Rút gọn phân thức đại số I Lý thuyết Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử thức và mẫu thức Bước 2 Sử dụng các[.]
Trang 1Rút gọn phân thức đại số
I Lý thuyết
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau
Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả
tử thức và mẫu thức
Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức
đã cho
Nhắc lại các tính chất cơ bản của phân thức
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho
A A.M
B = B.M (với A
Blà phân thức; B, M 0)
- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu
ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho
B = B : N(với N là nhân tử chung của A và B)
- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu
−
=
− (với B0)
- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho
−
= − = −
− (với B0)
II Các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn phân thức
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung
Trang 2Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung
Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu
(lưu ý tới tính chất A = – (– A))
Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau:
+ − − với x −3;x 1
Lời giải:
2
2
=
2 2
2x 1 x 1
x 3 x 1
=
2x 1
x 3
−
=
+ với x −3;x 1
Ví dụ 2: Đơn giản phân thức sau
9x y 3x 12xy 4xy
+ + với x, y0
Lời giải:
9x y 3x
12xy 4xy
+
+
3x 3y 1
4xy 3y 1
+
=
+
2
3
3x
4xy
=
3
3x
4y
= với x, y0
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Trang 3Phương pháp giải: Chọn 1 trong ba cách biến đổi sau
Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải
Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái
Cách 3: Biến đổi đồng thời cả hai vế
Chú ý: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi, rút gọn
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:
2x x y 2xy y x y
=
Lời giải:
Đặt
2x 3xy y VT
2x x y 2xy y
=
1
VP
x y
=
−
Ta biến đổi vế trái
2x 3xy y
VT
2x x y 2xy y
=
2x 2xy xy y
VT
2x x y 2xy y
2x x y y x y
VT
x 2x y y 2x y
( 2 2) ( )
VT
( x)(y )
VT
x y x y
+
1
x y
− (điều phải chứng minh)
Trang 4Ví dụ 2: Cho
4xy 4x y x P
4x 8x y
=
2 2
Q
=
−
Với x0; x 1; x2y
Chứng minh P = Q
Lời giải:
Ta có:
4xy 4x y x
P
4x 8x y
=
−
2
x 4y 4xy x
P
4x x 2y
=
−
2 2
P
−
=
−
x 2y
P
4x
−
= (1)
Ta lại có
2 2
Q
=
−
2
2xy 2y x x
Q
4x 4x
=
−
2y x 1 x x 1
Q
4x x 1
=
x 1 2y x
Q
4x x 1
=
2y x
Q
4x
−
=
−
Trang 5x 2y
Q
4x
−
= (2)
Từ (1) và (2) = (điểu phải chứng minh) P Q
Dạng 3: Chứng minh một phân thức là phân thức tối giản
Phương pháp giải: Ta chứng minh tử thức và mẫu thức có ước chung lớn nhất là
1 hoặc -1
Bước 1: Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d
Bước 2: Chứng minh d = 1
Chú ý: Cần vận dụng các kiến thức liên quan đến ước và bội, tính chất chia hết…
+ Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a
+ Tính chất chia hết của một tổng(hiệu): a m (a b) m
b m
+ Tính chất chia hết của một tích: a mka m
Ví dụ 1: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a) 3n 1
5n 2
+
+
b) 2n 12
4n 2
−
−
Lời giải:
a) 3n 1
5n 2
+
+
