Bài 3 Tính chất đường phân giác của tam giác Bài 17 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2 Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D a) Tính độ dài các đoạn[.]
Trang 1Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác Bài 17 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15cm, AC =
20cm, BC = 25cm Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
Lời giải:
a) Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của góc BAC
Suy ra:DB AB
DC= AC (tính chất đường phân giác)
Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)
Nên DB 15
DC =20
Suy ra: DB 15
DB DC =15 20
+ + (tính chất tỉ lệ thức)
Suy ra:DB 15 DB 15.25 75 cm
BC= 35 =35 = 7
Do đó, DC = BC – BD = 25 75 100cm
7 7
− =
Trang 2b) Kẻ AH ⊥ BC
Ta có: SABD = 1
2 AH.BD; SADC =
1
2AH.DC
Suy ra: ABD
ADC
1 AH.BD
1
S AH.DC DC
2
Mà DB 15 3
DC = 20= ( chứng minh trên) 4
Vậy ABD
ADC
S BD 3
S =DC = 4
Bài 18 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có các đường phân
giác AD, BE, CF
Chứng minh rằng: DB EC FA 1
DC EA FB =
Lời giải:
Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của góc BAC
Suy ra: DB AB
DC = AC (tính chất đường phân giác) (1)
BE là đường phân giác của góc ABC
Suy ra:EC BC
EA=AB (tính chất đường phân giác) (2)
Trang 3CF là đường phân giác của góc ACB
Suy ra:FA CA
FB = CB (tính chất đường phân giác) (3)
Nhân từng vế (1), (2) và (3) ta có:
DB EC FA AB BC CA
DC EA FB =AC AB CB = (điều phải chứng minh)
Bài 19 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác cân ABC có BA = BC = a,
AC = b Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại
N
a) Chứng minh MN // AC;
b) Tính MN theo a, b
Lời giải:
a) Trong ΔBAC, ta có: AM là đường phân giác của BAC
Suy ra: MC AC
MB = AB (tính chất đường phân giác) (1)
CN là đường phân giác của BCA
Suy ra:NA AC
NB =CB (tính chất đường phân giác) (2)
Lại có: AB = CB = a (gt)
Trang 4Từ (1), (2) và (gt) suy ra: NA MC
NB= MB
Trong ΔBAC, ta có: NA MC
NB =MB Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét)
b) Ta có: MC AC
MB =AB (chứng minh trên)
Suy ra: MC MB AC AB CB AC AB
Hay
2
MB
+
+ Trong ΔBAC, ta có:
MN //AC (chứng minh trên)
Suy ra: MN MB
AC = BC
Vậy
2
a b
AC.MB a b ab
MN
+
+
Bài 20 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 12cm, AC =
20cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, DE
b) Cho biết diện tích tam giác ABC là S, tính diện tích các tam ABD, ADE, DCE
Trang 5Lời giải:
a) Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của góc BAC
Suy ra: DB AB
DC = AC (tính chất tia phân giác)
Suy ra: DB AB
DB DC = AB AC
Suy ra: DB AB
BC = AB AC
+
Suy ra:DB BC.AB 28.12 21 10,5cm
AB AC 12 20 2
Vậy DC = BC - DB = 28 - 10,5 = 17,5 (cm)
* Trong ΔABC, ta có: DE // AB
Suy ra: DC DE
BC =AB (Hệ quả định lí Ta-lét)
Vậy: DE DC.AB 17,5 12 7,5cm
b) Vì ΔABD và ΔABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên
ABD
ABC
S BD 10,5 3
S = BC = 28 = 8
Trang 6Vậy: SABD = 3
8.S
SADC = SABC - SABD = S - 3S 5S
8 = 8
Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên ta chứng minh được tam giác AED cân tại E, do đó AE = DE
Ta có: ADE
ADC
S AE DE 7,5 3
S = AC= AC = 20 = 8
Vậy: SADE 3SADC 3 5 S 15S
8 8 8 64
Ta có: SDCE SADC SADE 5S 15S 25S
8 64 64
Bài 21 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB
= 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E
a)Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE
b) Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD
Lời giải:
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 212 + 282 = 1225
Suy ra: BC = 35 (cm)
Trang 7Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên:
BD AB
DC = AC (t/chất đường phân giác)
Suy ra: BD AB
BD DC = AB AC
Hay BD AB
BC = AB AC
+
Suy ra: BD BC.AB 35.21 15cm
AB AC 21 28
Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20cm
Trong ΔABC ta có: DE // AB
Suy ra:DC DE
BC = AB (Hệ quả định lí Ta-lét)
Suy ra: DE DC.AB 20.21 12cm
BC 35
b) Ta có: SABC = 1
2.AB.AC =
1
2.21.28 = 294 (cm
2)
Vì ΔABC và ΔADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:
ADB
ABC
S S 294 126
S = BC =35 = 7 = 7 =7 = (cm2)
Vậy SADC = SABC – SABD = 294 – 126 = 168(cm2)
Bài 22 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC),
đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm
a) Tính AD, DC
b) Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC tại E Tính EC
Trang 8Lời giải:
Vì BD là đường phân giác của góc ABC nên:
AD AB
DC = BC (t/chất đường phân giác)
Suy ra: AD AB
AD DC = AB BC
AC = AB BC
+
Mà ΔABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm)
Suy ra: AD 15 AD 15.15 9
15 =15 10 =15 10 =
Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm)
b) Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B
Suy ra : EC BC
EA =BA ( t/chất đường phân giác)
Suy ra: EC BC
EC CA = BA
+ ⇒ EC.BA= BC (EC + AC) Suy ra: EC.BA - EC.BC = BC.AC ⇒EC (BA - BC) = BC.AC
Vậy EC BC.AC 10.15 30(cm)
BA BC 15 10
Bài 23 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có góc A = 90o, AB
= 12cm, AC =16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D
a) Tính BC, BD và DC
Trang 9b) Kẻ đường cao AH, tính AH, HD và AD
Lời giải:
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 122 + 162 = 400
Suy ra: BC = 20 (cm)
Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên:
DB AB
DC = AC (tính chất đường phân giác)
Suy ra: DB AB
DB DC = AB AC
BC = AB AC
+
Suy ra:DB BC AB 20.12 60
AB AC 12 16 7
Vậy : DC = BC – DB = 20 - 60 80
7 = 7 (cm)
b) Ta có: SABC = 1
2.AB.AC =
1
2.AH.BC
Suy ra: AB.AC = AH.BC
AB.AC 12.16
BC 20
Trong tam giác vuông AHB, ta có: AHB = 90o
Trang 10Theo định lí Pi-ta-go, ta có: AB2 = AH2 + HB2
Suy ra: HB2 = AB2 - AH2 = 122 - (9,6)2 = 51,84 ⇒ HB =7,2 (cm)
Vậy HD = BD – HB = 60
7 - 7,2 ≈ 1,37 (cm) Trong tam giác vuông AHD, ta có: AHD = 90o
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
AD2 = AH2 + HD2 = (9,6)2 + (1,37)2 = 94,0369
Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm)
Bài 24 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có A = 90°, AB = a
(cm), AC = b (cm) (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc cạnh BC)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b
b) Hãy tính độ dài các đoạn thẳng trên chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm, b = 7,25cm
Lời giải:
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2
Suy ra:BC= a2+b2
Trang 11Ta có: AM = BM = 1
2.BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Suy ra: AM 1 a2 b2
2
Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên:
DB AB
DC = AC (tính chất đường phân giác)
Suy ra: DB AB
DB DC = AB AC
hay
a a b
DB
BC AB AC AB AC a b
+
Vậy
a a b 1
DM BM BD a b
(a b) a b 2a a b (b a) a b
2(a b) 2(a b) 2(a b)
+
+
b) Với a = 4,15 (cm); b = 7,25 (cm), sử dụng máy tính và các kết quả ý a, ta tính được:
BC ≈ 8,35 cm
BD ≈ 3,04 cm
DC ≈ 5,31 cm
AM ≈ 4,18 cm
DM ≈ 1,14cm
Bài tập bổ sung
Trang 12Bài 3.1 trang 89 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường
phân giác AD Biết rằng độ dài của các cạnh góc vuông AB = 3,75cm, AC = 4,5cm
Hãy chọn kết quả đúng (tính chính xác đến hai chữ số thập phân)
1) Độ dài của đoạn thẳng BD là:
A 18,58;
B 2,66;
C 2,65;
D 3,25
2) Độ dài đoạn thẳng CD là:
A 27,13;
B 2,68;
C 3,20;
D 3,15
Lời giải:
Áp dụng định lí Pi- ta- go vào tam giác vuông ABC ta có
BC2 = AB2 + AC2 = 34,3125
Suy ra: BC 5,86 cm
Trang 13Theo tính chất đường phân giác ta có: AB AC
BD = CD Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
AB AC AB AC
BD CD BD CD
+
= =
+ 3,75 4,5 3,75 4,5
BD CD 5,86
+
3,75 5,86
3,75 4,5
CD BC BD 3, 2
+
1 Chọn B
2 Chọn C
Bài 3.2 trang 89 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình bình hành ABCD có độ dài
cạnh AB = a = 12,5cm, BC = b = 7,25cm Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại E, đường phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại F
Hãy tính độ dài đường chéo AC, biết EF = m = 3,45cm
(Tính chính xác đến hai chữ số thập phân)
Lời giải:
Trang 14Vì ABCD là hình bình hành nên ABC=ADC
Mặt khác, BE và DF lần lượt là phân giác của các góc B và D,
Do đó suy ra ADF=CBE
Mặt khác, ta có: AD = CB = b;
DAF=BCE (so le trong)
Suy ra: ΔADF = ΔCBE (g.c.g)
⇒ AF = CE
Đặt AF = CE = x
Theo tính chất của đường phân giác BE trong tam giác ABC, ta có:
AB AE AF EF
BC CE CE
x
+
= =
+
−
2mb m(a b)
+
Thay số, tính trên máy tính điện tử cầm tay ta được:
3, 45.(12,5 7, 25)
12,5 7, 25
+