ∆MB’D cân , mà   0

DMB '=ACB '=60

B' B' AB 'C' 60 DB ' M B' B' B' B'

( )

MA AD DM MB' MC'

Vẽ đường kính AOE, Ta có:

 B nằm trên cung nhỏ MB’, C nằm trên cung nhỏ MC’

 MB<MB’; MC < MC’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA> MB+MC

2 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O, gọi D là trung điểm của BC và

E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC, AB Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và

BC theo thứ tự tại M và N

a) CMR: tứ giác AMDN nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và FD, H là trung điểm của KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF CMR: HI EF ⊥

Giải:

a) Vẽ đường kính AOJ Ta có:  0

ACJ=90 (góc nội tiếp chắn b) nửa đường tròn)  0

1 3

⇒ + = Lại có:   0

D + B = 90 ( ∆BDF vuông)

và B3 =  (góc nt cùng chắn cung AC) J3

Suy ra ⇒D1=A1

AED+AFD=90 +90 =180 ⇒Tứ giác AEDF

nội tiếp ⇒D2 =E2(góc nt cùng chắn cung AF)

Suy ra: ADN=D1+D2 =A1+E2 =AMN ( góc

ngoài của tam giác)

Suy ra Tứ giác AMDN nội tiếp

b) Ta có:   0

KEL=KFL=90 ⇒Tứ giác KLEF nội

tiếp đường tròn đường kính KL, mà H là trung

điểm của KL=> H là tâm đường tròn đường kính

KL => HE=HF (1)

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF =>IE=IF (2)

Từ (1) và (2) suy ra IH là đường trung trực của đoạn EF => HI EF ⊥

Bài 5: Cho x, y là hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) (2 )2

2 2

A

xy

( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

A

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

4 2xy

(dấu “=” xảy ra  x y2 2 x y x y

2xy

Lại có: ( )2

+

≥ = (dấu “=” xảy ra ⇔ = x y)

=> ( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

Vậy GTNN của A là 6 ⇔ = x y