Gọi ước chung lớn nhất của 3n + 1 và 5n + 2 là d
3n 1 d
5n 2 d
+
+
5 3n 1 d
3 5n 2 d
+
+
Trang 6( )
15n 5 d
15n 6 d
+
+
(15n 6) (15n 5) d
+ − + (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu)
1 d
d 1
= hoặc d = -1
Vậy 3n 1
5n 2
+
+ là phân số tối giản với n
b) 2n 12
4n 2
−
−
Gọi ước chung của 2n – 1 và 4n2 − là d 2
2n 1 d
4n 2 d
−
−
2n 2n 1 d
4n 2 d
−
−
(áp dụng tính chất chia hết của một tích)
2
2
−
4n 2n 4n 2 d
− − − (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu)
( 2n 2 d)
( 2n 2) (2n 1) d
− + + − (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)
Trang 7( 2n 2 2n 1 d)
1 d
= hoặc d = -1 d 1
Vậy phân thức đã cho tối giản với n
Ví dụ 2: Trong các phân thức sau, phân thức nào tối giản
a)
2
2
+
+
b) 2n 1
2n 3
+
+
Lời giải:
a)
2
2
+
+
Gọi d là ước chung lớn nhất của2n2 + và 1 2
n + 1
2
2
+
2
2
+
2
2
+
2n 1 2n 2 d
+ − +
1 d
−
d 1
= hoặc d = -1
Vậy phân thức
2 2
+ + tối giản
Trang 8b) 2n 1
2n 3
+
+
Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 2n + 3 là d
2n 1 d
2n 3 d
+
+
(2n 1) (2n 3) d
2 d
−
Ngoài hai ước là 1 và – 1 thì tử thức và mẫu thức đã cho còn có thêm ít nhất một ước nữa là 2
Vậy phân thức 2n 1
2n 3
+ + không là phân thức tối giản
Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức đạt giá trị nguyên
Phương pháp giải: Phân thức ( )
( )
A x
B x
Bước 1: Chia A(x) cho B(x) Khi đó ta được ( )
C x
B x = +B x Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên
Bước 2: Để ( )
( )
A x
B x nguyên thì
( )
m
B x nguyên hay B(x) Ư(m) Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận
Ví dụ: Tìm x nguyên để các phân thức sau nhận giá trị nguyên
a) 3
x 1+
b) 6x 4
2x 1
+
−
Trang 9Lời giải:
a) Để phân thức 3
x 1+ nguyên thì (x 1+ ) Ư(3) với điều kiện x-1 Ư(3) = − −3; 1;1;3
x -4 (thỏa mãn) -2 (thỏa mãn) 0 (thỏa mãn) 2 (thỏa mãn)
Vậy để phân thức 3
x 1+ nguyên thì x − − 4; 2;0;2
b) 6x 4 6x 3 7 3 2x 1( ) 7 7
3
−
1 2
Để 6x 4
2x 1
+
− nguyên thì
7 3 2x 1
+
− nguyên hay
7 2x 1−
(2x 1)
− Ư(7)
Ư(7) = − −7; 1;1;7
x -3 (thỏa mãn) 0 (thỏa mãn) 1 (thỏa mãn) 4 (thỏa mãn)
Vậy để phân thức 6x 4
2x 1
+
− nguyên thì x − 3;0;1;4
III Bài tập vận dụng
Bài 1: Tối giản các phân thức sau
a)
x y
x y
+
−
b)
4 2 2
2x y x
4x y 2xy
+
+
Bài 2: Rút gọn phân thức sau:
Trang 104 3
B
=
Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau:
a)
x y 2xy y xy y
2x xy y 2x y
− − + với xy; y −2x
b)
2
y 3y 3y 1 y 2y 1
=
− + − − + − với y1
Bài 4: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n
a) 8n 15
12n 22
+
+
b) 3n 8
2n 5
+
+
Bài 5: Tìm x nguyên để phân thức sau đạt giá trị nguyên
a) A 6
x 2
=
−
b) B 2x 5
2x 1
−
=
+
c)
2
C
=
−
d)
D
−
=
−
Bài 6: Các phân thức sau đây phân thức nào tối giản?
a)
3
n 2n
n 3n 1
+
b) 4n 1
n 3
+
−
Trang 11c) 7n 5
3n 2
−
−
Bài 7: Cho hai phân thức sau
4x 4xy y
A
y 6y x 12yx 8x
=
1 B
2x y
−
=
− với y2x Hai phân thức trên có bằng nhau không?
Bài 8: Rút gọn phân thức
A
=
Bài 9: Rút gọn phân thức
4
1 x B
−
=
− + − + − với x 1
Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức ab cx ax bc
x b 2x y
+ + bằng nhau Với y2x;a c