VẤN đề 5 HHKG THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN đáp án

TUYỂN CHỌN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO 2022 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Câu 1 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2022) Cho hình chóp S ABCD có đá[.]

Lời giải Chọn B

Trong ABCD gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong SAC gọi I là giao điểm của SO và AM

Trong SBD từ I vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B , D , suy ra

mặt phẳng  P là mặt phẳngAB MD 

+ Ta thấy I là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và SO của tam giác SAC  I là

A

S

Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC, khi đó:  ,  

4

HK SD

Câu 3 (Cụm Trường Nghệ An - 2022) Cho lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 2 Gọi M N lần lượt là ,

3

B N  BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng A C  tại P và đường thẳng CN cắt đường thẳng B C  tại Q Biết thể tích khối đa diện lồi A MPB NQ  bằng a

b với ,a b ; ,a b nguyên tố cùng nhau Tính

A

α D

S

(SBC)

Ta có:

12

Câu 4 (Cụm Trường Nghệ An - 2022) Cho tứ diện ABCD có AC 2CD  DB 2 a Gọi H và K lần

lượt là hình chiếu vuông góc

của A và B lên đường thẳng CD sao cho H C D K, , , theo thứ tự cách đều nhau Biết góc tạo bởi

AH và BK bằng 60 Thể tích khối tứ diện ABCD bằng

A

3 36

a

3 38

a

3 33

a

3 34

a

Lời giải Chọn D

Giải sử các kích thức của hình hộp chữ nhật là ABx AD,  y AA, z với , ,x y z  0

+) Khoảng cảch giữa hai đường thẳng AB và B C bằng 2 5

Câu 6 (THPT Hương Sơn - Hà Tĩnh - 2022) Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi M

là điểm thuộc cạnh BC sao choMC2MB; N P lần lượt là trung điểm của BD và AD Gọi Q ,

là giao điểm của AC và MNP Thể tích khối đa diện ABMNPQ bằng

Gọi I MNCD suy ra QIPAC Gọi K là trung điểm của MC Dễ thấy MN DK lần ,

4

IN IM

S V S

Câu 8 (THPT Lê Thánh Tông - HCM-2022) Cho lăng trụ ABC A B C    có tam giác ABC vuông cân tại

A Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy trùng với trung điểm của cạnh BC Biết cạnh

A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC 

Ta có: AH là hình chiếu vuông góc của AA trên mặt phẳng ABC Góc giữa AA' và mặt phẳng ABC là  A AH  60A AH  

Gọi I là tâm của hình bình hành ACC A 

Câu 9 (Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông; mặt bên

(SAB) là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 3 5

Gọi I J; lần lượt là trung điểm của AB CD K; ; là hình chiếu của I lên SJ

35

4

x x a

x x

Câu 10 (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là

tam giác vuông tại A , ABa, AC2avà AA a (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách

d giữa hai đường thẳng AB, A C

Không mất tính tổng quát, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz, như hình vẽ

 2  22

3

AB A C A A d

Dựng hệ trục tọa độ B xyz như hình vẽ và để làm việc dễ hơn ta chọn a 1 thì ta có:

Câu 12 (Sở Hà Tĩnh 2022) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có cạnh AA 2, đáy ABCD là hình

thoi với ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , ,

khi đó toạ độ các điểm là (0; 0; 0), (2 3; 0; 0), (0; 2; 0), ( 2 3; 0; 0), (0; 0; 2), (2 3; 0; 2), (0; 2; 2), ( 2 3; 0; 2)

84a Gọi M là trung điểm AB J thuộc cạnh ; SC sao cho JC2JS H; thuộc cạnh SD

sao cho HD6HS Mặt phẳng (MHJ chia khối chóp thành hai phần Thể tích khối đạ diện của )phần chứa đỉnh S bằng

ABCD M

AA C C   và AA B B   tạo với nhau góc  có tan 3

Câu 15 (Sở Ninh Bình 2022) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Một mặt cầu ( )J ( J và S cùng

phía với (ABCD ) tiếp xúc với () ABCD tại A , đồng thời tiếp xúc ngoài với mặt cầu nội tiếp )hình chóp Một mặt phẳng ( )P đi qua J và BC Gọi  là góc giữa ( )P và ( ABCD Tính )tan biết các đường chéo của thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )P lần lượt cắt và vuông góc với

( )J tiếp xúc ngoài nên OA2 Rr hay a2 8Rr Gọi giao điểm của JC với SA và SO lần lượt

là E và H Theo giả thiết thì CESA, suy ra hai tam giác HCO và ASO đồng dạng, suy ra

4

h  hay h8r Gọi N là trung

điểm AB Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có

2

.4

Câu 16 (Sở Ninh Bình 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích là

V Gọi M là trung điểm của cạnh SA N là điểm trên cạnh , SB sao cho SN 3NB Mặt phẳng ( )P thay đổi đi qua các điểm M N và cắt các cạnh , SC SD lần lượt tại hai điểm phân biệt ,, P Q

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S MNPQ

80V , đạt được khi x 1, tức là khi PC

Câu 17 (Sở Bạc Liêu 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB  , cạnh bên 1

Câu 20 (Sở Thái Nguyên 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ,

AB ADa, CD2a Hình chiếu của đỉnh S lên mặt ABCD trùng với trung điểm của BD

Gọi H hình chiếu của đỉnh S lên mặt ABCD Khi đó: H là trung điểm của BD

S ABCD ABCD

Theo bài ra, ta có: SH  BC Do đó: BCSBD

AB CAB  Đỉnh S cách đều ba điểm A B C và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng , ,

