50 bài tập về tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước (có đáp án 2022) – toán 8

Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước I Lý thuyết 1 Phân thức nhận giá trị âm, phân thức nhận giá trị dương Phân thức     A x 0 B x  khi A(x); B(x) cùng dấu Phân thức     A x 0 B x[.]

Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

I Lý thuyết

1 Phân thức nhận giá trị âm, phân thức nhận giá trị dương

Phân thức  

 

A x

0

B x  khi A(x); B(x) cùng dấu

Phân thức  

 

A x

0

B x  khi A(x); B(x) trái dấu

2 Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nguyên

 

     

C x

B x  B x (B(x) 0)

Phân thức  

 

A x

B x chỉ nguyên khi C(x) nguyên và m chia hết cho B(x) với m là một

số

3 Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn một giá trị cho trước

Phân thức  

 

A x

m

B x  (B(x) 0)

   

A x m.B x

4 Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Cho phân thức  

 

A x

B x (B(x) 0)

+ M là giá trị lớn nhất của phân thức  

 

A x

B x nếu

 

 

A x

M

B x  với mọi x thỏa mãn điều kiện

Tồn tại x0sao cho  

 00

A x

M

B x 

+ m là giá trị nhỏ nhất của phân thức  

 

A x

B x nếu

 

 

A x

m

B x  với mọi x thỏa mãn điều kiện

Tồn tại x0sao cho  

 00

A x

m

B x 

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm x để phân thức nhận giá trị âm, giá trị dương

Phương pháp giải:

Ta có:

Xét phân thức  

 

A x

B x (B0)

*  

 

A x

0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 







 













*  

 

A x

0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 







 













*  

 

A x

0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 







 













*  

 

A x

0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 







 













Ví dụ 1: Tìm x để phân thức sau

a) x 3

x 1



 < 0

b) 2x 4 0

x 3



c) 2x 3 0

x 5



Lời giải:

a) x 3 0

x 1

 



x 3 0

TH1:

x 1 0

 



  



x 1

 



 (vô lí)

x 3 0

TH2 :

x 1 0

 



  



3 x 1

x 1

 



Vậy x 3 0

x 1





 thì   3 x 1

b) 2x 4 0

x 3



2x 4 0

TH1:

x 3 0

 



  



2x 4

x 3

 





x 3

 



 (vô lí)

2x 4 0

TH2 :

x 3 0

 



  



2x 4

x 3

 





x 3

 



    2 x 3

Vậy 2x 4 0

x 3

 thì   2 x 3

c) 2x 3 0

x 5



TH1: 2x 3 0

x 5 0



  



2x 3



   



3

5 x 2

2

 



  



2x 3 0

TH2 :

x 5 0



  



2x 3



   



3

x

2

 



 

  



(vô lí)

Vậy 2x 3 0

x 5

3

5 x

2

  

Ví dụ 2: Chứng minh

a)

2

2

x 2x 5

P

x 4x 6



  luôn dương với mọi x

b)

2

2

x 2x 5

Q

2x 20x 60



  luôn âm với mọi x

Lời giải:

a)

2

2

x 2x 5

P

x 4x 6



Ta có:

x 2x 5 x 2x 1 4   2

x 1 4 4 0

     ( Vì  2

x 1 0) (1)

x 4x 6 x 4x 4 2  2

x 2 2 2 0

     (Vì  2

x2  0) (2)

Từ (1) và (2) ta có mẫu thức và tử thức luôn dương nên P luôn dương b)

2

2

x 2x 5

Q

2x 20x 60



Ta có:

x 2x 1 4

 2  2

x 1 4 x 1 4 4 0

            ( vì  2

x 1

  0)

2x 20x602 x 10x30  2 

2 x 10x 25 5

 2

2 x 5 5

2 x 5 10 10 0

     (vì  2

x5  0)

Vì mẫu thức luôn dương và tử thức luôn âm với mọi x nên Q < 0

Dạng 2: Tìm x nguyên để phân thức là một số nguyên

Phương pháp giải: Phân thức  

 

A x

B x

Bước 1: Chia A(x) cho B(x) Khi đó ta được  

     

C x

B x  B x Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên Bước 2: Để  

 

A x

B x nguyên thìB xm nguyên hay B(x) Ư(m) Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để các phân thức sau đây nguyên

a) A 4

2x 3





b) B 4x 1

x 3







c)

2

x x 2

C

x 3

 





Lời giải:

a) Với x 3

2



4

A

2x 3



 nguyên khi và chỉ khi 4 2x 3 hay 2x3 Ư(4) Ư(4) =   1; 2; 4và x nguyên nên ta có bảng sau:

