toan 8 bai 9 phan tich da thuc thanh nhan tu bang cach phoi hop nhieu

Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp CÂU HỎI Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1 Phân tích đa thức 2x 3 y – 2xy 3 – 4xy 2 – 2xy thành nhân tử Lời giải 2x 3 y – 2xy 3[.]

Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp CÂU HỎI

Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Phân tích đa thức 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy thành nhân tử

Lời giải

2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy

= 2xy(x2 - y2 - 2y - 1)

= 2xy[x2 - (y2 + 2y + 1)]

= 2xy[x2 - (y + 1)2 ]

= 2xy(x + y + 1)(x - y - 1)

Câu hỏi 2 trang 23 Toán 8 Tập 1:

a) Tính nhanh x2 + 2x + 1 - y2 tại x = 94,5 và y = 4,5

b) Khi phân tích đa thức x2

+ 4x – 2xy – 4y + y2 thành nhân tử, bạn Việt làm như sau:

x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y)

= (x - y)2 + 4(x – y)

= (x – y)(x – y + 4)

Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải

a) x2 + 2x + 1 - y2 = (x + 1)2 – y2 = (x + y + 1)(x – y + 1)

Thay x = 94,5 và y = 4,5 ta có:

(x + y + 1)(x - y + 1)

= (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5 + 1)

= 100.91

= 9 100

Vậy với x = 94,5 và y = 4,5 thì giá trị của biểu thức là 9100

b) x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y) → bạn Việt dùng phương pháp nhóm hạng tử

= (x - y)2 + 4(x – y) → bạn Việt dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức cho ngoặc đầu tiên và đặt nhân tử chung cho ngoặc còn lại

= (x – y)(x – y + 4) → bạn Việt dùng phương pháp đặt nhân tử chung

BÀI TẬP

Bài 51 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

Lời giải:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x ( nhân tử chung là x)

= x(x2 – 2x + 1) ( biểu thức ở trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (2))

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 (có nhân tử chung là 2)

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) (biểu thức ở trong ngoặc xuất hiện x2

+ 2x + 1 là hằng đẳng thức)

= 2[(x2 + 2x + 1) – y2]

= 2[(x + 1)2 – y2] (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (3))

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – x2 + 2xy – y2

= 16 – (x2 – 2xy + y2) (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức số (2))

= 42 – (x – y)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [4 – (x – y)][4 + (x - y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y)

Bài 52 trang 24 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2

– 4 chia hết cho 5 với mọi

số nguyên n

Lời giải

Ta có:

(5n + 2)2 – 4

= (5n + 2)2 – 22

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 với mọi số nguyên n

Vậy (5n + 2)2

– 4 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n

Bài 53 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x2

– 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2

– 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

Lời giải:

a) Cách 1: x2 – 3x + 2

= x2 – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)

= (x2 – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 2)

Cách 2: x2 – 3x + 2

= x2 – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)

= x2 – 4 – 3x + 6

= (x2 – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3)

= (x – 2)(x – 1)

Cách 3: x2 – 3x + 2

2 2 2 (thêm bớt hang tử

2 3

2 để tạo thành hằng đẳng thức)

2

2

x

2

x

x

b) Cách 1: x2 + x – 6

= x2 + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)

= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)

= (x + 3)(x – 2)

Cách 2: x2 + x – 6

2

2

1 25

x

x

c) Cách 1: x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)

= (x + 2)(x + 3)

Cách 2: x2 + 5x + 6

2

2

x

x

5 1 5 1

Luyện tập chung 4 Bài 54 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x

b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2

c) x4 – 2x2

Lời giải:

a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x (Có x là nhân tử chung)

= x(x2 + 2xy + y2 – 9) (biểu thức trong ngoặc có x2 + 2xy + y2 là hằng đẳng thức số (1))

= x[(x2 + 2xy + y2) – 9]

= x[(x + y)2 – 32] (biểu thức trong ngoặc xuất hiện hằng đẳng thức (3)]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 (Có x2 ; 2xy ; y2 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= (2x – 2y) – (x2 – 2xy + y2)

= 2(x – y) – (x – y)2 (Có x – y là nhân tử chung)

= (x – y)[2 – (x – y)]

