sbt toan 8 bai 5 dien tich hinh thoi

Bài 5 Diện tích hình thoi Bài 42 trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất Lời giải Giả sử có hình thoi ABCD Kẻ DH ⊥ AB Ta có SABCD[.]

Bài 5: Diện tích hình thoi Bài 42 trang 162 SBT Toán 8 Tập 1: Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau,

hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất

Lời giải:

Giả sử có hình thoi ABCD Kẻ DH ⊥ AB

Ta có: SABCD = AB.DH

Tam giác AHD vuông tại H nên: DH ≤ AD

Mà AB = AD (vì ABCD là hình thoi)

Nên: SABCD = AB DH ≤ AB AD =AB AB = AB2

Hay SABCD ≤ AB2

Vậy SABCD có giá trị lớn nhất bằng AB2, khi đó ABCD là hình vuông

Vậy trong các hình thoi có chu vi bằng nhau thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất

Bài 43 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó

dài 6,2cm và một trong các góc của nó bằng 30°

Lời giải:

Giả sử hình thoi ABCD có AB = 6,2cm; A = 30o

Từ B kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD)

Tam giác vuông AHB là một nửa tam giác đều cạnh AB nên:

BH = 1

2AB = 3,1 (cm)

Vậy SABCD = BH.AD = 3,1.6,2 = 19,22 (cm2)

Bài 44 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD, biết AB = 5cm, AI =

3cm (I là giao điểm của hai đường chéo) Hãy tính diện tích hình thoi

Lời giải:

Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông IAB, ta có: AB2 = AI2 + IB2

⇒ IB2 = AB2 - AI2 = 25 – 9 = 16

⇒ IB = 4(cm)

Ta có: AC = 2AI = 2.3 = 6 (cm)

Và BD = 2IB = 2.4 = 8 (cm)

Suy ra: SABCD = 1

2AC.BD =

1

2.6.8 = 24 (cm

2)

Bài 45 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: a) Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo

vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là a và 1

2a Hỏi vẽ được bao nhiêu hình như vậy

b) Có thể vẽ được mấy hình thoi, biết độ dài hai đường chéo là a và 1

2 a

c) Hãy tính diện tích các hình vẽ đó

Lời giải:

a) Vẽ được vô số hình tứ giác thỏa mãn yêu cầu

b)

Vẽ được duy nhất một hình thoi có độ dài 2 đường chéo là a và 1

2 a

c) Diện tích các hình vẽ đó là: S = 1.a a1 1a2

2 2 =4 (đvdt)

Bài 46 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Hai đường chéo hình thoi có độ dài là 16 cm

và 12 cm Tính:

a) Diện tích hình thoi

b) Độ dài cạnh hình thoi

c) Độ dài đường cao hình thoi

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD có AC = 12 cm và BD = 16 cm

a) Ta có: SABCD = 1

2 AC.BD =

1

2 .12.16 = 96 (cm

2)

b) ABCD là hình thoi có O là giao điểm của hai đường chéo nên:

BO = OD = 8 cm; OA = OC = 6 cm

Trong tam giác vuông OCD, ta có:

CD2 = OC2 + OD2 = 62 + 82 = 100

Nên CD = 10 (cm)

Vậy cạnh hình thoi bằng 10 cm

c) Kẻ DH ⊥ AB (H ∈ AB)

Ta có: SABCD = DH.AB ⇒ SABCD 96

Vậy đường cao của hình thoi là 9,6 cm

Bài tập bổ sung

Bài 5.1 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: a) Sử dụng kéo cắt đúng 2 lần, theo đường

thẳng, chia một hình chữ nhật thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình thoi

b) Sử dụng kéo cắt đúng hai lần, theo đường thẳng, chia một hình thoi thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình chữ nhật

Từ đó suy ra công thức tính diện tích hình thoi dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật

Lời giải:

a) Vì hình thoi có hai đường chéo vuông góc cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau

Giả sử hình chữ nhật ABCD ta chọn trung điểm M của CD Nối AM, BM ta cắt theo đường AM và BM ta ghép lại được một hình thoi

b) Giả sử ta có hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Ta cắt hình thoi theo đường chéo AC ta được 2 tam giác

Lấy AC làm một cạnh hình chữ nhật Cắt tam giác BAC theo đường BO ta được hai tam giác ghép lại ta có hình chữ nhật

Ta có diện tích hình chữ nhật vừa tạo thành là S = AC DO (DO bằng chiều rộng hình chữ nhật)

Lại có O là trung điểm BD nên DO = 1

2BD

Do đó S =AC BD1 1AC.BD

Từ đó suy ra công thức tính diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo

Bài 5.2 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC

và BD vuông góc với nhau Biết AC = 6cm, BD = 8cm Gọi M, N, P, Q theo thứ tự

là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật

b) Tính diện tích của tứ giác XYZT

Lời giải:

a) Trong ΔABD ta có:

M là trung điểm của AB và Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của ΔABD

⇒ MQ // BD và MQ = 1

2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔCBD ta có:

N là trung điểm của BC và P là trung điểm của CD

Nên NP là đường trung bình của ΔCBD

⇒ NP // BD và NP = 1

2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: AC ⊥ BD ( giả thiết) và MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ

Trong ΔABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay NMQ = 90o

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

b) Kẻ đường chéo MP và NQ

Trong ΔMNP ta có:

X là trung điểm của MN và Y là trung điểm của NP

Nên XY là đường trung bình của ΔMNP

⇒ XY // MP và XY = 1

2 MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3) Trong ΔQMP ta có:

T là trung điểm của QM và Z là trung điểm của QP

Nên TZ là đường trung bình của ΔQMP

⇒ TZ // MP và TZ = 1

2MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành

Trong ΔMNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = 1

2QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

Ta có: SXYZT = 1

2 XZ TY

Mà XZ = MQ = 1

2BD =

1

2 8 = 4 (cm);

TY = MN = 1

2AC =

1

2.6 = 3 (cm)

Vậy : SXYZT = 1

2 3 4 = 6 (cm

2)

Bài 5.3 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC, có hai cạnh góc

vuông là AC = 6cm và AB = 8cm Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 5cm Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho EB = 5cm Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng DE, DB, BC và CE Tính diện tích của tứ giác MNPQ

Lời giải:

Trong ΔEDC ta có:

M là trung điểm của ED và Q là trung điểm của EC

Nên MQ là đường trung bình của ΔEDC

⇒ MQ = 1

2CD = 2,5 (cm) và MQ // CD

Trong ΔBDC ta có:

N là trung điểm của BD và P là trung điểm của BC Nên NP là đường trung bình của ΔBDC

⇒ NP = 1

2CD = 2,5 (cm)

Trong ΔDEB ta có:

M là trung điểm của DE và N là trung điểm của DB Nên MN là đường trung bình của ΔDEB

⇒ MN = 1

2BE = 2,5 (cm) và MN // BE

Trong ΔCEB ta có:

Q là trung điểm của CE và P là trung điểm của CB Nên QP là đường trung bình của ΔCEB

⇒ QP = 1

2BE = 2,5 (cm)

Suy ra: MN = NP = PQ = QM (1)

Ta có: MQ // CD hay MQ // AC

Và AC ⊥ AB (giả thiết)

⇒ MQ ⊥ AB

Lại có: MN // BE hay MN // AB

Suy ra: MQ ⊥ MN hay QMN = 90o (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình vuông

Do đó, SMNPQ = MN2 = (2,5)2 = 6,25(cm2)