2x - 3 -4 -2 -1 1 2 4

x 1

2



(ktm) 1

2 (ktm)

1 (tm) 2 (tm) 5

2 (ktm)

7

2(ktm)

Vậy x 1;2 thì A nguyên

b) Với x  3

4x 1

B

x 3







4 x 3 13 4 x 3

13 4

x 3

 



Để B nguyên thì 4 13

x 3



 hay

13

x3nguyên

 

13 x 3

  hay x 3 Ư(13)

Ư(13) =  1; 13

x + 3 -13 -1 1 13

x -16 (tm) -4 (tm) -2 (tm) 10 (tm)

Vậy x  16; 4; 2;10  thì B nguyên

c)

2

x x 2

C

x 3

 



x 3x 2x 6 8

x x 3 2 x 3 8

x 3 x 3 x 3

8

x 2

x 3

  

 ( với x 3)

Để C nguyên thì x 2 8

x 3

 

 nguyên hay

8

x3nguyên (do x nguyên nên x + 2 cũng nguyên)

8

x3nguyên khi và chỉ khi 8 x 3 hay x 3 Ư(8)

Ư(8) =    1; 2; 4; 8

x -5 (tm) -1 (tm) 1 (tm) 2 (tm) 4 (tm) 5 (tm) 7 (tm) 11 (tm)

Vậy x   5; 1;1;2;4;5;7;11 thì C nguyên

Ví dụ 2: Cho biểu thức

a 5a 4 a 16 a 3a 4

  với a 1;a  4

a) Rút gọn A

b) Tìm a nguyên để A nguyên,

Lời giải:

a) A 2 2 2 3 : 2 5

a 5a 4 a 16 a 3a 4

 2   3   5 

 

 2 a 4   3 a 1     5 

 2a 8   3a 3   5 

 2a8 3a 3   5 

 5a 5  a 4 a 1 

a 4 a 1 a 4 5



 

   

   

5 a 1 a 4 a 1

A

5 a 4 a 1 a 4

 

a 1

A

a 4



 



b) Ta có: A a 1 a 4 5 a 4 5 1 5

Để A nguyên thì 5

a4nguyên hay 5 a 4

a 4

  Ư(5)

Ư(5) =  1; 5

a - 4 -5 -1 1 5

a -1 (tm) 3 (tm) 5 (tm) 9 (tm)

Vậy để A nguyên thì a  1;3;5;9

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị cho trước

Phương pháp giải: Giả sử tìm x để phân thức  

 

A x

B x = m (với m là một giá trị cho trước)

Bước 1: Tìm điều kiện để B x 0

Bước 2: Giải A(x) = m.B(x) để tìm x

Bước 3: So sánh với điều kiện rồi kết luận

Ví dụ 1:

a) Cho A = 3x 3

4x 1



 Tìm x để A = 4

b) Cho B =

2

x x 2

x 3

 

 Tìm x để B =

4 5



Lời giải:

a) Điều kiện : x 1

4





A = 4 3x 3 4

4x 1





3x 3 4 4x 1

3x 3 16x 4

16x 3x 3 4

13x 7

7

x

13



 

Vậy để A = 4 thì x 7

13



 b) Điều kiện: x3

B = 4

5

x x 2 4



2

5x 5x 10 4x 12

2

5x 5x 4x 10 12 0

2

2

5x 10x x 2 0

   

5x x 2 x 2 0

x 2 5x 1  0

x 2 0

5x 1 0

 



   

x 2 (tm)

1

x (tm)

5

 







 



Vậy để B = 4

5



thì x = -2 hoặc x = 1

5

Ví dụ 2: Cho biểu thức

 

2

x 2x x 6 108 6x P

2x 12 x 2x x 6

a) Tìm điều kiện xác định của P

b) Rút gọn P

c) Tìm x để P = 3

2 d) Tìm x để P = 1

Lời giải:

a) P có nghĩa

 

2x 12 0

x 0 2x x 6 0



 



2x 12

x 0

x 0; x 6

 





 



x 0





   



Vậy để P có nghĩa thì x0 và x 6

b)

 

2

x 2x x 6 108 6x

P

2x 12 x 2x x 6

2

x 2x x 6 108 6x

P

2 x 6 x 2x x 6

 

         

2

P

x 2x 2x 72 108 6x

P

2x x 6 2x x 6 2x x 6

 

P

2x x 6

 



 

x 2x 2x 72 108 6x

P

2x x 6

 



 

x 4x 6x 36

P

2x x 6

 



 

x 216 4x 6x 36 216

P

2x x 6

 



 

P

2x x 6

 



 

2

P

2x x 6

 



 

2

x 6 x 6x 36 4x 30

P

2x x 6

 