= (x – y)(2 – x + y)

c) x4 – 2x2 (Có x2 là nhân tử chung)

= x2(x2 – 2)

2

2 2

x x 2 (biểu thức trong ngoặc vuông là hằng đẳng thức số (3))

2

Bài 55 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) x3 1x 0;

4

b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0;

c) x2(x – 3) + 12 – 4x = 0

Lời giải:

a) x3 1x 0

4

4

2

2 (biểu thức bên trong ngoặc vuông có dạng hằng đẳng thức số (3))

1

2

1

2

1

x

2

1

x

2

Vậy x 1 1; ;0

b) Ta có: (2x – 1)2 – (x + 3)2 =0 (xuất hiện HĐT (3))

⇔ [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0

⇔ (2x – 1 – x – 3).(2x – 1 + x + 3) = 0

⇔ (x – 4)(3x + 2) = 0

x 4 0

3x 2 0

2

x

3

Vậy x 4; 2

3

c) x2(x – 3) + 12 – 4x

⇔ x2(x – 3) – 4.(x – 3) = 0 (Có nhân tử chung là x – 3)

⇔ (x2 – 4)(x – 3) = 0

⇔ (x2 – 22).(x – 3) = 0 (biểu thức trong ngoặc đầu tiên xuất hiện HĐT (3))

⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

x 2

x 3

Vậy x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3

Bài 56 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của đa thức:

a) x2 1x 1

2 16 tại x = 49,75

b) x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6

Lời giải:

a) Ta có: x2 1x 1

x 2.x

2

1

4

Thay x 49,75 493

4 vào biểu thức trên, ta được:

Vậy giá trị của biểu thức là 2 500 tại x = 49,75

b) Ta có: x2 – y2 – 2y – 1 (Thấy có y2 ; 2y ; 1 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= x2 – (y2 + 2y + 1)

= x2 – (y + 1)2 (Xuất hiện HĐT (3))

= (x – y – 1)(x + y + 1)

Thay x = 93, y = 6 vào biểu thức trên, ta được: (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600 Vậy với x = 93, y = 6 thì giá trị biểu thức là 8 600

Bài 57 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 4x + 3;

b) x2 + 5x + 4;

c) x2 – x – 6;

d) x4 + 4

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x2

vào đa thức đã cho)

Lời giải:

a) Cách 1: x2 – 4x + 3

= x2 – x – 3x + 3

(Tách –4x = –x – 3x)

= x(x – 1) – 3(x – 1)

(Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 3)

Cách 2: x2 – 4x + 3

= x2 – 2.x.2 + 22 + 3 – 22 (Thêm bớt 22

để có HĐT (2))

= (x – 2)2 – 1

(Xuất hiện HĐT (3))

= (x – 2 – 1)(x – 2 + 1)

= (x – 3)(x – 1)

b) Cách 1: x2 + 5x + 4

= x2 + x + 4x + 4

(Tách 5x = x + 4x)

= x(x + 1) + 4(x + 1)

(có x + 1 là nhân tử chung)

= (x + 1)(x + 4)

Cách 2: x2 5x 4

2

2

x

x

x 1 x 4

c) Cách 1: x2 – x – 6

= x2 + 2x – 3x – 6 (Tách –x = 2x – 3x)

= x(x + 2) – 3(x + 2) (có x + 2 là nhân tử chung)

= (x – 3)(x + 2)

Cách 2: x2 – x – 6

2

2

1 25

x

x

d) x4 + 4

= (x2)2 + 22

= x4 + 2.x2.2 + 4 – 4x2 (Thêm bớt 2.x2.2 để có HĐT (1))

= (x2 + 2)2 – (2x)2 (Xuất hiện HĐT (3))

= (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x)

Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Lời giải:

A = n3 – n (có nhân tử chung n)

= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

+) Nếu n chẵn n n 1 n 1 2

Nếu n lẻ thì n + 1 là số chẵn n n 1 n 1 2

Do đó A chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1)

+) Nếu n chia hết cho 3 n n 1 n 1 3

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 k n – 1 = 3k k chia hết cho 3

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 k n – 2 = 3k k chia hết cho 3

Do đó A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n