ABC một góc 45 Hai điểm M Q lần lượt thuộc các đoạn , AB và SB sao cho

A

Thiết diện của    với hình chóp là hình thang MNKQ

Gọi PMQKNPSASAB  SAC

3

3 1540

a

3

3 616

a

Lời giải Chọn D

H

D

C B

A

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéoAC BD, Khi đó SOABCD

Dựng AK OI lần lượt vuông góc với , BC

Câu 24 (Chuyên Lam Sơn 2022) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh 1, người ta lấy điểm M

sao cho AM x(0x1) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, người ta lấy điểm S vói SA y thỏa mãn y  và 0 x2y2 Biết khi M thay đổi trên 1

đoạn AD thì thể tích của khối chóp S ABCM đạt giá trị lớn nhất bằng m

n với

*

,

m n   và ,

A

2

Câu 25 (Chuyên Lam Sơn 2022) Cho khối bát diện đều có cạnh a Gọi M N P Q lần lượt là trọng tâm , , ,

của các tam giác SAB SBC SCD SDA gọi , , , ; M N P Q, , ,  lần lượt là trọng tâm của các tam giác

Do M N lần lượt là trọng tâm của các tam giác , SAB SBC nên ta có , 2 1 2

ta có tất cả các mặt còn lại của lăng trụ MNPQ M N P Q     cũng là hình vuông Suy ra lăng trụ

Câu 26 (Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông, AB  , cạnh bên 1 SA 1 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD Kí hiệu M là điểm )

di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN 45 Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S AMN là

Lời giải

Xét tam giác vuông CMN MN: 2 (1x)2(1y) (1)2

Câu 27 (Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình 2022) Bạn A định làm một cái hộp quà lưu niệm (không

nắp) bằng cách cắt từ một tấm bìa hình tròn bán kính 4 cm để tạo thành một khối lăng trụ lục giác đều, biết 6 hình chữ nhật có các kích thước là 1 cm và x cm (tham khảo hình vẽ) Thể tích của hộp quà gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 29 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2022) Người ta dùng thuỷ tinh trong suốt để làm một cái chặn

giấy hình tứ diện đều Để trang trí cho nó, người thiết kế đặt trong khối tứ diện 4 quả cầu nhựa màu xanh có bán kính bằng nhau là r  2 ( cm) Biết rằng 4 quả cầu này đôi một tiếp xúc với nhau và mỗi mặt của tứ diện tiếp xúc với 3 quả cầu, đồng thời không cắt quả cầu còn lại Nếu bỏ qua bề dày của các mặt thì người ta cần dùng bao nhiêu thuỳ tinh để làm chặn giấy trên (làm tròn

đến chữ số thập phân thứ 2)

A 195, 66 cm 3 B 62, 09 cm 3 C 30, 03 cm 3 D 65,55 cm 3

Lời giải Chọn B

 Goi I1, I2, I3, I4 lần lượt là tâm của 4 hình cầu đã cho Khi đó I I I I1 2 3 4 là một tứ diện đều có

I I I I đồng dạng với nhau theo tỉ số k

 Gọi O là trọng tâm của tứ diện ABCD thì O cũng là trọng tâm của tứ diện I I I I1 2 3 4 Do đó O

là tâm đồng dạng Giả sử phép đồng dạng tâm O lần lượt biến các đỉnh A B C D, , , thành

1, 2, 3, 4

I I I I Khi đó, hai mặt phẳng BCD và I I I2 3 4 song song nhau

 Gọi G G, lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và I I I2 3 4 Khi đó:

C

D

I1

I2

Câu 31 (THPT Lương Tài 2 - Bắc Ninh - 2022) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có cạnh đáy

bằng 4a Góc giữa hai mặt phẳng A BC  và ABC bằng 300 Gọi M là trung điểm của cạnh

AB , tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng A BC ?

S'

C

BA

S

Gọi I là trung điểm của BC

Câu 32 (THPT Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình - 2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy

ABClà tam giác đều Gọi  là góc tạo bởi A B với mặt phẳng ACC A  và  là góc giữa mặt phẳng A BC  với mặt phẳng ACC A  Biết 2 2

Gọi H là trung điểm của AC dễ thấy BH ACC A  và BA,ACC A  BA H  và

m n

Câu 33 (THPT Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình - 2022) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có đáy

ABCD là hình vuông Gọi S là tâm hình vuông A B C D    Gọi Mvà N lần lượt là trung điểm của SAvà BC Biết rằng, nếu MN tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 và ABa thì thể tích S ABC bằng

A

33012

a

3303

a

332

a

Lời giải Chọn A

Gọi I là tâm hình vuông ABCD; H là trung điểm của AI

Ta có: SI ABCDMH ABCD hình chiếu của MN lên ABCD là HN HNM là

Câu 34 (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2022) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông,

a

Lời giải Chọn B

M

S

D'

C' B'

A'

Vậy

3 2

Câu 35 (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2022) Một trang tại cần xây dựng một bể chứa nước hình hộp

chữ nhật bằng gạch không nắp ở phía trên Biết bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích (phần chứa nước) bằng 8 m3 Hỏi chiều cao của bể gần nhất với kết quả nào dưới đây để số lượng

gạch dùng để xây bể là nhỏ nhất

Lời giải Chọn D

Chiều rộng bể và chiều dài bể lần lượt là , 2 (x x x 0), chiều cao bể là h, đơn vị m

h x

Câu 36 (THPT Yên Phong 1 - Bắc Ninh - 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành Gọi M là điểm di động trên cạnh AB và N là trung điểm SD Mặt phẳng    đi qua ,

M N và song song BC chia khối chóp thành hai khối có tỉ lệ thể tích 1

2

35

+) Đặt AM

x

AB  Kẻ MP BC NQ AD // ; //

  

+) Đặt S là diện tích ABCD; h là chiều cao của S ABCD

Diện tích AMPD : S AMPD x S

18

x V

x V