50 bài tập về hình thoi (có đáp án 2022) – toán 8

Các dạng bài tập về hình thoi I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ABCD là hình thoi AB = BC = CD = DA Nhận xét Hình thoi cũng là một hình bình hành 2 Tính chất[.]

Các dạng bài tập về hình thoi

I Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

ABCD là hình thoi AB = BC = CD = DA

Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành

2 Tính chất:

- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

- Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b) Hai đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi

3 Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

b) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi;

d) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi

II Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1 Chứng minh tứ giác là hình thoi

B A

C D

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi

Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD có AC = BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm

của các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi

Lời giải

Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

EF//AC

1

EF AC

2





 



Vì G là trung điểm của DC, H là trung điểm của DA nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

HG//AC

1

2





 



Từ (1) và (2) HG//EF

HG EF



  



Tứ giác EFGH là hình bình hành

Lại có G là trung điểm của DC, F là trung điểm của BC nên GF là đường trung bình của tam giác BCD

GF BD

2

Mà BD = AC

Nên GF = EF

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi nên tứ giác EFGH là hình thoi

Dạng 2 Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường

chéo của hình thoi

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có B 60  o Kẻ AE  DC,AF BC 

a) Chứng minh AE = AF;

b) Chứng minh tam giác AEF đều

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình thoi nên ta có:

ADE ABF

AD AB







 (tính chất)

Lại có:

AE CD AED 90

AF BC AFB 90

    





   



Xét tam giác ADE và tam giác ABF có:

ADE ABF

AD AB

AED BFA 90









ADE ABF

    (cạnh huyền – góc nhọn)

AE AF

  (hai cạnh tương ứng)

b) Xét ABFvuông tại F ta có:

BFAABF FAB 180  

90 60 FAB 180

FAB 30

Xét ADEvuông tại E ta có:

DEAADEEAD 180 

90 60 EAD 180

EAD 30

Ta có: ABCD là hình thoi nên AD // BC DAB B 180  (hai góc trong cùng phía)

Nên DAB 180   B 180   60 120

Lại có: DABDAEEAF FAB 120  

30 EAF 30  120

EAF 60

Xét AEFcó:

AE = AF

EAF 60

Do đó: AEFlà tam giác đều

Dạng 3 Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của

hình thoi

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm

của AB, CD, BD, AC

a) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình hành;

b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BD nên MP là đường trung bình của tam giác ABD

MP / /AD

1

2





 



Vì Q là trung điểm của AC, N là trung điểm của DC nên QN là đường trung bình của tam giác ACD

NQ / /AD

1

2





 



Từ (1) và (2) NQ / /MP

NQ MP



  

 Xét tứ giác MPNQ có:

NQ // MP

NQMP

Do đó: tứ giác MPNQ là hình bình hành

b) Để hình bình hành MPNQ là hình thoi thì MP = MQ

Vì M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC nên MQ là đường trung bình của tam giác ABC

1

2

Để MQ = MP thì1BC 1AD

2 2 hay BCAD Vậy để MPNQ là hình thoi thì hình thang ABCD phải có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau

III Bài tập tự luyện

Bài 1

a) Cho hình thoi ABCD có hai đường cao AH, AK Chứng minh AH = AK

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau Chứng minh ABCD là hình thoi

Bài 2 Hình thoi ABCD có A60o Kẻ hai đường cao BE, BF Tam giác BEF là tam giác gì? Vì sao?

Bài 3 Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với

AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F Chứng minh EF là phân giác của góc AED

Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB,

BC, CD, DA

a) EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy

Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song

song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q

a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh PQ // BC

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm

M và N sao cho AM = DN Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng

MN và BC tại E và F

a) Chứng minh E và F đối xứng nhau qua AB;

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi;

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân

Bài 7 Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Gọi E, F, G, H

lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Bài 8 Hình thoi ABCD có A60o Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?

Bài 9 Dựng hình thoi ABCD biết cạnh bằng 2cm, một đường chéo bằng 3cm Bài 10 Cho tam giác ABC Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC

sao cho BD = CE Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC Chứng minh IKMN

Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE Tia phân giác của các

góc ABD và ACE cắt nhau tại O và lần lượt cắt AC, BD tại N, M Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H Chứng minh:

a) BNCM;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi

Bài 12 Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB và CD; K, H theo thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh rằng: IJ  HK

Bài 13 Cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh tứ giác AMND là hình thoi

b) Gọi E là giao điểm của AN và DM; F là giao điểm của BN và MC Tứ giác

MENF là hình gì? Vì sao?

Bài 14 Cho hình thoi ABCD có AB = AC

Kẻ AEBC E BC ; AF CD (F CD)

a) Chứng minh AEF đều

b) Biết AB = 4cm Tính độ dài các đường chéo của hình thoi

Bài 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE Tia phân giác

của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự tại I và K Tia phân giác của góc EBC cắt

AB, AC tại M và N Chứng minh tứ giác MINK là hình thoi

Bài 16 Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O Gọi E, F, G, H

theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA Chứng minh EFGH là hình thoi

Bài 17 Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song

song với AB, AC cắt AC, AB theo thứ tự tại E và F

a) Tứ giác AEDF là hình gì?

b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?