 

2

x 6 x 6x 36 4x 30

P

2x x 6

 



 

2

P

2x x 6

 



2

x 2x 6

P

2x

 

c) Để P = 3

2

2

2 x 2x 6 2x.3

2

2x 4x 12 6x

2

2x 4x 12 6x 0

2

2x 10x 12 0

2 x 5x 6 0

2 x 2x 3x 6 0

2 x x 2 3 x 2 0

  

2 x 2 x 3 0

x 2 0

x 3 0

 



   

x 2 (tm)

x 3 (tm)





  

Vậy để P = 3

2thì x2hoặc x3 d) Để P = 1

2

x 2x 6

1 2x

2

2

2

2

 2

x 2 2 0

    (vô lí)

Ta có:  2

x2 0  2

x 2 2 2 0

     với mọi x thỏa mãn điều kiện Vậy không tồn tại x để P = 1

Dạng 4: Tìm x để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Cho phân thức  

 

A x

B x (B(x) 0) Bước 1: Đánh giá giá trị lớn nhất nhỏ nhất của A(x) và B(x)

Bước 2: Đánh giá gá trị lớn nhất nhỏ nhất của  

 

A x

B x

Chú ý : Nếu a,b0; a, b cùng dấu thì a b 1 1

a b

  

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau:

2

2

2x 8x 15

A

x 4x 6



b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

2

5

B

x 8x 20





c) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

2

2x 1

C

x 2







Lời giải:

a) Ta có:

 2

x 4x 6 x 4x  4 2 x2 2

Vì  2

x2 0với mọi x nên 2

x2  2 2

Phân thức xác định với mọi x

2

2

2x 8x 15

A

x 4x 6



2

2 x 4x 6 3

A

x 4x 6

 

2 x 4x 6 3

A

x 4x 6 x 4x 6

2

3

x 4x 6

  

2

3

A 2

x 4x 4 2

  

 2

3

A 2

x 2 2

  

Ta có:

 2

x2 0

 2

x 2 2 2

 2

2

x 2 2

 2

2

x 2 2

 2

2 2

x 2 2

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0x = 2 Vậy Amax = 7

2khi x = 2

b) 2 2  2

x 8x20x 8x 16 4   x4 4

Vì  2

x4 0 nên  2

x4  4 4 Phân thức xác định với mọi x

B

x 8x 20 x 2.x.4 16 4

5

x 4 4





Ta có:

 2

x4 0

 2

x 4 4 4

 2

4

x 4 4

 2

4

x 4 4

5

B

4



 

Dấu “=” xảy ra khi x 4 0   x 4

Vậy Bmin = 5

4



khi x = -4

c) Vì x2 0 nên x2 2 2

Phân thức xác định với mọi x

2

2x 1

C

x 2





x 4x 4 x 2 4x 2



 

         

x 2

2

2 x 2 2 x 2 2 x 2



Vì x2  0 x2  2 0

 2

x2 0

 

2

2

x 2

0

2 x 2





 

2

2

2 x 2





1

C

2



 

Dấu “=” xảy ra khi x + 2 = 0 x = -2

Vậy Cmin = 1

2



khi x = -2

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm x để các phân thức sau thỏa mãn:

a) A x2 2

x 1





 Tìm x để A > 0

b)

2

x 2x 1

B

x 3



 Tìm x để B0

c)

2

2

2x 7x 6

C

x 4x 6



  Tìm x để C < 0

d)

2

2

x 3x 2

D

x 5



 Tìm x đểD0

Bài 2: Tìm x nguyên để các biểu thức sau đây nguyên

a) 2

x5 với x 5

b)

2

3x 2x 1

3x 1

 với

1 x 3





c)

x 4

d) 25x 10

x 3x 2



  với x2;x 1

Bài 3: Cho phân thức

2

x 10x 25 Q

x 5





a) Tìm điều kiện xác định của Q

b) Tìm x khi Q = 1

Bài 4: Cho phân thức

2

x x 2 A

x 5

 





Tìm x để A < 0

Bài 5:Cho biểu thức

3

2

a) Tìm điều kiện xác định của A

b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x thỏa mãn điều kiện

Bài 6: Tìm x nguyên để phân thức

2

x x N

x 3





 nhận giá trị nguyên

Bài 7: Chứng minh rằng:

2

3x x 3x 3x 9 3x

x 3 2x 3 x 3x x 9

Với x 0; x 3; x 3

2



Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

2 2

3x 2x 3 H



Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thứcM 2 6

x x 1





 

Bài 10: Cho biểu thức  2 2 2



  với x0;x 2

Tìm giá trị lớn nhất của Q