50 bài tập về đường trung bình của tam giác, của hình thang (có đáp án 2022) – toán 8

Đường trung bình của tam giác Đường trung bình của hình thang I Lí thuyết 1 Đường trung bình của tam giác a) Định nghĩa đường trung bình của tam giác Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối tr[.]

Đường trung bình của tam giác Đường trung bình của hình thang

I Lí thuyết

1 Đường trung bình của tam giác

a) Định nghĩa đường trung bình của tam giác:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác

đó

b) Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song

với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba

c) Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng

nửa cạnh thứ ba

Xét hình vẽ:

Tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

MN // BC

1

MN BC

2





 





2 Đường trung bình của hình thang

a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm

của hai cạnh bên hình thang

ABCD là hình thang, AB // CD

E là trung điểm AD, F là trung điểm BC

EF là đường trung bình của hình thang ABCD

b) Định lí 2: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên thứ nhất và song song

với cạnh đáy thì nó đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai của hình thang

c) Định lí 3: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng

nửa tổng hai đáy

Xét hình thang ABCD có đường trung bình là FE

FE / /AB / /CD

1

FE AB CD

2







II Dạng bài tập

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa và định lý về đường trung bình của tam giác để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, định lý để suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy

điểm D và E sao cho AD = DE = EB Đoạn CD cắt AM tại I Chứng minh:

a) EM song song với DC;

b) I là trung điểm AM;

c) DC = 4DI

Lời giải:

a) Vì ED = EB nên E là trung điểm của BD

Lại có M là trung điểm của BC

Suy ra EM là đường trung bình của tam giác BCD

EM // CD

b) Xét tam giác AEM có:

Ta có: AD = DE nên D là trung điểm AE

Lại có I DC DI // EM (do DC // EM)

Do đó: DI đi qua trung điểm AM

I là trung điểm của AM

c) Từ câu a ta có: EM là đường trung bình của tam giác BCD

1

EM DC

2

 (1)

Lại có I là trung điểm của AM, D là trung điểm của AE

DI là đường trung bình của tam giác AEM

 DI 1EM

2

Từ (1) và (2)  DI 1EM 1 1 DC 1DC

   hay DC = 4 DI (đpcm)

Dạng 2 Sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các định lý liên quan đến đường trung

bình của hình thang để chứng minh

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các đường phân giác ngoài của A, D cắt nhau tại E, cắc đường phân giác ngoài B,Ccắt nhau tại F Chứng minh:

a) EF song song AB và CD

b) EF có độ dạng bằng nửa chu vi hình thang ABCD

Lời giải:

a) Vì AE là phân giác góc ngoài của A nên A1 A2

Vì DE là phân giác góc ngoài của D nên D1D2

Mà A1A2 D1D2 180(hai góc trong cùng phía)

2A 2D 180

A D 90

Xét tam giác AED có: A2 D2AED 180 (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

AED 180 A D 180 90 90

DE AE

Gọi AEDCM

ADM

 có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ADMcân tại D Nên DE là đường trung tuyến của ADM

E là trung điểm của AM

Gọi BFDCN

Chứng minh tương tự có điểm F là trung điểm BN

Lại có tứ giác ABNM có AB // MN (AB // CD) nên ABNM là hình thang

Mà có E, F lần lượt là trung điểm của AM và BN

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABNM

EF // AB // MM

Hay EF // AB // CD

b) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABNM

AB MN

EF

2



  (tính chất)

AB MD CD CN

2

Mà MD = AD (do tam giác AMD cân tại D); CN = BC (do tam giác BCN cân tại C) nên thay vào (1) ta có:

AB AD CD BC

EF

2

Vậy độ dài EF bằng nửa chu vi tứ giác ABCD

Dạng 3 Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các định nghĩa định lý về đường trung bình

để chứng minh bài toán

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là

trung điểm của AD, BD, AC, BC Chứng minh:

a) M, N ,P, Q cùng nằm trên một đường thẳng

NP DC AB

2

Lời giải:

a) Ta có M là trung điểm của AD, Q là trung điểm BC

MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

MQ // AB // CD (1)

M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BD

MN là đường trung bình của tam giác DAB

MN // AB (2)

P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC

PQ là đường trung bình của tam giác ABC

PQ // AB (3)

Từ (1), (2) , (3) MN // MQ // QP // AB

bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

M, N, P, Q thuộc cùng một đường thẳng

b) Đặt AB = a; CD = b

Vì MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

AB CD a b

MQ

Lại có MN, PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và ABC

a

MN

2

2



Ta có:

MQ = MN +NP + PQ = a NP a

2  2 a b

2





a b a a

NP

2 2 2



b a

NP

2



III Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC Kẻ tia Mx song

song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F Chứng minh: a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF

Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Gọi E, F lần lượt là trung điểm

của AD và BC Chứng minh

a) AFD cân tại F

b) BAFCDF

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh BC Trên cạnh AC

lấy điểm D sao cho AD 1DC

2

 Kẻ Mx song song song với BD và cắt AC tại E Đoạn BD cắt AM tại I Chứng minh:

a) AD = DE = EC;

b) SAIB SIBM;

c) SABC SIBC

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Từ H kẻ Hx vuông góc với

AB tại P, Hy vuông góc với AC tại Q Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điểm D

và E sao cho PH = PD; QH = QE Chứng minh:

a) A là trung điểm của DE;

b) PQ 1DE

2

c) PQ = AH

Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) với AB = a; BC = b, CD = c và AD = d

Các tia phân giác của A và D cắt nhau tại E, các tia phân giác của B và C cắt nhau tại F Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AD và BC

a) Chứng minh M, E, N, F cũng nằm trên một đường thẳng

b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d

Bài 6: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC

a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB;

b) So sánh EF và 1 

AB CD

2  ; c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng từ đó chứng minh 1 

EF AB CD

2

Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, theo thứ tự là trung điểm

của AD, BC, AC Chứng minh E, F, I thẳng hàng

Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC

Chứng minh EI // CD; IF // AB

Bài 9: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G Gọi I,

K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC Chứng minh rằng DE // IK; DE = IK

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy

D và E sao cho AD = AE Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H Gọi M là giao điểm của DK

và AC Chứng minh:

a) Tam giác BAE bằng tam giác CAD;

b) Tam giác MDC cân;

c) HK = HC